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#1 13-08-2024 20:47:40

Erwin751
Invité

Passage en première spé maths

Salut à tous,

Je passe en classe de première cette année et j'ai choisis là spé math, j'avais des plutôt pas mal en seconde (15 de moyenne en maths) mais c'était l'une des matières sur laquelle j'avais le plus de difficultés. J'ai aussi l'impression de ne pas maîtriser certaines notions que j'ai appris cette année
J'ai donc envie de réviser pendant les vacances pour avoir une meilleure moyenne en 1ere.

J'aurais besoin de l'aide des membres de ce forum pour certains points :
J'aimerais savoir quelles sont les notions essentielles que je dois revoir pendant ces vacances (celles qui reviendront forcément)
Si possible aussi je voudrais savoir quels chapitres de première je devrais réviser en avance selon vous.

Merci pour toutes les réponses que je recevrai

#2 14-08-2024 22:56:14

Borassus
Membre
Lieu : Boulogne-Billancourt
Inscription : 07-02-2023
Messages : 794

Re : Passage en première spé maths

Bonsoir Erwin,

Je vais tâcher de te répondre demain.


A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

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#3 16-08-2024 11:47:54

Borassus
Membre
Lieu : Boulogne-Billancourt
Inscription : 07-02-2023
Messages : 794

Re : Passage en première spé maths

Bonjour Erwin, bonjour à tous,

Pardon, je n'ai pas eu hier la possibilité de te répondre. Je vais essayer de te fournir le plus d'indications possibles, en toutefois un certain lot de messages pour faciliter l'écriture (pour moi) et la lecture (pour toi et pour vous).

Tout d'abord, bravo pour ton 15 de moyenne dans une matière où tu avais le plus de difficulté !

Premier sujet à travailler : le second degré $ax^2 + bx + c$, qui est un thème-clé en Première, en Terminale et au-delà. (Un grand nombre d'exercices incluent le second degré, directement ou indirectement, y compris en Prépa.)

Tout d'abord, savoir éviter deux erreurs classiques avec la fonction carré :

  • Ecrire sans précaution que si $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$.
    C'est vrai si $a$ et $b$ sont tous deux positifs ;
    c'est faux si $a$ et $b$ sont tous deux négatifs  (exemple : $-3 < -2$, mais $(-3)^2 > (-2)^2$ ;
    et c'est faux si $a$ est négatif et $b$ positif, avec $|a| > |b|$ (exemple : $-5 < 3$ mais $(-5)^2 > 3^2$.

  • Ecrire que si la variable évolue entre $a$ négatif et $b$ positif, le résultat évolue entre $a^2$ et $b^2$.
    Exemple d'erreur : $x \in [-3 \: ; \: 4] \Rightarrow f(x) \in [9 \: ; \: 16]$.
    Le point traçant la courbe partant de $(-3 \: ; \:9)$ est obligé de passer par le minimum $(0 \: ; \: 0)$ avant de remonter au point $(4 \; ; \: 16)$
    Donc $f(x) \in [0 \: ; \: 16]$.

La suite suit.

Dernière modification par Borassus (16-08-2024 13:18:02)


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#4 16-08-2024 13:12:45

Borassus
Membre
Lieu : Boulogne-Billancourt
Inscription : 07-02-2023
Messages : 794

Re : Passage en première spé maths

Si ce n'est déjà fait, vous allez apprendre à établir ce qu'on appelle la forme canonique du polynôme : $P(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, avec $\alpha = - \dfrac b a$ et $\beta = c - \dfrac{b^2}{4a}$   (plutôt que $\beta = \dfrac {4ac - b^2}{4a}$).

La forme canonique est en quelque sorte une "fiche d'identité" permettant de spécifier tout polynôme du second degré à l'aide de trois paramètres, quelle que soit la forme sous laquelle il est initialement écrit, un peu comme un passeport : en effet, tous les passeports du monde sont formatés sur le même modèle.

La valeur $a$ correspond à l'orientation de la courbe (appelée "parabole") et à l'ouverture de la parabole : si $a$ est positif, l'intérieur de la courbe est orienté "vers le haut" (on dit que la courbe est convexe) ; si $a$ est négatif, l'intérieur de la courbe est orienté "vers le bas" (on dit que la courbe est concave) ; si $a$ est petit en valeur absolue, la parabole est plus ou moins largement ouverte ; si $a$ a une valeur absolue plus importante, la parabole est plus ou moins resserrée.

La valeur $\alpha = - \dfrac b a$ correspond à la valeur centrale du polynôme, et à l'abscisse de l'axe de symétrie de la courbe.

La valeur $\beta$ correspond à la valeur du minimum si $a$ est positif, et à la valeur du maximum si $a$ est négatif.
Graphiquement, cette valeur correspond à l'ordonnée du sommet de la courbe.

