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#1 25-11-2024 17:49:29

bibmgb
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Arithmétiques des polynômes

Bonjour,
L'objectif de cet exercice est de déterminer un polynôme P(X) du septième degré tel que P(X)+1 soit divisible par [tex](X-1)^4[/tex] et que P(X)-1 soit divisible par [tex](X+1)^4[/tex].

  1. Donnez une forme possible du polynôme dérivé P'(X).

  2. En déduire une expression de P à une constante près.

  3. En utilisant une relation entre P(1) et P(-1), déterminer l'expression de P.

J'ai un souci avec la question 2 car j'obtiens une expression de P à deux constantes près et non une constante près.
Une constante qui vient du coefficient dominant de P' et une constante d'intégration pour passer de P' à P.

  1. Il existe deux polynômes Q et H tels que [tex]P(X)+1=(X-1)^4Q[/tex] et [tex]P(X)-1=(X+1)^4H[/tex].
    Donc [tex]P'(X)=(X-1)^3(4Q+(X-1)Q')[/tex] et [tex]P'(X)=(X+1)^3(4H+(X+1)H')[/tex].
    On en déduit que  [tex]P'(X)[/tex] est divisible par [tex](X-1)^3[/tex] et par [tex](X+1)^3[/tex]. Comme [tex](X-1)^3[/tex] et [tex](X+1)^3[/tex] sont premiers entre eux alors d'après le lemme de Gausse [tex]P'(X)[/tex] est divisible par [tex](X-1)^3(X+1)^3[/tex].
    Comme [tex]P[/tex] est de degré 7 alors [tex]P'[/tex] est de degré 6 donc il existe une constante [tex]\lambda[/tex] non nulle telle que [tex]P'(X)=\lambda (X-1)^3(X+1)^3[/tex].

  2. La deuxième constante vient de l'intégration de [tex]P'[/tex]. J'ai donc deux constantes et non une. Je ne vois pas comment passer à une seule constante.
    Merci pour votre aide.

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#2 25-11-2024 18:43:12

cailloux
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Re : Arithmétiques des polynômes

Bonjour,
Avoir deux constantes me semble normal mais il se peut que quelque chose m'échappe ...
De toute manière avec $P(1)=-1$ et $P(-1)=1$, il est facile de les calculer

Dernière modification par cailloux (25-11-2024 18:43:34)

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#3 25-11-2024 18:45:56

bibmgb
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Re : Arithmétiques des polynômes

Oui je sais déterminer les deux constantes avec les valeurs de P(1) et P(-1).
Je me demandais si je n'avais pas loupé quelque chose car on demande une (seule) constante. Mais a priori P' n'est pas unitaire et la constante d'intégration on ne peut pas y échapper non plus.

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#4 25-11-2024 18:51:37

Rescassol
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Re : Arithmétiques des polynômes

Bonsoir,

On a de façon évidente $P(1)=-1$ et $P(-1)=1$, donc deux équations pour trouver deux constantes, puis $P$.
Je ne vois donc pas d'où sort cette question 2 ni la relation mentionnée à la question 3.
Finalement $P(x)=\dfrac{x}{16}(5x^6-21x^4+35x^2-35)$.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (25-11-2024 18:52:59)

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#5 25-11-2024 18:52:42

cailloux
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Re : Arithmétiques des polynômes

Une solution consisterait à montrer en amont que $P$ est nécessairement impair. Je ne vois pas comment pour l'instant.

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#6 25-11-2024 18:53:32

bibmgb
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Re : Arithmétiques des polynômes

Ok merci beaucoup.

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#7 25-11-2024 18:56:48

Rescassol
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Re : Arithmétiques des polynômes

Bonsoir,

Ou alors $P'(X)=(X-1)^3(X+1)^3$ est une forme possible de $P'$.
$P'(x)=(x^2-1)^3$ est pair, donc a pour primitive $R(x)+Cte$, où $R$ est impair.
$P(-1)=-P(1)$ entraîne que $Cte=0$ donc que $P$ est impair.
Il n'y a plus qu'à ajuster le coefficient multiplicatif.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (25-11-2024 19:03:52)

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#8 29-11-2024 17:33:07

bibmgb
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Messages : 80

Re : Arithmétiques des polynômes

Bonjour,
Je rebondis sur la réponse de Rescassol.

1ère question concernant l'intégration d'une fonction paire ou impaire :

Si f est paire alors la primitive F de f qui s'annule en 0 est impaire. Pour démontrer ce résultat, on pose la fonction G qui à x associe F(x)+F(-x). Pour montrer que G' est la fonction nulle on a besoin de l'hypothèse f paire et pour montrer que G est la fonction nulle on a besoin de l'hypothèse F s'annule en 0.

