Un ensemble de points

cailloux · 11-01-2025 17:09:35

Bonjour à tous,
Le dernier fil proposé par Bernard-maths : Vous en avalez souvent ... m'a rappelé une amusette. Je la poste ici pour ne pas polluer son fil.

Définition : on appelle distance d'un point $M$ à un segment $[AB]$, la distance entre $M$ et le point de $[AB]$ le plus proche de $M$.
On donne deux segments $[OA]$ et $[OB]$ perpendiculaires en $O$ tels que $OA=2$ et $OB=4$.
Déterminer dans le plan $AOB$ l'ensemble des points équidistants des segments $[OA]$ et $[OB]$.

Chacun fera comme il voudra mais nul besoin d'équations : la géométrie à l'ancienne suffit.
Bon amusement !

Dernière modification par cailloux (11-01-2025 17:17:32)

renéb · 14-01-2025 12:43:05

Bonjour,

J'ai lu la petite amusette et puis je n'y ai plus pensé.
C'est en m'éveillant ce matin que m'est venu une solution.

▼je vous la présente

Amusante amusette.
Merci.

Renéb

cailloux · 14-01-2025 15:37:15

Bonjour renéb,

▼Texte caché

Dernière modification par cailloux (14-01-2025 16:19:41)

Bernard-maths · 14-01-2025 16:44:51

Bonjour à tous !

Je viens de découvrir ce sujet il y a 10 minutes !

Je pense qu'on doit naviguer entre distance à 2 droites, puis distance à 1 point et 1 droite, enfin distance à 2 points.

Pas mal !

Et en 3D ???

Bernard-maths

Bernard-maths · 14-01-2025 17:10:53

Bonsoir !

Je ne sais jamais comment mettre en commentaire caché !

SVP

B-m

PS : j'ai oublié 1/4 de plan ...

Dernière modification par Bernard-maths (14-01-2025 17:12:44)

renéb · 14-01-2025 17:19:30

Salut

Épinglée : Fermée : Comment donner la réponse à une énigme...tout en laissant le suspense? par Fred

est le premier post de la rubrique "Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries".
R

Bernard-maths · 14-01-2025 18:05:44

▼Merci !

Dernière modification par Bernard-maths (14-01-2025 18:08:17)

cailloux · 15-01-2025 14:34:20

Bonjour Bernard-maths,

Et en 3D ???

Je pense qu'il n'est pas difficile de déduire l'ensemble des points dans l'espace de celui du plan.

▼figure

Bernard-maths · 15-01-2025 15:09:37

Bonjour cailloux !

Je pense aussi !

Je cherche une équation, pour voir ce que ça donne avec GeoGebra ou Maple ... en 2D ou 3D.

B-m

cailloux · 15-01-2025 15:26:29

Des cylindres dont les génératrices sont parallèles à l'axe des $z$ et dont les directrices sont les courbes du plan $AOB$ solutions du problème 2D :
les équations des surfaces sont les mêmes que celles des courbes du plan (il n'y figure pas de $z$).

Bernard-maths · 15-01-2025 16:39:00

Certes ! Mais je cherche quand même une équation ... un peu complexe.

En connais-tu une ?

B-m

cailloux · 15-01-2025 17:44:39

Je ne sais pas ce qu'est "une équation ... un peu complexe".
En tout état de cause, qui dit équations, dit repère qu'il faut commencer par choisir.
Avec celui suggéré par ma dernière figure (cachée) où $A(2,0)$ et $B(0,4)$, il suffit de "lire" ces équations :
$\begin{cases}x\leq 0\\\text{ et }\\y\leq 0\end{cases}$
Si $0\leq x\leq 2$, $y-x=0$
Si $2\leq x\leq 5$, $y-2\sqrt{x-1}=0$
Si $x\geq 5$, $x-2y+3=0$

Bernard-maths · 15-01-2025 20:28:34

C'est bien, tu t'appliques ... il y a plusieurs façons d'en écrire ...

Pour x<0 et y<0, j'écrirais 0x + 0y =0 ...

Connais tu les fonctions indicatrices ?

Moi j'ai mis A(0,4) et B(6,0). Essaye : h(x) = (abs(x - 6) + x - 6) / 2 / abs(x - 6)

Etc ...