Demande-toi à quelle distance correspond le quotient $\dfrac {b^2}{4ac}$ intervenant dans l'expression de $\beta$. (Il s'agit d'une valeur signée, son signe étant celui de $a$).
Rappel : La courbe coupe obligatoirement l'axe des ordonnées au point $(0 \: ; \: c)$.

Dessine trois configurations avec $a > 0$ : la courbe est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses ; la courbe tangente l'axe des abscises ; la courbe coupe l'axe des abscisses.
En utilisant l'expression de $\beta$, détermine l'inégalité ou l'égalité correspondant à ces trois configurations.

Même réflexion pour $a < 0$ : courbe entièrement sous l'axe des abscisses ; courbe tangentant l'axe des abscisses ; courbe coupant l'axe des abscisses. (Attention : n'oublie pas que dans ce cas $a$ est négatif...)


Quelle que soit la fonction $f$, la courbe $y = f(x -\alpha)$,  correspond à la courbe $y = f(x)$ décalée horizontalement de $\alpha$ : vers la droite si $\alpha$ est positif, vers la gauche si $\alpha$ est négatif.

De même, la courbe $y = f(x) + \beta$ correspond à la courbe $y = f(x)$ décalée verticalement de $\beta$ : vers le haut si $\beta$ est positif, vers le bas si $\beta$ est négatif.

Le tracé de n'importe quelle courbe $y = ax^2 + bx + c$ devient alors très simple lorsqu'on a établi la forme canonique : il suffit de tracer à partir de la nouvelle origine $(\alpha \: ; \: \beta)$ la courbe $y = ax^2$ en prenant les points « 1 à droite et 1 à gauche" » et « 2 à droite et 2 à gauche".
Je te propose par exemple de tracer la courbe correspondant à la forme canonique $2(x + 3)^2 -1$. (Prévois un peu d'espace vers le haut.)

La suite suit.

Dernière modification par Borassus (16-08-2024 13:21:04)


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#5 16-08-2024 14:37:00

DeGeer
Membre
Inscription : 28-09-2023
Messages : 108

Re : Passage en première spé maths

Je ne sais pas s'il est pertinent de prendre de l'avance sur le programme si les bases ne sont pas parfaitement maîtrisées. Je pense qu'il vaut mieux revoir en profondeur le calcul littéral, les fonctions, et éventuellement les vecteurs, en faisant des exercices d'entraînement sur ces notions.

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#6 16-08-2024 15:32:01

jelobreuil
Membre
Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult
Inscription : 14-09-2023
Messages : 134

Re : Passage en première spé maths

Bonjour Borassus,
Une petite erreur s'est glissée dans ton message #4 : le quotient qui intervient dans l'expression de  $\beta$ n'est pas ce que tu as écrit ...
Bien amicalement, Jean-Louis

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#7 16-08-2024 15:41:48

Borassus
Membre
Lieu : Boulogne-Billancourt
Inscription : 07-02-2023
Messages : 794

Re : Passage en première spé maths

Erwin751 a écrit :

J'ai aussi l'impression de ne pas maîtriser certaines notions que j'ai appris cette année

Ce serait peut-être plus simple que tu nous dises quelles sont justement ces notions que tu as l'impression de ne pas maîtriser.

Si possible aussi je voudrais savoir quels chapitres de première je devrais réviser en avance selon vous.

Ayant l'habitude de faire à mes élèves une "visite guidée" de ce qu'ils verront en classe, j'ai embrayé, peut-être un peu vite, sur cette demande.
D'autant plus que j'ai eu quelques élèves de Seconde qui voyaient effectivement cette notion de forme canonique en cours.
(C'est pour cela que j'avais indiqué « Si ce n'est pas déjà fait, »)

Dis-moi si tu souhaites que je continue (un peu) sur le seconde degré.


DeGeer a raison, revois le calcul littéral (notamment les identités remarquables, dans les deux sens, et les factorisations) et les fonctions — bien comprendre qu'il s'agit d'une logique de calcul, peu importe comment est désignée la variable, $x$, $s$, $t$, voire $s^2$ ou $3t - 2$ —, notamment les notions d'image et d'antécédent.

Pour ce qui est des vecteurs, je compte écrire un texte sur la façon de traduire les éléments d'un énoncé en égalités vectorielles. Car c'est souvent dans ce travail préparatoire que réside la solution de l'exercice, ou de la question.

(Les exercices de géométrie vectorielle sont une excellente source de "patinage" énervant. Et rien n'est plus rageant, après toute une série de transformations, que de retomber sur $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}$. Surtout en contrôle !)


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#8 16-08-2024 15:47:50

Borassus
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Re : Passage en première spé maths

Bonjour Jean-Louis,

Oups ! Il fallait bien sûr lire.

