Croissance comparée en spécialité maths

bibmgb · 02-07-2024 12:16:59

Bonjour,
Quand on vulgarise certains calculs de limites comme [tex]\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty[/tex] on dit que l'exponentielle "croît plus vite" qu'une fonction puissance donc l'exponentielle "l'emporte" sur une fonction puissance dans un calcul de limite.
En ce qui concerne les fonctions [tex]x[/tex] et [tex]e^x[/tex], je conçois bien ce type de discours.
Par contre j'ai du mal avec [tex]\lim_{x\rightarrow 0^+}x\ln x=0[/tex]. En effet, en [tex]0^+[/tex], le taux de variation de [tex]\ln x[/tex] tend vers [tex]-\infty[/tex] et le taux de variation de [tex]x[/tex] est constant. Donc, [tex]\ln x[/tex] "décroît plus vite" que [tex]x[/tex] et pourtant c'est [tex]x[/tex] qui l'emporte sur [tex]\ln x[/tex] dans ce calcul de limite. Quelque chose m'échappe. Quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur la question ?
Merci.

Fred · 02-07-2024 14:09:47

Bonjour,

Concernant $\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0,$ tu as une forme indéterminée $0\times (-\infty).$
Ce qui se passe, c'est que $x$ tend "plus vite" vers $0$ que $\ln(x)$ tend vers $-\infty$,
d'où la limite.

F.

Zebulor · 02-07-2024 21:45:26

Bonsoir,
autre manière de voir par rapport à la limite dont parle Fred, c'est de procéder par changement de variable en posant $x=e^{-t}$ avec $t$ tendant vers $+\infty$.
Dès lors tu te ramènes à des croissances comparées que tu connais ...

Dernière modification par Zebulor (02-07-2024 21:48:10)

Borassus · 03-07-2024 17:22:48

Bonjour bibmgb, bonjour tout le monde,

Cette limite de croissance comparée érigée en théorème quasi divin m'agace sensiblement car la fonction exponentielle de base $e$ ne croît pas plus rapidement que sa variable, elle croît infiniment plus rapidement que sa variable.

Très concrètement :
$e^{10} = 22 \: 026$ ; donc $\dfrac {e^{10}} {10} = 2 \:202$
$e^{20} = 485 \: 165 \: 195$ (soit plus de 485 millions !!) ; donc $\dfrac {e^{20}} {20} = 24 \: 258 \:259$ (soit plus de 24 millions)
$e^{30} = 10 \: 686 \: 474 \: 581 \: 524$ (soit plus de 10 686 milliards !!!) ; donc $\dfrac {e^{30}} {30} = 356 \: 215 \: 819 \:384$ (soit plus de 356 milliards !!! Et on ne peut pas vraiment déclarer que $30$ est un nombre déjà infiniment grand !)

Au-delà du théorème, cette limite de croissance comparée relève du plus élémentaire bon sens !!!

Dernière modification par Borassus (04-07-2024 06:19:20)

Borassus · 03-07-2024 17:39:49

La fonction logarithme népérien tend certes vers $-\infty$ lorsque sa variable tend vers $0^+$, mais de façon très modérée.
Donc, très rapidement, la variable tendant vers $0^+$ devient largement prédominante par rapport à la fonction $ln$, et c'est elle qui fait tendre le produit vers $0^-$.

Concrètement :
$\ln {0,1} = -2,3$ ; donc $0.1 \times \ln{0.1} = -0.23$
$\ln {0,01} = -4,6$ ; donc $0.01 \times \ln{0.01} = -0.046$
$\ln {0,001} = -6,9$ ; donc $0.001 \times \ln{0.001} = -0,0069$

bibmgb · 14-07-2024 11:03:38

Bonjour et merci pour vos réponses.
Concernant la dernière remarque de Borassus, effectivement on voit sur ces premiers exemples que x tend plus vite vers 0 que ln x tend vers -infini. Ce qui m’a induit en erreur c’est de regarder la dérivée qui exprime la vitesse de décroissance, elle est constante pour x et tend vers l’infini pour ln x quand x tend vers 0. Et donc à ce moment là on a tendance à penser que ln decroit plus vite. Mais il me semble que ce qui joue alors c’est que x tend vers une limite finie et donc même à vitesse constante y arrive plus vite que ln qui tend vers une limite infinie.

