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PhilT1

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applications linéaires

Bonjour à tous et toutes

Je sollicite vos avis pour la résolution d'un exercice simple en apparence, mais pour lequel je ne parviens pas à répondre à toutes les questions :

Soit (e₁ ; e₂ ) une base d'un plan vectoriel E₂, u une base d'une droite vectorielle E₁, et f l'application de E₁ dans E₂ définie par :

[tex]\forall x \in \mathbb{R} [/tex] f(x.u) = 2x.e₁ - 5x.e₂

1/ Démontrer que f est une application linéaire de E₁ dans E₂ :  établi sans difficultés

2/ Résoudre dans E₁ l'équation linéaire : f(x.u) = e₁ + e₂

3/ Déterminer une base de Im f

Pour la question 2 : f étant linéaire, on  a  f(x.u) = x.f(u) , avec f(u) se déduisant de l'énoncé pour x  = 1, soit f(u) = 2e₁ - 5e₂. L'équation à résoudre consisterait alors à chercher x tel que x.(2e₁ - 5e₂) =  e₁ + e₂. Et c'est là que je ne comprends pas ; on ne divise pas des vecteurs entre eux.... et je ne vois pas alors comment déterminer x.

Pour la question 3, je pense que l'image de la droite vectorielle par f est/serait la droite vectorielle incluse dans E₂, engendrée  par le vecteur de E₂ :  f(u) = 2e₁ - 5e₂ ?
Une base de Im f serait alors le vecteur f(u), ou tout vecteur qui lui serait colinéaire ?

Merci par avance pour votre aide

Roro

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Re : applications linéaires

Bonjour,

Pour la question 2, la famille $(e_1,e_2)$ étant une base, tu sais que $ae_1+be_2=0$ si et seulement si $a=b=0$. Tu devrais donc en déduire qu'il n'existe pas de solution $x$ à ton équation.

Pour la question 3, tu as la bonne intuition. Reste à montrer rigoureusement que $\mathrm{Im}(f)$ est exactement la droite de $E_2$ engendrée par $f(u)$.

Roro.

[Croisé avec Bridgslam, que je salue, pour dire essentiellement la même chose...]

Dernière modification par Roro (12-01-2025 17:39:38)

bridgslam

Membre Expert

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Re : applications linéaires

Bonjour,

Je ne comprends pas pourquoi vous posez x=1.
Vous obtenez deux combinaisons linéaires d'un vecteur dans une même base, par unicité, les composantes sont donc égales  ce qui donne la valeur de x ( si elle existe ).
Si j'ai bien compris votre question...

Pour la 3/ c'est correct pour moi et vous pouvez revenir au sens de la 2/.

[ Edit: bonjour Roro , croisement inopiné...]
A.

Dernière modification par bridgslam (12-01-2025 17:27:17)

PhilT1

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Re : applications linéaires

>> Roro + Bridgslam

Merci pour vos éléments de réponse, qui permettent d'étayer de façon probante ce que je pensais avoir deviné. Mais comme les mathématiques ne sont pas des devinettes......

Effectivement, poser 2x.e₁ - 5x.e₂ = e₁ + e₂, soit
(2x-1).e₁ - (5x+1).e₂ = 0
revient, sachant que (e₁ ; e₂) est une base de E₂, donc une famille de vecteurs libres de E₂,  à poser le système :
[tex]\left\{\begin{array}{ll}  2x - 1 = 0 \\5x + 1 = 0 \end{array} \right.[/tex]

soit une incompatibilité entre les deux équations ---> pas de solution

Argumentation pour la question 3 : Tout vecteur de E₁ peut s'écrire de façon unique x.u dans la base u, [tex] x \in \mathbb{R}[/tex]. Son image par f est le vecteur de E₂ f(x.u) = 2x.e₁ - 5x.e₂, dont les composantes scalaires sont resp. proportionnelles à 2 et -5. Les images par f des vecteurs de E₁ forment une famille liée de vecteurs de E₂. Les vecteurs de cette famille sont donc colinéaires à f(u), ils dirigent la même droite vectorielle incluse dans E₂. Dans ces conditions, Im f est la droite vectorielle engendrée par f(u)   (d'ou l'utilité, selon moi, de déterminer f(u) en posant x = 1 à partir de l'énoncé).

Merci encore pour vos aides et vos éventuels autres commentaires.