Demande-toi à quelle distance correspond le quotient $\dfrac {b^2}{4a}$ intervenant dans l'expression de $\beta$. (Il s'agit d'une valeur signée, son signe étant celui de $a$).

Merci !
Bien amicalement aussi.


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#9 16-08-2024 21:16:57

Borassus
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Re : Passage en première spé maths

Bonsoir,

Voici quelques façons (non exhaustives) de traduire en égalités vectorielles les informations donnés dans un exercice :

  • Milieu d'un segment
    I milieu de [AB] se traduit par
    $\vec {AI} = \vec {IB}$
    $\vec {AI} = \dfrac 1 2 \vec {AB}$,   d'où $\vec {AB} = 2 \vec {AI}$    idem pour $\vec {IB}$
    $\vec {IA} + \vec {IB} = \vec 0$    (égalité très souvent utilisée)

  • Point divisant un segment en deux parties inégales
    $\vec {AK} = \dfrac 2 3 \vec {AB}$  se traduit par :
    $\vec {AB} = \dfrac 3 2 \vec {AK}$
    $\vec {KB} = \dfrac 1 3 \vec {AB}$   d'où $\vec {AB} = 3 \vec {KB}$
    relation reliant les deux parties entre elles très souvent oubliée dans le travail préparatoire. Or c'est précisément cette relation qui permet souvent de résoudre l'exercice !  :  $\vec{AK} = 2 \vec {KB}$   d'où $\vec {KB} = \dfrac 1 2 \vec {AK}$

  • Même type de raisonnement avec un point à l'extérieur du segment
    Par exemple $\vec {AK} = \dfrac 5 3 \vec {AB}$

  • Milieu d'un côté d'un triangle
    Si dans le triangle ABC I est le milieu de [BC]   $\vec {AB} + \vec {AC} = 2 \vec {AI}$
    relation très souvent utilisée

  • Vecteur joignant les milieux de deux côtés d'un triangle
    J milieu de [AB] et K milieu de [AC] se traduit par $\vec {JK} = \dfrac 1 2 \vec {BC}$

  • Centre de gravité d'un triangle
    Se souvenir qu'il se trouve à $\dfrac 2 3$ de n'importe quelle médiane (en partant du sommet dont elle est issue), et donc à $\dfrac 1 3$ de la base de celle-ci.


Important : Utiliser principalement les relations de Chasles qui mènent à des vecteurs établis lors de la phase préparatoire. (Le risque avec des relations de Chasles successives est de revenir au vecteur de départ, ce qui est très désagréable.)

Important aussi : Si on a l'impression de patiner, c'est probablement parce qu'on a oublié une égalité vectorielle dans le travail préparatoire.


Ce travail préparatoire peut paraître long. En fait, c'est un travail qui s'avère souvent très rentable car il permet de résoudre facilement des exos !


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#10 17-08-2024 22:26:20

Erwin751
Invité

Re : Passage en première spé maths

Merci beaucoup pour les réponses et je suis désolé de répondre aussi tard.
Je vais suivre vos conseils et 50essayer de revoir mes bases en calcul littéral, fonctions et vecteur pendant une semaine, après ça j'essayerai de me donner une petite avance sur l'année avec les méthodes et exercices que vous m'avez proposé.
merci beaucoup

#11 19-08-2024 21:04:32

Borassus
Membre
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Inscription : 07-02-2023
Messages : 794

Re : Passage en première spé maths

Bonsoir Erwin, bonsoir à tous,

Tu es tout excusé !

Les identités remarquables intervenant remarquablement souvent dans les exercices (et aussi dans les raisonnements), je te propose quelques façons de procéder qui pourront t'être utiles.

Tout d'abord, le célébrissime développement du carré de deux termes $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Lorsqu'il faut l'appliquer, cette formule peut être pensée comme suit : « le carré du premier terme, plus deux fois le produit des deux termes, plus le carré du deuxième terme ». Cela permet de bien coller à l'expression qu'on doit développer en suivant une démarche "robuste" qui réduit les risques d'erreur.

Le développement peut aussi être écrit de façon moins habituelle :
$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
qui correspond à la logique générale du développement du carré d'une somme d'un nombre quelconque de termes : somme des carrés, plus somme de tous les produits $2 \times$ produit de deux termes différents.
(Pour une somme de deux termes, il n'y a bien sûr qu'un seul produit de deux termes.)