Borassus · 16-07-2024 10:56:51

Borassus a écrit :

La fonction logarithme népérien tend certes vers $-\infty$ lorsque sa variable tend vers $0^+$, mais de façon très modérée.

Bonjour bibmgb, bonjour tout le monde,

Cette modération très prononcée s'explique par la transformation de $\ln x^a$ en $a \ln x$.

Donc, $\ln 10^{-n} = -n \ln 10$
Et comme $\ln 10 \approx 2,303$, $\ln 10^{-n} = -n \times 2,303$

Ainsi,
$ln 10^{-3} = -3 \times 2,303 \approx -6,908$
$ln 10^{-6} = -6 \times 2,303 \approx -13,816$
$ln 10^{-9} = -9 \times 2,303 \approx -20,723$
$ln 10^{-12} = -12 \times 2,303 \approx -27,631$
etc.

[Ajouté] Pour que $ln 10^{-n}$ devienne inférieur à $-1000$, il faut que $n$ soit égal à $435$ !!

On est très loin de valeurs infinies !

Il faut donc savoir appréhender $+ \infty$ et $-\infty$ avec discernement et bon sens...

Bonne journée vacancière

Dernière modification par Borassus (16-07-2024 15:27:22)

Borassus · 16-07-2024 19:44:28

Donc, $\ln 10^{-n} = -n \ln 10$
Et comme $\ln 10 \approx 2,303$, $\ln 10^{-n} = -n \times 2,303$

Pour la même raison, la fonction $ln$ croît extrêmement lentement :
$ln 10^{3} = 3 \times 2,303 \approx 6,908$
$ln 10^{6} = 6 \times 2,303 \approx 13,816$
$ln 10^{9} = 9 \times 2,303 \approx 20,723$
$ln 10^{12} = 12 \times 2,303 \approx 27,631$
[...]
$\ln 10^{435} = 1001$ (Essayez de dire $10^{435}$ en milliards ...
[ajouté] Pour vous donner un ordre de grandeur, on estime que la totalité des atomes de l'Univers est de l'ordre de $10^{100}$ ; $10^{435}$ est donc supérieur à ce nombre puissance 4 ! Et pour un nombre aussi inconcevable, le logarithme népérien est tout juste égal à 1000 ! :-)

Là aussi, on est infiniment loin de valeurs infinies !!

C'est logique : comme la fonction exponentielle de base $e$ croît infiniment rapidement, sa fonction réciproque croît infiniment lentement.

En termes de pente, les dérivées de deux fonctions réciproques en deux points symétriques sont inverses l'une de l'autre.
Par exemple, la dérivée en $3$ de $x^2$ est égale à $2 \times 3 = 6$ ; et la dérivée en $9$ de $\sqrt x$ est égale à $\dfrac 1 {2 \sqrt 9} = \dfrac 1 {2 \times 3} = \dfrac 1 6$

Donc, puisque la pente de la fonction exponentielle devient très rapidement infinie, la pente de la fonction logarithme devient très rapidement quasiment nulle.

Dernière modification par Borassus (23-07-2024 09:25:25)

bibmgb · 31-07-2024 16:56:26

Bonjour,
Merci pour ces développements très clair mais pour rebondir sur votre dernière phrase

Borassus a écrit :

Donc, puisque la pente de la fonction exponentielle devient très rapidement infinie, la pente de la fonction logarithme devient très rapidement quasiment nulle.

alors je répondrais que en 0 la pente de la fonction logarithme est infini, ou de manière plus précise, quand x tend vers 0 par valeur supérieure, la pente de ln x tend vers [tex]+\infty[/tex] (qui va avec le fait que la pente de exp x tend vers 0 quand x tend vers [tex]-\infty[/tex].
Donc finalement, ne regarder que la pente n'est pas suffisant pour tirer des conclusions sur la prépondérance d'une fonction par rapport à une autre.

Borassus · 01-08-2024 10:11:24

Bonjour bibmgb, bonjour à tous ceux qui suivent cette discussion,

Apparemment, ces développements ne sont pas si très clairs que cela !

Dans la phrase que tu cites, j'explique seulement qu'il est LOGIQUE que la fonction logarithme népérien évolue si infiniment lentement — valeurs à l'appui — car sa fonction réciproque, l'exponentielle de base $e$, est infiniment rapidement croissante — valeurs à l'appui.

