Forum de mathématiques - Bibm@th.net

D.Am.Gom

Membre

Inscription : 27-10-2024

Messages : 3

Comment démontrer la formule d'Euler?

Bonjour,

J'essaye d'établir une démonstration de la formule d'Euler : [tex]\forall \theta \in \mathbb{R}, exp(i\theta) = cos(\theta) + isin(\theta)[/tex] (que j'avais admise jusqu'alors).

J'avais déjà fait une démonstration par les équations différentielles, mais celle-ci utilise la dérivation de [tex]x \longrightarrow e^{ix}[/tex], dérivation dont la seule preuve que j'ai utilise ladite formule d'Euler (pas satisfaisant).

J'ai donc décidé d'entreprendre la preuve par les développements en série entière. Pas de problème pour les développements de sinus et cosinus à l'aide de Taylor reste intégral. Par contre, pour l'exponentielle, j'aimerais montrer que [tex]\forall z \in \mathbb{C}, \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{n}}{n!} = exp(z)[/tex]. Mon problème est là : je ne sais pas si c'est une expression que l'on pose, ou que l'on démontre. J'en ai bien trouvé des démonstrations (sur Internet, ou dans mon ancien cours en prépa), mais qui font intervenir la formule d'Euler d'une manière ou d'une autre avec les propriétés de l'exponentielle complexe.

Que dois-je donc faire pour arrêter de tourner en rond?

Merci pour votre aide.

D.A.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Comment démontrer la formule d'Euler?

Bonjour

. La vraie bonne question à se poser avant de vouloir démontrer cette formule est : comment définis tu $\exp(i\theta)$ ?

F.

D.Am.Gom

Membre

Inscription : 27-10-2024

Messages : 3

Re : Comment démontrer la formule d'Euler?

Bonjour,

Je pense le définir comme [tex]exp(i\theta) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(i\theta)^{n}}{n!}[/tex].

D.A.

DeGeer

Membre

Inscription : 28-09-2023

Messages : 222

Re : Comment démontrer la formule d'Euler?

Bonjour
En général, en terminale et en première année du supérieur, $exp(i \theta)$ est défini par la formule d'Euler, donc il n'y a rien à démontrer. On peut retrouver la formule d'Euler à l'aide de l'exponentielle complexe, qui est souvent définie par $exp(z) := \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{k!}$, en appliquant la formule à $i \theta$ et en décomposant la somme (ce qui demande un peu de précautions avec la notion de convergence).

Dernière modification par DeGeer (01-01-2025 11:50:18)

D.Am.Gom

Membre

Inscription : 27-10-2024

Messages : 3

Re : Comment démontrer la formule d'Euler?

Bien, donc je définis l'exponentielle complexe comme telle (convergence absolue assurée par d'Alembert), j'arrive ensuite à démontrer la formule d'Euler et donc les résultats sur les complexes qui s'en suivent. Il y a coïncidence sur [tex]\mathbb{R}[/tex] entre l'exponentielle réelle et l'exponentielle complexe grâce au développement en série entière de l'exponentielle réelle que je sais démontrer.

Y a-t-il d'autres choses à considérer afin que tout concorde?

Dernière modification par D.Am.Gom (01-01-2025 12:06:40)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Comment démontrer la formule d'Euler?

Bonjour

  Ce qui peut être compliqué c'est de faire le lien entre la fonction cosinus définie par série entière et sa version géométrique.

F.