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bridgslam

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sous-groupe normal dense et torsion du quotient

Bonjour,

Pour finir agréablement la soirée je me suis proposé un peu d'algèbre, avec le sujet suivant:

Un sous-groupe normal A d'un groupe G est dit dense, ssi pour tout sous-groupe H de G non réduit au neutre, $A \cap H \ne \{e\}$ (1)
Le but est de montrer l'équivalence entre les propositions (1) et (2) :
(2) G/A est un groupe de torsion, et pour tout g dans G d'ordre fini et premier, g est dans A.

(1) => (2) ne m'a pas posé de soucis.

J'aimerais être sûr que pour montrer (2) => (1) les arguments suivants tiennent la route.

Supposons donc (2) , et supposons par l'absurde qu'il existe un s-g H de G non trivial tel que $A \cap H = \{e\}$. On doit aboutir à une contradiction.

Soit $h \in H\backslash \{e\} $. Donc $ h \notin A $ . Ainsi la classe $ \overline{h}$ de h modulo A est d'ordre fini (G/A étant de torsion) et au moins égal à 2.
Dans le sous-groupe  cyclique de G/A engendré par $\overline{h}$, d'ordre divisé par au moins un nombre premier p, on peut toujours trouver
$\overline{u} = \overline{h} ^{q} $ d' ordre p.
Ainsi $h^{qp} \in A \cap H = \{e\}$. Donc $h^q$ est d'ordre p (premier), ainsi cet élément est donc dans A (d'après l'hypothèse (2) ) et dans H bien-sûr.
Mais $h^q = e$ est impossible car alors $ \overline{u}$ serait d'ordre 1 et pas d'ordre p.

Donc A rencontre non trivialement tout sous-groupe de G non trivial , c-à-d A est dense (1).

A titre d'exemple, sauf erreur, dans $ S_n$ le seul sous-groupe A normal dense est lui-même (donc peu intéressant).
C'est la seule possibilité pour que les permutations d'ordre premier  p=2 , à savoir les transpositions , appartiennent à A.
Et il est clair que tout sous-groupe normal strict n'intersectera pas sauf en Id les sous-groupes engendrés par les transpositions.
On pourra donc chercher des exemples plus intéressants...

Alain.

Dernière modification par bridgslam (26-11-2024 22:10:34)