Pour ce qui est de l'évolution de la fonction $\ln$ lorsque sa variable tend vers 0 par valeurs décroissantes, elle correspond à la disparition extrêmement rapide de la fonction exponentielle :

$\ln {10^{-3}} = -6,908$ signifie que $e^{-6,908} = 10^{-3}$

$\ln {10^{-6}} = -13,816$ signifie que $e^{-13,816} = 10^{-6}$ En passant seulement de -6,9 à -13,8 on passe de un millième à un millionième (essaie seulement de distinguer un millième sur l'axe des ordonnées ; alors un millionième !!!)

$\ln {10^{-9}} = -20,723$ signifie que $e^{-20,723} = 10^{-9}$ En passant seulement de -13,8 à -20,7, on passe de un millionième à un milliardième !!

$\ln {10^{-12}} = -27,631$ signifie que $e^{-27,631} = 10^{-12}$ En passant seulement de -20,7 à -27,6, on passe de un milliardième à un trilliardième !!

Que signifie alors $x \to -\infty$ ??!! $-27,6$ c'est l'infini ??!!

Ce que je cherche à transmettre ici, c'est qu'il faut avoir une compréhension concrète de "tend vers plus l'infini", "tend vers moins l'infini", "tend vers zéro".
Et pas seulement se contenter d'écrire $\to +\infty$, $\to -\infty$, $\to 0$, $\lim = 0$, $\lim = +\infty$, $\lim = -\infty$ sans avoir une vision réelle de ce que ces indications peuvent signifier en pratique lorsqu'on étudie une fonction.

Donc, ce ne sont pas les pentes qui permettent de tirer des conclusions sur la prépondérance d'un fonction par rapport à une autre, mais bien les évolutions de valeurs respectives.

Bonne journée à tous

Dernière modification par Borassus (05-08-2024 07:58:56)

Borassus · 03-08-2024 09:08:13

Ce que je cherche à transmettre ici, c'est qu'il faut avoir une compréhension concrète de "tend vers plus l'infini", "tend vers moins l'infini", "tend vers zéro".
Et pas seulement se contenter d'écrire $\to +\infty$, $\to -\infty$, $\to 0$, $\lim = 0$, $\lim = +\infty$, $\lim = -\infty$ sans avoir une vision réelle de ce que ces indications peuvent signifier en pratique lorsqu'on étudie une fonction.

Bonjour,

Pour continuer sur le sujet, il y a une ÉNORME différence d'échelles entre $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac 1 x = 0$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ .

Bonne journée

Dernière modification par Borassus (05-08-2024 07:58:10)

jelobreuil · 04-08-2024 08:52:49

Bonjour Borassus,
Pour en revenir à ton dernier message, il est peut-être encore plus parlant de comparer les échelles des limites, quand x tend vers "plus l'infini", des fonctions 1/x et exp(-x) ...
Bien amicalement, JLB

Borassus · 04-08-2024 10:03:57

Bonjour Jean-Louis, bonjour à ceux qui suivent cette discussion,

Effectivement !!
$\dfrac 1 {100} = 0,01$ , alors que $e^{-100} = 3,72 \times 10^{-44}$

J'indiquais dans le message #8 que $10^{435}$ est (très) supérieur au nombre total estimé des atomes de l'Univers élevé à la puissance 4.
Pour donner une idée de l'ordre de grandeur de $10^{-44}$ — le noyau d'un atome d'hydrogène est $\approx 8,5 \times 10^{-15}$ m — , voici la réponse de ChatGPT à ma question « Quelle est, dans l'état actuel des connaissances, la plus petite dimension connue ? »

Dans l'état actuel des connaissances, la plus petite dimension connue est celle des longueurs de Planck. La longueur de Planck est une unité de longueur qui est de l'ordre de $1,616 \times 10^{-35}$ m. Elle représente une échelle à laquelle les effets de la gravitation quantique deviennent significatifs, et au-delà de laquelle les concepts de l'espace-temps tel que nous les connaissons pourraient ne plus être valables.
(La gravitation quantique est une branche de la physique théorique qui vise à unifier les deux piliers fondamentaux de notre compréhension de l'univers : la mécanique quantique et la relativité générale. La mécanique quantique décrit les lois régissant le comportement des particules à très petite échelle, tandis que la relativité générale explique la gravité et la structure de l'espace-temps à grande échelle.
La difficulté de la gravitation quantique réside dans le fait que, lorsque l'on tente de décrire la gravité à l'échelle quantique, les outils mathématiques traditionnels de la relativité générale ne fonctionnent plus. Par exemple, à l'échelle des longueurs de Planck, les fluctuations quantiques de l'espace-temps deviennent si importantes qu'il est difficile de définir une géométrie fixe de l'espace-temps.)