Cette logique permet de développer facilement, en étant juste un peu méthodique et attentif, des carrés de somme, comme par exemple
$(a + b +c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
$(a - b + c - d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - 2ab + 2ac -2ad - 2bc + 2bd - 2cd$ 
ou encore — soyons fous ! — 
$(5 - 3x^2 -4y^3 +2z)^2 = 25 + 9x^4  + 16y^6 + 4z^2 -30x^2 -40y^3 + 20z + 24x^2y^3 - 12x^2z - 16y^3z$
$= 16y^6 + 24x^2y^3 + 9x^4 - 16y^3z - 40y^3 - 12x^2z - 30x^2 + 4z^2 + 20z + 25$


Par contre, cette logique permet de mieux repérer le carré d'une somme de deux termes :
un carré, plus un autre carré, plus (ou moins) deux fois fois le produit des deux termes = carré de la somme (ou de la différence) des deux termes.
Exemple : $-12x + 4x^2 + 9 = (2x)^2 + 3^2 - 2 \times (2x) \times 3 = (2x - 3)^2$

Cette façon de faire permet notamment de factoriser des expressions telles que
$9(x-1)^2 + 12x - 4x^2 - 9$
(Surtout ne pas développer !! L'exercice n'est pas conçu dans ce sens.)


La deuxième identité importante, la différence de deux carrés, fera l'objet du message suivant.

Bonne soirée.

Dernière modification par Borassus (19-08-2024 21:23:06)


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#12 19-08-2024 21:49:26

yoshi
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Re : Passage en première spé maths

Ave Borassussimo,
(entame inspiré de l'un des chants de Carmina Burana : Ave Formosissima)

Si ça peut t'inspirer quelque chose, va donc jeter un oeil (enfin, plutôt le promener)  sur cette page : https://www.bibmath.net/ressources/coll … ations.pdf

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#13 19-08-2024 23:13:42

Borassus
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Re : Passage en première spé maths

Ave Yoshissimus !

J'ai joliment souri en recevant ton entame.  :-)
Je vois tout à fait le chœur monumental qu'avait prévu Carl Orff scander
« Ave Borassissimo, desine nos vexare cum tuis nuntiis contradictionis! »
( « Salut Borassussimo, cesse de nous importuner avec tes messages de contestation ! »)
Traduction réalisée par ChatGPT.

Nous avons des façons d'expliquer qui se rejoignent dans notre désir de guider au mieux nos chers élèves.

Voici, dans la même lignée, un document de cours et une batterie d'exercices pour Erwin et pour ceux qui voudront bien les lire (et, surtout, refaire les exercices proposés par eux-mêmes ! ).

Bonne fin de soirée à tous.

Cours : https://www.cjoint.com/c/NHtvlL6TELD
Exercices : https://www.cjoint.com/c/NHtvmHy1exD

Dernière modification par Borassus (19-08-2024 23:17:04)


A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
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#14 20-08-2024 17:00:38

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 17 212

Re : Passage en première spé maths

Salut,

Un chti codicille à ce que j'ai écrit qui commence à dater.......
Aujourd'hui, la factorisation type $(5x+3)^2-(3x-2)^2$ est hors programme de 3e, on ne va plus loin que $(5x+3)^2-25$...
Tu as pu constater que je suis allé assez loin dans l'exposé de "méchancetés" (hors programme bien sûr).
En guise d'utilisation pratique  des différences de 2 carrés, et en DM je leur demandais de factoriser quelques trinômes du 2nd degré par passage via leur forme canonique : ils devaient se rendre compte que factoriser à partir d'une forme développée n'était pas toujours très simple.
Pour les factorisations classiques, j'avais inventé la notion de squelette, structure (ptêt que ça existe, mais je ne l'ai jamais rencontrée...)
J'appliquais cette notion de squelette aussi aux problèmes à résoudre par mise(s) en équation(s). J'ai d'ailleurs une très belle collection (aussi de problèmes d'arithmétiques à base de fractions) - peu appréciées d'ailleurs ...^_^

L'idée m'est venue, le jour où l'une de mes filles, alors en 6e, les larmes aux yeux, s'était écriée :
- << Ca sert à quoi de faire des problèmes supplémentaires ??? >>
-  (Moi) Pourquoi tu demandes ça ?
De gros sanglots dans la voix, le timbre montant crescendo, elle répondit :
<< C'est JAMAIS LES mêmes !!! >>...

Et pourtant, si ! Elle n'avait pas vu que seul l'habillage différait.
Là, ça avait fait Tilt dans ma tête, comme toi avec Eustache : c'était pourtant tellement évident pour moi, que je n'avais encore jamais  pensé à passer de l'implicite à l'explicite.

@+

PS :  je vois que Carmina Burana tu connais et dois apprécier. Remplacer mon 33 Tr par une version numérique n'a pas été simple : il y a tant de versions... Je voulais la même avec à Karajan à la Baguette, ténor Dietrich Fischer Diskau et Soprano, Gundula X (le nom ne me revient pas.
Dans le domaine du grandiose, il y aussi l’œuvre magistrale de feu Mikis Theodorakis sur le poème du chilien Pablo Neruda : le Canto General...
Tu connais ?


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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