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#1 09-09-2024 11:17:11

MarielleC
Membre
Inscription : 06-09-2024
Messages : 3

Somme et Produit : problème d'indices

Bonjour à tous,

Je suis un peu bloquée pour comprendre une démonstration. J'ai cherché partout en quête d'une astuce sur les indices dans les sommes et les produits mais je ne vois rien qui pourrait m'aider à comprendre.

[tex]
S_{n}=ln((n+1)^{n+1})-\sum\limits_{k=2}^\color{Red}{n+1} ln(k)
[/tex]
[tex]
S_{n}=ln((n+1)^{n+1})-ln(\prod\limits_{k=2}^\color{Red}{n} k)
[/tex]

Pourquoi passe-t-on d'une somme jusqu'à $n+1$ à un produit jusqu'à $n$ ? Car le passage de la somme au produit que je connais me dit :
[tex]
ln(\prod\limits_{k=1}^\color{Red}{n}x_{k})=\sum\limits_{k=1}^\color{Red}{n} ln(x_{k})
[/tex]

Merci !

Hors ligne

#2 09-09-2024 12:58:20

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 231

Re : Somme et Produit : problème d'indices

Bonjour,

  On ne peut pas remplacer la somme jusque $n+1$ par le produit jusqu'à $n$ ...
Il doit y avoir une erreur dans le document que tu lis.

F.

Hors ligne

#3 09-09-2024 15:49:41

MarielleC
Membre
Inscription : 06-09-2024
Messages : 3

Re : Somme et Produit : problème d'indices

D'accord merci, je vais donc recopier tout l'énoncé et la solution proposée pour savoir si j'ai loupé quelque chose avant ou s'il s'agit bien d'une erreur.

Montrer que $P_{n}=\prod\limits_{k=1}^n (1+\frac{1}{k})^k = \frac{(n+1)^n}{n!}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$

Solution :
Il revient au même de calculer $S_n = ln(P_n )$

On a :
$ S_n = ln(\prod\limits_{k=1}^n (\frac{k+1}{k})^k )$

$= \sum\limits_{k=1}^n (k\, ln(k+1)- k\,ln(k))$

$= \sum\limits_{k=1}^n k\, ln(k+1)- \sum\limits_{k=1}^n k\,ln(k)$

et le changement d'indice $j=k+1$ dans la première somme donne :

$ S_n = \sum\limits_{j=2}^{n+1} (j-1)\,ln(j)- \sum\limits_{k=1}^n k\,ln(k)$

$=  \sum\limits_{j=2}^{n+1} j\,ln(j)- \sum\limits_{j=2}^{n+1} ln(j) - \sum\limits_{k=1}^n k\,ln(k)$

$=  \sum\limits_{k=2}^{n+1} k\,ln(k)- \sum\limits_{k=2}^{n+1} ln(k) - \sum\limits_{k=1}^n k\,ln(k)$

$= (n+1)\,ln(n+1)-\sum\limits_{k=2}^{n+1} ln(k)$

(on a utilisé le fait que l'indice est muet dans une somme). On a donc en définitive :

$S_n = ln(P_n )=ln((n+1)^{n+1} )- \sum\limits_{k=2}^\color{Red}{n+1} ln(k)$

$=ln((n+1)^{n+1} )- ln(\prod\limits_{k=2}^\color{Red}{n} k)$

$=ln((n+1)^{n+1} )- ln(n!)$

$=ln (\frac{(n+1)^\color{Red}{n+1}}{n!})$

et $ P_n = \frac{(n+1)^\color{Red}{n}}{n!}$

J'ai mis en rouge les problèmes d'indices.

Merci pour votre aide !

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#4 09-09-2024 20:27:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 231

Re : Somme et Produit : problème d'indices

Re-

  Il y a deux erreurs qui se compensent. Si tu regardes la fin du raisonnement, tu as
\begin{align*}
S_n&=\ln((n+1)^{n+1})-\sum_{k=2}^{n+1}\ln(k)\\
&=\ln((n+1)^{n+1})-\ln(\prod_{k=2}^{n+1}k)\\
&=\ln((n+1)^{n+1})-\ln((n+1)!)\\
&=\ln\left(\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\right)\\
&=\ln\left(\frac{(n+1)^n}{n!}\right).
\end{align*}

F.

Hors ligne

#5 10-09-2024 09:47:22

MarielleC
Membre
Inscription : 06-09-2024
Messages : 3

Re : Somme et Produit : problème d'indices

Merci beaucoup ! J'ai signalé la coquille à l'éditeur.

Dernière modification par MarielleC (10-09-2024 09:56:52)

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