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Limon-Ovin

Invité

Loi normale

Bonjour,

Bien des années après l'arrêt des études, je me replonge dans les mathématiques. Je cherche à calculer les probabilités de résultat d'une exploitation agricole.
PS : Je ne connais pas le niveau de ma question, lycée ou autre. Si nécessaire, vous pouvez modifier la catégorie.
Il faudrait m'expliquer la méthode pour résoudre le type de problèmes suivants :

1/ Le produit de plusieurs loi normale
Le rendement du blé est de 90 q/ha, suit une loi normale de N(85, 5).
Le cours du blé sur les marchés est de 200 €/T, suit une loi normale de N(200;50).
Comment puis-je déterminer le CA de l'exploitation (€/ha) ?

L'espérance de CA serait de 90 q/ha * 200 €/T = 1800€/ha.
Mais comment faire pour pouvoir déterminer la variance ou l'écart-type ?

2/ La différence de loi normale
Le poids en kg d'un porc suit une loi normale N(90, 2) vendu à 2 €/kg.
Le coût en euros de l'alimentation d'un porc suit également une loi normale N(150, 30).

L'espérance de marge par porc serait de 30 € (= 90*2-150).
Même question que précédemment, comment faire pour pouvoir déterminer la variance ou l'écart-type ?

Pouvez-vous m'expliquer comment procéder pour résoudre les deux problématiques ,

Je vous en remercie d'avance,

Cordialement

Limon-Ovin

Invité

Re : Loi normale

Ma question est toujours d'actualité.

Eust_4che

Membre

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Re : Loi normale

Bonjour,

Si ta distribution suit une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, alors, par les notations, son espérance est $\mu$ et son écart type est $\sigma$.

Pour le reste, je ne comprend pas l'énoncé. Le rendement de blés est donné ? ou il suit une loi normale $\mathcal{N}(85, 5)$ ?

Fred

Administrateur

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Re : Loi normale

Bonjour,

  Il y a une condition impérative pour que tu puisses faire quelque chose, c'est que tes variables aléatoires doivent être indépendantes. Si c'est le cas, alors :
* pour le produit, on a les règles générales
alors tu sais que $E(XY)=E(X)E(Y)$ et $V(XY)=E((XY)^2)-E(XY)^2=E(X^2)E(Y^2)-(E(X))^2(E(Y))^2,$ ce qui te permet de faire les calculs
en partant de tes données.
Attention ! $XY$ ne suit en général pas une loi normale même si $X$ et $Y$ suivent une loi normale.
* pour la somme, tu sais que $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ (ne nécessite pas l'indépendance) et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ (nécessite que $X$ et $Y$ sont indépendantes). A nouveau, tu peux faire le calcul avec tes données.

F.

Limon-Ovin

Invité

Re : Loi normale

Merci pour vos retours,

Non, le rendement n'est pas donné : je me suis mal exprimé. Au lieu de lire que le rendement est de 90qx/ha, j'aurai dû indiqué qu'il est en moyenne de 85qx/ha. Le rendement suit bien une loi normale N(85,5).

J'essaye de décrypter ces formules (et de vérifier la notion d'indépendance) et je tente de répondre à ma question.

Merci à vous

Limon-Ovin

Invité

Re : Loi normale

Rebonjour,
Je me lance pour la différence la différence de loi normal.

Le poids en kg d'un porc suit une loi normale N(90, 2) vendu à 2 €/kg.
Le coût en euros de l'alimentation d'un porc suit également une loi normale N(150, 30).

L'objectif est de déterminer la loi normal suivant le résultat par porc : 2kg * poids du porc (X) - charge d'alimentation (Y).
Pour la notion d'indépendance, le poids d'un porc est indépendant du prix de l'aliment car les abattoirs souhaitent avoir des carcasses standardisés pour faciliter leur manipulation. Donc, j'ai la possibilité d'additionner les lois normales.

En partant de : 2X - Y, avec X --> N(90;2) et Y --> N(-150;30).

Alors, E(X+Y) = 2 * E(X) + E(Y) = 2 * 90 -150 = 30. Jusque là, je reste sur mon calcul initial.

Par contre, là où je m'aventure :
V(X+Y) = V(X) + V(Y) = (2 * 2^0.5 + 30^0.5), env.= 8.306
Soit 2X-Y --> N(30;68,984).

Pour ma compréhension, la probabilité d'un très fort résultat (supérieur à 100€ par porc, env.= 30+68.984) est de l'ordre de 16%. Il s'agit de la même probabilité de réaliser un déficit de 40€.

Merci d'avance pour vos remarques.

PS : (pour la partie sur le produit (mon histoire de rendement et de cours de blé), j'aimerai bien un indice pour comprendre la différence entre E(X2) et (E(X))² que je n'arrive pas à saisir).

Cordialement

Fred

Administrateur

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Re : Loi normale

Re-

  Attention, la variance de 2X est $4V(X)$. Et j'ai l'impression que tu confonds variance et écart type lorsque tu prends des puissances $0.5$.

F.