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nirmata

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Question sur de la logique

Bonsoir, j’ai une question assez simple que je ne comprend pas. J’ai une correction qui permet de résoudre lexo par contraposee mais la controposée proposée m’a l’air fausse.
voici lexo

soit x un reel. démontrez que (Pour tout epsilon > 0 , x<=epsilon ) implique (x<=0)

merci pour vos réponses

Roro

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Re : Question sur de la logique

Bonjour,

Si la contraposée est fausse, c'est que ton assertion est aussi fausse ! C'est le principe de montrer un résultat en utilisant la contraposée : en fait c'est juste une autre formulation équivalente.

De manière générale $\big[ A \Rightarrow B \big]$ est équivalent à $\big[ (non B) \Rightarrow (non A) \big]$.

Dans ton problème, tu veux montrer que $(\forall \varepsilon >0~ ,~ x\leq \varepsilon ) ~\Rightarrow ~ (x\leq 0)$.

Comment as-tu écrit la contraposée ?

Roro.

Dernière modification par Roro (04-09-2024 07:50:08)

nirmata00

Invité

Re : Question sur de la logique

Voici ma contraposée :

x>0 ⇒ ∃ ε<0 x>ε

Ce qui est évident c’est pourquoi je ne comprend pas.
De plus dans la correction jai : ∃ ε>0 et je ne comprend pas pourquoi le signe est de ce côté.

Roro

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Re : Question sur de la logique

Re-bonjour,

Voici ma contraposée :
x>0 ⇒ ∃ ε<0 x>ε

Il y a une erreur dans ta contraposée : le contraire de $\big[ \forall \varepsilon>0 \quad \mathcal P(\varepsilon) \big]$ est $\big[ \exists \varepsilon>0 \quad non\mathcal P(\varepsilon) \big]$...

Par exemple, le contraire de "tous les gros chiens sont gris" est "il existe un gros chien qui n'est pas gris"... et on ne parle jamais des petits chiens !

Roro.

Dernière modification par Roro (04-09-2024 09:41:39)

nirmata

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Re : Question sur de la logique

Re-bonsoir, merci pour vos réponses. Ça m’a aidé à mieux comprendre l’exercice. En revanche, je ne comprend pas pourquoi cette implication est vraie dans le cas où ε=x. Merci

Eust_4che

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Re : Question sur de la logique

Bonjour tout le monde !

"Il existe un $\varepsilon$ tel que ..." On sait qu'il existe un tel réel, mais on a aucune information sur celui-ci. C'est peut-être $10$, $2/10$, $\pi$, $\sqrt{2}$, ou que-sais-je... On sait seulement que l'on a $x > \varepsilon$. Ce ne peut donc pas être $x$.

E.

Dernière modification par Eust_4che (04-09-2024 21:41:51)

nirmata

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Re : Question sur de la logique

Bonsoir E, désolé pour la confusion mais je parlais de l’énoncé du départ. Je m’explique on a que epsilon est strictement supérieur à 0 et que x est inférieur ou égal à epsilon dans le cas où x égale epsilon comment peut on arriver à montrer que x est inférieur ou égale à 0 alors que epsilon est positif ?

Roro

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Re : Question sur de la logique

Bonsoir,

En fait, tu veux démontrer que si $x$ est plus petit que n'importe quel nombre positif alors ce même $x$ est forcément négatif ou nul.

Une preuve simple est effectivement, comme tu le suggérais de procéder en prouvant la contraposée.

Si tu veux comprendre le sens direct, alors il faut que tu comprennes que dire "$\forall \varepsilon>0 \quad x\leq \varepsilon$" signifie que $x$ est plus petit que tous les nombres positifs. Donc $x$ est plus petit que $1$, mais aussi plus petit que $0.1$, mais aussi plus petit que $0.0000001$, etc.

Roro.

nirmata

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Re : Question sur de la logique

J’aurai ajouté : « … signifie que x est plus petit ou égal à epsilon » comme il est écrit dans l’énoncé le problème pour moi c’est que si on ajoute ce « égal », alors il est possible que x soit positif. C’est juste ce signe inférieur ou égal qui me dérange et que je ne comprend pas.

bridgslam

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Re : Question sur de la logique

Bonsoir ,

Votre proposition R(x) = ( P(x) => Q(x) )à prouver est une implication, qui ne dépend que de la variable x, et vous devez donc montrer que R est vraie pour tout x.
Deux possibilités :

C'est gagné d'emblée si x est négatif ou nul (rien à faire).
En effet Q(x) est vraie  donc l'implication aussi.
Si x>0, P(x) est faux car un nombre str. positif n'est jamais inférieur ou égal à sa moitié (epsilon particulier choisi, qui est bien un réel >0).
P(x) étant faux , l'implication est vraie.
L'implication est donc vérifiée pour tout x.

La preuve par contraposée revient à montrer l'implication contraire mais portant sur les contraires.
C'est du même acabit.

Remarque: la preuve par contraposée revient à ne prendre en compte que la deuxième partie du raisonnement précédent, normal vu le "rien à faire",  mais sous-jacent se trouve déjà la propriété des réels: soit x est négatif ou nul , soit x>0, c'est donc bien son contraire.
On n' aurait pas la même implication dans $\mathbb{Z}$ (en considérant aussi epsilon entier relatif ), vous prouverez juste que x est plus petit ou égal à 1.
La question initiale (pour les réels) fait donc appel à des propriétés nettement plus riches que si vous vous placiez dans
$\mathbb{Z}$.
Essentiellement, l'implication est vraie car l'ensemble tot. ordonné des réels est tel que {$\epsilon$>0} n'a pas de plus petit élément, au contraire de l'ensemble des relatifs.
Par-contre la propriété serait vraie en se plaçant dans $\mathbb{Q}$ comme vous pourrez le vérifier.

A.

Dernière modification par bridgslam (05-09-2024 08:53:31)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."