Si maintenant on part de l'hypothèse f impaire alors on va considèrer la fonction G qui à x associe F(x)-F(-x). Pour montrer que G' est la fonction nulle, on utilise l'hypothèse f paire mais pour montrer que la constante d'intégration de G' est nulle on n'a cette fois-ci pas besoin de l'hypothèse "F s'annule en 0". Je sais qu'une fonction paire ne s'annule pas nécessairement en 0 mais quand je fais un dessin d'une fonction f impaire, il me semble que pour avoir F paire, on doit prendre l'intégrale à partir de 0. Donc je suis confuse la dessus.

Deuxième question concernant le coefficient multiplicatif :

R(X) est donc la primitive de P'(X) qui s'annule en 0. P' étant paire, R est impaire. On a donc en toute généralité P(X)=R(X)+Cte. De plus, P(-1)=-P(1) donc Cte=0. Donc

[tex]P(x)=R(x)= \int_0^x (u^2-1)^3 du=\int_0^x (u^6-3u^4+3u^2-1) du=\dfrac{x^7}{7}-3\dfrac{x^5}{5}+x^3-x[/tex]

Par contre, je ne comprends pas votre dernière phrase "Il n'y a plus qu'à ajuster le coefficient multiplicatif" ?

Merci.

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#9 29-11-2024 17:59:13

Rescassol
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Re : Arithmétiques des polynômes

Bonjour,

Le polynôme $P$ cherché est proportionnel au dernier polynôme $R$ que tu as donné.
La condition $P(1)=-1$, par exemple, permet de calculer le coefficient de proportionnalité.

Cordialement,
Rescassol

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#10 29-11-2024 19:21:10

cailloux
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Re : Arithmétiques des polynômes

Bonsoir,
Juste une remarque relative au message 7 de Rescassol ici :

Ou alors $P'(X)=(X-1)^3(X+1)^3$ est une forme possible de $P'$.

Pourquoi pas :
$P'(X)=k(X-1)^3(X+1)^3$ est une forme possible de $P'$
et continuer comme tu l'as fait en montrant que $P$ est impair ?

Dernière modification par cailloux (29-11-2024 19:23:36)

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#11 29-11-2024 19:50:38

Rescassol
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Re : Arithmétiques des polynômes

Bonsoir,

Caiiloux, c'était pour avoir une seule constante comme demandé.
Mais c'est vrai, c'est assez artificiel.

Cordialement,
Rescassol

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#12 29-11-2024 23:03:23

cailloux
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Re : Arithmétiques des polynômes

Bonne nuit Rescassol,
Je te comprends mais il reste qu'il me semble que l'énoncé original est mal ficelé.

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#13 30-11-2024 00:45:11

Rescassol
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Messages : 178

Re : Arithmétiques des polynômes

Bonsoir,

On est d'accord, Cailloux.

Cordialement,
Rescassol

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#14 30-11-2024 12:26:06

bibmgb
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Re : Arithmétiques des polynômes

Bonjour,
Concernant la première question de ma précédente intervention, pourquoi n’a  t on pas besoin de l’hypothèse F s’annule en zéro pour montrer que l’intégrale d’une fonction impaire est paire. Si on intègre pas à partir de 0, on n’obtient pas une fonction paire ?
Merci.

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#15 30-11-2024 17:28:09

bridgslam
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Re : Arithmétiques des polynômes

Bonsoir,

Il n'y a pas à confondre avec les fonctions et leurs parités ( même si un lien existe).
ici P' o (-X) = P(X) permet d'affirmer que le polynôme (formel) P' a tous ses monômes de degré pair ( polynôme pair).
Comme la dérivation descend  d'une unité les degrés, un polynôme quelconque dont il est le polynôme dérivé est impair.
Tout est formel dans cette histoire.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#16 01-12-2024 13:51:54

bibmgb
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Re : Arithmétiques des polynômes

Bonjour,
Il est clair que si tous les monômes d’un polynôme Q sont de degrés pairs alors Q est pair mais comment montre-t-on la réciproque ?

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#17 01-12-2024 14:57:48

bridgslam
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Re : Arithmétiques des polynômes

Bonjour,

Composer avec le polynôme -X, et unicité des coefficients d'un polynôme.

A


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#18 02-12-2024 19:34:24

bibmgb
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Messages : 80

Re : Arithmétiques des polynômes

Ok j'ai compris : On pose [tex]Q(X)=-X[/tex];
[tex]P\circ Q (X)=P(-X)=\Sigma (-1)^k a_k X^k[/tex]. Or [tex]P(-X)=P(X)[/tex] donc [tex]P\circ Q=P[/tex] donc par unicité des coefficients d'un polynôme, on a pour tout [tex]k[/tex], [tex](-1)^k a_k=a_k[/tex].
Soit [tex]a_k=0[/tex] soit [tex]a_k\neq 0[/tex] et [tex]k[/tex] est pair.
Donc les coefficients non nuls de P sont des coefficients associés à des puissances paires de X.

Dernière modification par bibmgb (02-12-2024 19:37:00)

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