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#1 10-09-2024 16:41:05
- Artr
- Invité
Relation symetrique et transitive, mais non reflexive
Bonjour a tous,
Auriez vous des exemples d'une relation sur un ensemble X qui soit symetrique et transitive, mais non reflexive.
Je cherche en particulier une relation "explicite", car on peut facilement construire nous meme la relation en prenant par exemple X = {a, b, c} et R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a)}.
Je n'ai cependant pas reussi a en trouver une ou ne nous construisions pas nous meme la relation R
Merci d'avance
#4 10-09-2024 20:01:55
- bridgslam
- Membre
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- Messages : 1 420
Re : Relation symetrique et transitive, mais non reflexive
Bonsoir,
Bonjour,
peut-être la relation « est orthogonale à » car elle n’est pas réflexive puisqu’une droite n’est pas orthogonale à elle-même,elle est symétrique, et transitive.
Si D perpendiculaire à D' et D' perpendiculaire à D" , D et D" sont //, pas vraiment perpendiculaires, ce n'est pas transitif.
La restriction de la relation aux éléments concernés dans une telle relation étant forcément d'équivalence, les relations possédant la propriété demandée revient à l'ajout d' éléments n'ayant aucune relation, c'est donc assez artificiel.
Néanmoins la relation sur la droite réelle "x = y et x >0 " convient, c'est l'égalité sur les positifs non nuls. Aucun négatif n'est en relation avec lui-même.
A.
Dernière modification par bridgslam (10-09-2024 21:45:35)
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#5 10-09-2024 21:23:07
- DeGeer
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- Messages : 83
Re : Relation symetrique et transitive, mais non reflexive
Bonsoir.
La relation vide sur un ensemble non vide est symétrique et transitive (car elles sont de la forme A => B, où A est de la forme $x \in \emptyset$, donc fausse) et non réflexive car comme l'ensemble est non vide, il contient un élément qui n'est pas en relation avec lui-même.
De manière générale, si tu pars d'un ensemble muni d'une relation symétrique et transitive (par exemple une relation d'équivalence), que tu lui ajoutes un élément et que tu prolonges la relation de manière à ce que le nouvel élément n'est en relation avec aucun élément, alors la nouvelle relation sera symétrique transitive non réflexive.
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