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#1 25-11-2024 16:49:29
- bibmgb
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Arithmétiques des polynômes
Bonjour,
L'objectif de cet exercice est de déterminer un polynôme P(X) du septième degré tel que P(X)+1 soit divisible par [tex](X-1)^4[/tex] et que P(X)-1 soit divisible par [tex](X+1)^4[/tex].
Donnez une forme possible du polynôme dérivé P'(X).
En déduire une expression de P à une constante près.
En utilisant une relation entre P(1) et P(-1), déterminer l'expression de P.
J'ai un souci avec la question 2 car j'obtiens une expression de P à deux constantes près et non une constante près.
Une constante qui vient du coefficient dominant de P' et une constante d'intégration pour passer de P' à P.
Il existe deux polynômes Q et H tels que [tex]P(X)+1=(X-1)^4Q[/tex] et [tex]P(X)-1=(X+1)^4H[/tex].
Donc [tex]P'(X)=(X-1)^3(4Q+(X-1)Q')[/tex] et [tex]P'(X)=(X+1)^3(4H+(X+1)H')[/tex].
On en déduit que [tex]P'(X)[/tex] est divisible par [tex](X-1)^3[/tex] et par [tex](X+1)^3[/tex]. Comme [tex](X-1)^3[/tex] et [tex](X+1)^3[/tex] sont premiers entre eux alors d'après le lemme de Gausse [tex]P'(X)[/tex] est divisible par [tex](X-1)^3(X+1)^3[/tex].
Comme [tex]P[/tex] est de degré 7 alors [tex]P'[/tex] est de degré 6 donc il existe une constante [tex]\lambda[/tex] non nulle telle que [tex]P'(X)=\lambda (X-1)^3(X+1)^3[/tex].La deuxième constante vient de l'intégration de [tex]P'[/tex]. J'ai donc deux constantes et non une. Je ne vois pas comment passer à une seule constante.
Merci pour votre aide.
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#2 25-11-2024 17:43:12
- cailloux
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Re : Arithmétiques des polynômes
Bonjour,
Avoir deux constantes me semble normal mais il se peut que quelque chose m'échappe ...
De toute manière avec $P(1)=-1$ et $P(-1)=1$, il est facile de les calculer
Dernière modification par cailloux (25-11-2024 17:43:34)
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#3 25-11-2024 17:45:56
- bibmgb
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Re : Arithmétiques des polynômes
Oui je sais déterminer les deux constantes avec les valeurs de P(1) et P(-1).
Je me demandais si je n'avais pas loupé quelque chose car on demande une (seule) constante. Mais a priori P' n'est pas unitaire et la constante d'intégration on ne peut pas y échapper non plus.
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#4 25-11-2024 17:51:37
- Rescassol
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Re : Arithmétiques des polynômes
Bonsoir,
On a de façon évidente $P(1)=-1$ et $P(-1)=1$, donc deux équations pour trouver deux constantes, puis $P$.
Je ne vois donc pas d'où sort cette question 2 ni la relation mentionnée à la question 3.
Finalement $P(x)=\dfrac{x}{16}(5x^6-21x^4+35x^2-35)$.
Cordialement,
Rescassol
Dernière modification par Rescassol (25-11-2024 17:52:59)
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#7 25-11-2024 17:56:48
- Rescassol
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Re : Arithmétiques des polynômes
Bonsoir,
Ou alors $P'(X)=(X-1)^3(X+1)^3$ est une forme possible de $P'$.
$P'(x)=(x^2-1)^3$ est pair, donc a pour primitive $R(x)+Cte$, où $R$ est impair.
$P(-1)=-P(1)$ entraîne que $Cte=0$ donc que $P$ est impair.
Il n'y a plus qu'à ajuster le coefficient multiplicatif.
Cordialement,
Rescassol
Dernière modification par Rescassol (25-11-2024 18:03:52)
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#8 29-11-2024 16:33:07
- bibmgb
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Re : Arithmétiques des polynômes
Bonjour,
Je rebondis sur la réponse de Rescassol.