B-m

Wiwaxia · 20-01-2025 10:39:41

Bonjour,

Il m'a paru intéressant de reprendre le problème pour deux positions mutuelles quelconques des segments (A₁A₂, B₁B₂), le premier point (A₁) se superposant avec l"origine et le second (A₂) étant place sur le demi-axe (Ox).

On a par conséquent d'emblée X_A1 = Y_A1 = Y_A2 = 0 , et le système de points considéré est caractérisé par les valeurs
a) du pas (Pg) de la grille, aux nœuds de laquelle se placent les les 4 points, et celles ...
b) des coordonnées entières (X_A2, X_B1, Y_B1, X_B2, Y_B2).

Tout point (M) du plan, respectivement séparé des deux segments par les distances (Da, Db), se caractérise pas la valeur du paramètre

t = (Da - Db)/(Da + Db)

par convention nul lorsque l'on a Da + Db = 0.
En rouge les régions du plan sur lesquelles (t) dépasse 2% (limite sans dimension), en bleu celles sur lesquelles (t) se situe en-dessous de -2%; les teintes intermédiaires signalent l'approche de la frontière (t = 0) représentée en noir, et qui correspond au lieu des points recherchés.

Im1_Pg=30_XY=2_7_3_5_8

OAuilPLDrqZ_Im1-Pg=30-XY=2-7-3-5-8-Sl=0.0100.png

Im2_Pg=24_XY=7_-3_-2_5_8

OAuioXuHeNZ_Im2-Pg=24-XY=7--3--2-5-8-S=0.0100.png

Im3_Pg=34_XY=7_1_2_4_2

OAuiryRcNWZ_Im3-Pg=34-XY=7-1-2-4-2-S=0.0100.png

Im4_Pg=24_XY=7_3_-2_5_8

OAuitudGRRZ_Im4-Pg=24-XY=7-3--2-5-8-S=0.0100.png

Im5_Pg=27_XY=7_0_0_5_9

OAuivHXecVZ_Im5-Pg=27-XY=7-0-0-5-9-S=0.0100.png

Dernière modification par Wiwaxia (20-01-2025 10:42:18)

cailloux · 21-01-2025 18:02:20

Bonjour Wiwaxia,
C'est ce que j'avais proposé plus haut sans grand succès jusqu'à ton intervention :

On peut examiner le cas de deux segments $[AB]$ et $[CD]$ quelconques ...

Un peu psychédélique (je ne peux pas m'empêcher de penser à une célèbre chanson des Beatles (dont je ne peux pas mettre le titre pour cause de spam, un comble !)) mais très joli.
Il reste qu'en toute circonstance, les lieux cherchés sont des réunions de :
-Parties de médiatrices et de bissectrices.
-Arcs de paraboles.
-Voire des régions du plan.
qu'on obtient très facilement sans aucun calcul.
Si j'en ai le courage, je posterai une figure relative à ton second exemple.
P.S. Les cas de figure sont innombrables !
[Edit]J'écris le titre suite aux conseils de yoshi : il s'agissait d'un acronyme de LSD ...

Dernière modification par cailloux (21-01-2025 21:10:37)

yoshi · 21-01-2025 20:09:20

RE,

L'antispam maison est facile à contourner même avec un clavier seulement...

Si l'URL est refusée écrivez-la avec une modif basique (en plus) sans la mettre dans une balise url...
Choisissez votre modif de façon à ce que tout le monde devine immédiatement quel est l'intrus.

@+

Wiwaxia · 21-01-2025 20:28:29

Bonsoir Cailloux,

cailloux a écrit :

... Les cas de figure sont innombrables !

En effet, je n'ai pas envisagé le cas de deux segments colinéaires, avec ou sans superposition.
Le chevauchement partiel doit conduire à des domaines à bords parallèles illimités.

PS: ... ce que j'ai vérifié dans 3 cas; le résultat, prévisible, est plus banal.

OAxrlsqRZcZ_Im1-Pg=34-Seuil=0.0100-AiBi.png

Dernière modification par Wiwaxia (23-01-2025 18:19:50)

Bernard-maths · 21-01-2025 20:41:36

Bonsoir à tous !

Je viens de passer un long we en mariage, et en panne de maths.

