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maxence_07

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Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

Bonsoir à tous,

Inutile de vous détailler ici l'objectif final, mais je souhaiterais savoir si l'un de vous a une idée (ou connaît) une application injective (explicite) allant de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ ?
Par explicite j'entends que l'application puisse s'exprimer facilement (si une telle application explicite existe). Car après quelques recherches, il s'avère qu'il en existe (faisant intervenir les décimales des nombres) mais ça n'est pas très "élégant" et, justement, pas très explicite.

En vous remerciant par avance.

bridgslam

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Re : Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

Bonjour,

Je suis extrêmement dubitatif sur une telle explicité éventuelle.

Le fait que (pour tout ensemble E) ExE soit équipotent à E est équivalent à l'axiome du choix, qui par nature donne des résultats d'existence d'objets sans normalement possibilité de les expliciter (équivalent aussi au théorème de Zermelo, mais difficulté par exemple d'expliciter un seul exemple de bon ordre sur $\mathbb{R}$ dont le-dit théorème annonce l'existence).

Dans le carré, la courbe de Peano donne une bijection graphique entre un point et la longueur mesurée depuis O en suivant la courbe, mais je doute qu'elle ait une expression analytique simple, malgré que je ne suis pas un connaisseur des fractales du tout.

Alain

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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Michel Coste

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Re : Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

Bonjour,
Il est impossible d'avoir une telle injection continue, par le théorème de l'invariance du domaine.
Il est facile d'envoyer injectivement $\left]0,1\right[^2$ dans $]0,1[$ en utilisant les décimales. C'est parfaitement explicite, non ? Tu envoies $(0.a_1a_2a_3\ldots,\; 0.b_1b_2b_3\ldots)$ sur $0.a_1b_1a_2b_2a_3b_3\ldots$.

maxence_07

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Re : Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

Bonjour,

En réalité, le théorème d’invariance du domaine ne peut pas être appliqué ici, puisque nous parlons d’espace de départ et d’arrivée ayant des dimensions différentes.
En fait je ne questionne pas l’existence d’application injective, puisqu’il existe des bijections entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^2$ . Et ceci est avéré.

Je demande si l’un de vous en a un exemple simple…

Dernière modification par maxence_07 (13-08-2024 17:57:08)

Michel Coste

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Re : Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

Le théorème d'invariance du domaine peut très bien être appliqué : si $f: \mathbb R^2\to \mathbb R$ est injective continue, alors $(f,0) : \mathbb R^2\to \mathbb R^2$ est injective continue et donc ...
Je t'ai donné un exemple simple d'application injective de $]0,1[^2$ dans $]0,1[$, et donc de de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$ puisqu'il est facile de décrire une bijection (et même un homéomorphisme) de $\mathbb R^2$ sur $]0,1[^2$.

maxence_07

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Re : Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

Ce que je dis devient limpide en invoquant le contre-exemple suivant :

Considérons par exemple l'application $f : ]0,1[ → \mathbb{R}^2$ définie par $f(t) = (t,0)$. Cette application est injective et continue, son domaine est un ouvert de $\mathbb{R}$, mais son image n'est pas un ouvert de $\mathbb{R}^2$...

Michel Coste

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Re : Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

Réfléchis un peu, et tu verras que ce que j'écris est aussi limpide.

maxence_07

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Re : Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

Visiblement il va falloir que je donne un autre contre-exemple concernant le fait qu'on ne puisse pas appliquer le théorème à des espaces de dimensions différentes... :

Soit $g : ]–2,1[ \rightarrow \mathbb{R}^2$, avec $g(t) = (t^2 – 1, t^3 – t)$. Eh bien, g est injective et continue, mais n'est pas un homéomorphisme de $]–2,1[$ vers son image. Or l'image ici est une portion de toxoïde (cubique duplicatrice), et la limite de $g$ en 1 est le point double $g(–1)$, ce qui montre que $g^{−1}$ n'est pas continue en ce point.

De plus, à aucun moment je n'ai précisé que nous munissions les espaces considérés de topologies, puisque la continuité de l'application recherchée ainsi que de sa réciproque n'est pas vraiment notre problème ici...

Dernière modification par maxence_07 (13-08-2024 18:27:05)

bridgslam

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Re : Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

Bonsoir,

Moi j'ai compris la question comme demande d'expression globale, en gros une formule, pas point à point...
Après c'est vrai que le terme explicite est relativement ambigu.

A.

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Michel Coste

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Re : Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

On dirait que tu ne lis pas ce que j'écris. Alors je le réécris, et de façon plus explicite.
J'affirme que le théorème de l'invariance du domaine entraîne qu'il n'existe pas d'application injective continue de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$.
Supposons en effet qu'une telle application $f$ existe. Définissons l'application $g : \mathbb R^2\to \mathbb R^2$ par $g(x,y) = (f(x,y), 0)$. Alors $g$ est injective continue. Donc, par le théorème d'invariance du domaine, $g(\mathbb R^2)$ est un ouvert de $\mathbb R^2$. Or l'image de $g$ est contenue dans $\mathbb R \times \{0\}$ ...
Ça y est tu as compris ?
Le raisonnement montre en fait qu'une injection de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$ ne peut être continue sur aucun ouvert de $\mathbb R^2$.

Dernière modification par Michel Coste (13-08-2024 18:39:10)

maxence_07

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Re : Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

Bonsoir,

Pour mieux expliciter mon propos :

On trouve facilement une injection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^2$ :

$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ définie par $x \longmapsto (x,\sin(x))$.

C'est ce que j'appelle expression "explicite"

Dernière modification par maxence_07 (13-08-2024 18:32:42)

maxence_07

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Re : Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

Cela éclairci votre propos effectivement. Donc cela nous permet d'exclure les cas des applications continues, puisqu'il n'en existe pas.
Cela ne me surprend pas car historiquement Cantor a démontré que $\mathbb{R}$ est en bijection avec $\mathbb{R}^2$ en utilisant le fait que
$\mathbb{R} ←→\mathcal{P}(\mathbb{N}) ←→ \mathcal{P}(\mathbb{Z}) ←→ \mathcal{P}(\mathbb{Z}^*-) \times \mathcal{P}(\mathbb{Z^+})$

$\mathbb{R} ←→ \mathcal{P}(\mathbb{N})^2 ←→\mathbb{R}^2$

Dernière modification par maxence_07 (13-08-2024 18:52:05)

Michel Coste

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Re : Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

$$ f(x,y) = \sum_{n\geq 1}\frac{10\, \lfloor 10^nx\rfloor -100\,\lfloor 10^{n-1} x\rfloor + \lfloor 10^ny\rfloor -10\,\lfloor 10^{n-1} y\rfloor}{10^{2n}}$$
fournit une belle injection explicite de $]0,1[^2$ dans $\mathbb R$.

maxence_07

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Re : Injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

Et l'argument de la non-existence d'application injective continue prend tout son sens à la vue de cette fonction discrète. Merci.