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bibmgb

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Re : groupes quotients

Merci à vous deux pour votre aide, j’ai démarré de très très loin en n’ayant même pas compris que [tex](\mathbb{Z}/64\mathbb{Z})^\times[/tex] était le groupe des inversibles…

bridgslam

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Re : groupes quotients

Bonjour,

De rien.
Pour se familiariser avec la structure de groupe, il est formateur ( voire nécessaire ) de commencer par de petits exercices simples, sans se presser, par exemple:

- Autour de l'ordre :
  Soit G un groupe. Soient a et b dans G.
(1) Montrer que $a, a^{−1}, bab^{−1}$ ont tous le même ordre.
(2) Montrer que ab et ba ont le même ordre.
(3) Soit n un entier. Exprimer l’ordre de $a^n$ en fonction de n et de l’ordre de a.
(4) Supposons que ab = ba, que 〈a〉∩〈b〉 = {e}, et que a et b sont d’ordre fini n et m, respectivement.
Exprimer l’ordre de ab en fonction de n et m.
(5) Supposons que ab = ba, et que a et b sont d’ordre fini n et m, respectivement, avec n et m
premiers entre eux. Exprimer l’ordre de ab en termes de n et m

- Calculs dans un groupe cyclique
  Quelle est la somme des éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ( n non nul)  ?
  Quel est le produit des racines n-ièmes de 1 dans $\mathbb{C} $ ?

- Sous-groupes et cardinaux
  Existe-t-il un groupe infini dont le nombre de sous-groupes est fini ? Si oui en donner un?

Peut-être celui-ci étant  le seul demandant un minimum d'imagination:

▼disjonction des cas

Soit G un groupe infini.
De deux choses l'une:
- Ou bien tout élément de G est d'ordre fini (G est dit "de torsion", pour le fun)
   Alors comme tout g dans G est dans un tel sous-groupe, si l'ensemble des sous-groupes de G était fini, le nombre de sous-groupe de la forme <g> aussi,
   et donc G serait réunion finie de sous-groupes finis, donc serait fini Contradiction.
- Ou bien il existe g dans G d'ordre infini.  Mais alors <g> est un sous-groupe de G isomorphe à $\mathbb{Z}$, qui contient lui-même une infinité de sous-groupes distincts. Donc G aussi.

Ainsi tout groupe d'ordre infini contient nécessairement une infinité de sous-groupes.

Ces trois exercices sont résolubles sans connaissance approfondie, juste à partir des notions de base (et un peu d'arithmétique) , et font donc appel simplement au bon sens.
Bien-sûr les choses deviennent plus passionnantes quand on dispose de théorèmes en rapport avec des propriétés plus profondes.
Ce n'est absolument pas le cas ici.
De mon côté ce qui m'a toujours interpellé, c'est la richesse des raisonnements et résultats concernant une  unique loi de composition interne sur un ensemble...

Bonne soirée
Alain

Dernière modification par bridgslam (13-12-2024 10:34:09)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."