1ère question concernant l'intégration d'une fonction paire ou impaire :
Si f est paire alors la primitive F de f qui s'annule en 0 est impaire. Pour démontrer ce résultat, on pose la fonction G qui à x associe F(x)+F(-x). Pour montrer que G' est la fonction nulle on a besoin de l'hypothèse f paire et pour montrer que G est la fonction nulle on a besoin de l'hypothèse F s'annule en 0.
Si maintenant on part de l'hypothèse f impaire alors on va considèrer la fonction G qui à x associe F(x)-F(-x). Pour montrer que G' est la fonction nulle, on utilise l'hypothèse f paire mais pour montrer que la constante d'intégration de G' est nulle on n'a cette fois-ci pas besoin de l'hypothèse "F s'annule en 0". Je sais qu'une fonction paire ne s'annule pas nécessairement en 0 mais quand je fais un dessin d'une fonction f impaire, il me semble que pour avoir F paire, on doit prendre l'intégrale à partir de 0. Donc je suis confuse la dessus.
Deuxième question concernant le coefficient multiplicatif :
R(X) est donc la primitive de P'(X) qui s'annule en 0. P' étant paire, R est impaire. On a donc en toute généralité P(X)=R(X)+Cte. De plus, P(-1)=-P(1) donc Cte=0. Donc
[tex]P(x)=R(x)= \int_0^x (u^2-1)^3 du=\int_0^x (u^6-3u^4+3u^2-1) du=\dfrac{x^7}{7}-3\dfrac{x^5}{5}+x^3-x[/tex]
Par contre, je ne comprends pas votre dernière phrase "Il n'y a plus qu'à ajuster le coefficient multiplicatif" ?
Merci.
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#9 29-11-2024 16:59:13
- Rescassol
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Re : Arithmétiques des polynômes
Bonjour,
Le polynôme $P$ cherché est proportionnel au dernier polynôme $R$ que tu as donné.
La condition $P(1)=-1$, par exemple, permet de calculer le coefficient de proportionnalité.
Cordialement,
Rescassol
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#10 29-11-2024 18:21:10
- cailloux
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Re : Arithmétiques des polynômes
Bonsoir,
Juste une remarque relative au message 7 de Rescassol ici :
Ou alors $P'(X)=(X-1)^3(X+1)^3$ est une forme possible de $P'$.
Pourquoi pas :
$P'(X)=k(X-1)^3(X+1)^3$ est une forme possible de $P'$
et continuer comme tu l'as fait en montrant que $P$ est impair ?
Dernière modification par cailloux (29-11-2024 18:23:36)
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#14 30-11-2024 11:26:06
- bibmgb
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Re : Arithmétiques des polynômes
Bonjour,
Concernant la première question de ma précédente intervention, pourquoi n’a t on pas besoin de l’hypothèse F s’annule en zéro pour montrer que l’intégrale d’une fonction impaire est paire. Si on intègre pas à partir de 0, on n’obtient pas une fonction paire ?
Merci.
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#15 30-11-2024 16:28:09
- bridgslam
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Re : Arithmétiques des polynômes
Bonsoir,
Il n'y a pas à confondre avec les fonctions et leurs parités ( même si un lien existe).
ici P' o (-X) = P(X) permet d'affirmer que le polynôme (formel) P' a tous ses monômes de degré pair ( polynôme pair).
Comme la dérivation descend d'une unité les degrés, un polynôme quelconque dont il est le polynôme dérivé est impair.
Tout est formel dans cette histoire.
Alain
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#18 02-12-2024 18:34:24
- bibmgb
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Re : Arithmétiques des polynômes
Ok j'ai compris : On pose [tex]Q(X)=-X[/tex];
[tex]P\circ Q (X)=P(-X)=\Sigma (-1)^k a_k X^k[/tex]. Or [tex]P(-X)=P(X)[/tex] donc [tex]P\circ Q=P[/tex] donc par unicité des coefficients d'un polynôme, on a pour tout [tex]k[/tex], [tex](-1)^k a_k=a_k[/tex].
Soit [tex]a_k=0[/tex] soit [tex]a_k\neq 0[/tex] et [tex]k[/tex] est pair.
Donc les coefficients non nuls de P sont des coefficients associés à des puissances paires de X.
Dernière modification par bibmgb (02-12-2024 18:37:00)
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