Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Zarathoustram

Membre

Inscription : 01-12-2019

Messages : 28

L'image d'un compact par une application continue est compacte

Bonjour tout le monde !

Dans mes petites révisions, je suis tombé sur le théorème (dit fondamental ?) suivant: L'image d'un compact par une application continue est compact. Problème: dans la démonstration, il est supposé que les espaces de départ et d'arrivé sont des espaces métrique. Ou encore, dans mon cours, il est seulement supposé que l'espace d'arrivé est séparé.
Je me suis donc attelé à la tâche de le démontrer en toute généralité, ça me parait correcte, mais étant donnée que je ne suis pas tombé dessus, je préfère poster ma démonstration ici pour qu'on me confirme sa justesse, ou que l'on me dise où je me suis trompé (histoire que je ne débite pas des aberrations par la suite...).
La voici:

Soient E, F, deux espaces topologiques et $f : E \rightarrow F$ une application continue.
Soient $K \subset E$, un compact et $L := f (K)$.
Soient $(V_i)_{i \in I} \subset \mathcal{T}_E$ un recouvrement ouvert de $L$ et $(U_i)_{i \in I}$ défini par $U_i := f^{- 1} (V_i)$.

Par continuité de $f$, les $U_i$ sont ouverts. De plus, $K \subset\underset{i \in I}{\cup} U_i$.
Par compacité, il existe $J \subset I$, fini, tel que $K \subset\underset{i \in J}{\cup} U_i$.
Donc $L = f (K) \subset f \left( \underset{i \in J}{\cup} U_i \right) \subset
\underset{i \in J}{\cup} f (U_i)$=$\underset{i \in J}{\cup} V_i$.

Qu'en pensez-vous ?
En vous remerciant !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : L'image d'un compact par une application continue est compacte

Bonjour,

Cela m'a l'air correct!

F.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : L'image d'un compact par une application continue est compacte

Bonjour,

Avec les définitions classiques un compact est aussi séparé, d’où l’hypothèse en plus d’espace d’arrivée séparé...
Ou alors on ne lit pas la même littérature...

Alain

Zarathoustram

Membre

Inscription : 01-12-2019

Messages : 28

Re : L'image d'un compact par une application continue est compacte

Merci Fred.

Merci Alain, je viens de faire une rapide vérification sur le wiki, c'est vrai qu'on suppose en général l'espace séparé (pour s'économiser des mots j'imagine ? Puisqu'on travaille la plupart du temps dans des espaces séparés ?), cependant, la définition de compacité que je connais (j'aime bien la topologie générale) est la suivante: de tout recouvrement d'ouverts, il est possible d'extraire un recouvrement fini. Donc on ne suppose pas à priori qu'il est séparé, et il ne me semble pas qu'un espace compact soit toujours séparé (faux déjà pour la topologie grossière, mais c'est peu de dire cela).

valoukanga

Membre

Inscription : 30-11-2019

Messages : 196

Re : L'image d'un compact par une application continue est compacte

Bonjour !

Je viens me permettre de répondre à la question : il y a une distinction (usuelle à mon sens ?) qui est faite dans la littérature. La définition de compacité est la suivante : un espace est compact s'il est quasi-compact et séparé, où la quasi-compacité est la propriété de Borel-Lebesgue (avec les recouvrements finis d'ouverts).

Évidemment, dans le cas métrique, quasi-compact = compact, d'où parfois la distinction effacée...

Zarathoustram

Membre

Inscription : 01-12-2019

Messages : 28

Re : L'image d'un compact par une application continue est compacte

Bonjour valoukanga,

Je te remercie pour ta réponse, c'est précisément ce qui me manquait ! Donc c'est mes définitions qu'il faut que je revois, hehe.

Adelmide

Invité

Re : L'image d'un compact par une application continue est compacte

Bonjour,

Je réponds bien tard mais : il y a une divergence entre la littérature francophone (française ?) et la littérature anglo-saxonne sur la définition du compacte.

En France le compacte a la propriété de Borel-Lebegues ET il est séparé.
Dans le reste du monde un compact a juste la propriété de Borel-Lebegues, et si en plus il est séparé on parle de compact Hausdorff

Il faut donc faire attention à quel sens est utilisé quand on lis un article ^^
Typiquement la page wikipédia française du compacte et celle anglaise du compact ne parle pas du même objet !