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#1 02-10-2024 11:34:23

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 184

La loi faible des grands nombres.

Bonjour,
Juste par curiosité, dans la loi faible des grands nombres, quel est le sens de:
a)du mot faible.
b)du mot grands nombres
Merci d'avance.

Hors ligne

#2 02-10-2024 16:24:33

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 204

Re : La loi faible des grands nombres.

Bonjour,

  Le mot faible vient de la conclusion. Dans la loi faible des grands nombres,
on démontre que si $(X_n)$ est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi,
d'espérance $m$ définies sur un même univers fini $\Omega$ (je prends l'énoncé du lycée), alors
pour tout $\varepsilon >0$,
$$\lim_{n\to+\infty}P\left(\left|\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}-m\right|\geq \varepsilon\right)=0.$$

En langage des probabilités (bien plus avancé que ce qu'on enseigne au lycée), on parle de convergence en probabilité
de la moyenne $(X_1+\cdots+X_n)/n$ vers $m.$  La convergence en probabilité est un des modes de convergence
que l'on utilise quand on fait des probabilités, et c'est une notion de convergence plutôt faible.
Il existe aussi une loi forte des grands nombres où, sous des hypothèses un peu différentes, on
démontre une autre forme de convergence, qui est plus forte.

Pour le terme grands nombres, je dirais qu'il vient du fait que l'on prend une limite.

F.

Hors ligne

#3 02-10-2024 17:40:17

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 184

Re : La loi faible des grands nombres.

Je pense que j'ai compris, merci.

Hors ligne

#4 02-10-2024 23:03:01

Borassus
Membre
Lieu : Boulogne-Billancourt
Inscription : 07-02-2023
Messages : 777

Re : La loi faible des grands nombres.

Bonsoir,

Si je peux me permettre, je rajouterai « pour tout $\epsilon > 0$, si petit soit-il », [ajouté] car c'est précisément ce « si petit soit-il » qui donne véritablement son sens à la formulation.

La traduction pourrait être : Quand le nombre de variables aléatoires tend vers l'infini, la probabilité que leur moyenne soit à l'extérieur de l'intervalle $] \, m - \epsilon \, ; \, m + \epsilon \, [$ tend vers 0, [ajouté] si arbitrairement petit que ce soit cet intervalle.

Dernière modification par Borassus (04-10-2024 06:42:23)


A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

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