Il faut que je reprenne "mes équations" ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (25-01-2025 11:24:07)

cailloux · 25-01-2025 11:02:58

Bonjour,
Comme promis une figure pour le second exemple avec 7 "parties" (pénible à réaliser ...) :

Dernière modification par cailloux (25-01-2025 11:24:15)

Bernard-maths · 25-01-2025 18:25:01

Bonsoir à tous !

Très joli !

J'ai repris mes calculs pour une équation ... et voilà ce que ça donne :

La suite en 3D plus tard.

Bernard-maths

PS @ Wiwaxia : on retrouve tes figures du post 14 ...

Dernière modification par Bernard-maths (26-01-2025 20:25:54)

Bernard-maths · 26-01-2025 09:59:44

Bonjour à tous !

Je vous joins le fichier GeoGebra. Vous pourrez vous amuser à déplacer les 4 points !

https://www.cjoint.com/doc/25_01/OAAi4X … -01-25.ggb

Je donnerai des explications plus détaillées ensuite ...

Bonne journée, Bernard-maths

Ernst · 26-01-2025 12:22:16

Bonjour

Intéressant, tant l'amusette que les développements.

Je propose ici une page qui permet de déplacer les segments à sa guise (souris enfoncée vers les extrémités = longueur et position, vers le mileu = translation) et qui permet d'obtenir une sorte de Voronoï étendu...

cailloux · 26-01-2025 13:28:35

Bonjour Ernst et merci pour ta page très plaisante.
Juste une petite critique : au voisinage de la situation où les deux segments ont une extrémité commune, les résultats "divergent" fortement.
Dans ta page, il est très difficile voire impossible de faire en sorte que les deux segments aient une extrémité commune, situation où des régions entières du plan sont concernées.

Ernst · 26-01-2025 14:53:29

cailloux a écrit :

Dans ta page, il est très difficile voire impossible de faire en sorte que les deux segments aient une extrémité commune, situation où des régions entières du plan sont concernées.

Bonjour cailloux, ah oui, très bien vu !

J’ai ajouté un effet d’aimant pour pouvoir coller les extrémités si nécessaire, on obtient de la sorte les zones mixtes que ma version précédente ne permettait pas.

Merci de t’y être intéressé.

cailloux · 26-01-2025 15:22:16

Là, c'est nickel ! On voit clairement la zone limitée par les deux perpendiculaires aux segments en leur extrémité commune (avec mélange des couleurs des deux segments).

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 11-01-2025 17:09:35

Un ensemble de points

#2 14-01-2025 12:43:05

Re : Un ensemble de points

#3 14-01-2025 15:37:15

Re : Un ensemble de points

#4 14-01-2025 16:44:51

Re : Un ensemble de points

#5 14-01-2025 17:10:53

Re : Un ensemble de points

#6 14-01-2025 17:19:30

Re : Un ensemble de points

#7 14-01-2025 18:05:44

Re : Un ensemble de points

#8 15-01-2025 14:34:20

Re : Un ensemble de points

#9 15-01-2025 15:09:37

Re : Un ensemble de points

#10 15-01-2025 15:26:29

Re : Un ensemble de points

#11 15-01-2025 16:39:00

Re : Un ensemble de points

#12 15-01-2025 17:44:39

Re : Un ensemble de points

#13 15-01-2025 20:28:34

Re : Un ensemble de points

#14 20-01-2025 10:39:41

Re : Un ensemble de points

#15 21-01-2025 18:02:20

Re : Un ensemble de points

#16 21-01-2025 20:09:20

Re : Un ensemble de points

#17 21-01-2025 20:28:29

Re : Un ensemble de points

#18 21-01-2025 20:41:36

Re : Un ensemble de points

#19 25-01-2025 11:02:58

Re : Un ensemble de points

#20 25-01-2025 18:25:01

Re : Un ensemble de points

#21 26-01-2025 09:59:44

Re : Un ensemble de points

#22 26-01-2025 12:22:16

Re : Un ensemble de points

#23 26-01-2025 13:28:35

Re : Un ensemble de points

#24 26-01-2025 14:53:29

Re : Un ensemble de points

#25 26-01-2025 15:22:16

Re : Un ensemble de points

Réponse rapide

Pied de page des forums