Comme vous pouvez le voir à travers ces deux valeurs, on arrive très rapidement avec la fonction exponentielle à des nombres aberrantissimes, qui sortent totalement des dimensions physiques les plus extrêmes (longueur de Planck d'un côté, nombre total des atomes de l'Univers de l'autre).

Bonne journée, malgré ces valeurs indigestes :-)

Dernière modification par Borassus (04-08-2024 10:39:51)

Borassus · 06-08-2024 16:30:38

Bonjour,

Pour continuer sur ma lancée, je me suis amusé à écrire $3,72 \times 10^{-44}$ sous forme décimale :-)

$3,72 \times 10^{-44} = 0,000 \: 000 \: 000 \: 000 \: 000 \: 000 \: 000 \: 000 \: 000 \: 000 \: 000 \: 000 \: 000 \: 000 \: 037 \: 2$

yoshi · 06-08-2024 19:23:09

Bonsoir,

@Borassus.
[Hors-sujet (ou presque)]
Tu avais aussi signalé le très grand nombre d'atomes dans l'univers.
Je vais te propose un un grand nombre (bien plus petit, et pourtant...) que tu connais probablement si tu t'es intéressé au jeu d'échecs.
L'échiquier est composé de 64 cases.
Selon la légende, le brahmane Sissah a réclamé, en récompense du jeu "Tchaturanga" inventé pour distraire un Sultan et qui avait cru pouvoir lui promettre de répondre favorablement à toute exigence :
1 grain de blé sur la 1ere case, 2 sur la 2e, 4 sur la 3e, 8 sur la 4e... et ainsi de suite jusqu'à la 64e...

A la fin, le nombre total de grains de blé se monte à $2^{64}-1 =18\;446\;744\;073\;709\;551\;615...
on pouvait pourtant en recouvrir la France entière sur 1 m d'épaisseur....

Tout ça pour dire qu'effectivement, dans l'infiniment petit, ton. nombre décimal donne le vertige...
J'ai eu dans le temps quelques cours de Métrologie : notre prof - ganté - nous avait sorti d'un écrin des cales parallélépipédiques dont les tranches étaient rectifiées au micron près $10^-6 m = 0,000 001 m$ (ridiculement petit, s'pas...)
Après nous avoir montré que ces cales n'étaient pas aimantées, il en avait pris 2, puis s'était saisi d'une d'entre elles les avait appuyé tranche contre tranche, et fait coulisser l'une contre l'autre et là devant nos yeux ébahis, nous expliquant elles étaient solidaires par la simple attraction des molécules...
[\Hors-sujet]

@+

Borassus · 07-08-2024 14:34:31

Bonjour Yoshissime, bonjour à tous,

Oui, bien sûr, je connais cette légende. J'ignorais par contre le nom du sage, et je ne savais pas que la quantité de grains (de blé ou de riz, selon les versions) permettrait de couvrir d'une épaisseur de 1 m une superficie équivalente au territoire de la France.

Un autre grand nombre est le nombre de coups — $1,8447 \times 10^{19}$ — , et donc le nombre d'années — $5,84 \times 10^{11}$, en comptant un coup par seconde, soit 42 fois l'âge de l'Univers — pour déplacer 64 disques d'une tige à une autre, en utilisant une tige intermédiaire (exercice dit des Tours de Hanoï).
Voir le corrigé que j'ai rédigé il y a quelques années : https://www.cjoint.com/c/NHhmDfiLnTD

(Le problème mathématique des tours de Hanoï a été inventé par Édouard Lucas. Paru d'abord en fascicule en 1889 , il est publié ensuite dans le tome 3 de ses Récréations mathématiques, parues à titre posthume en 1892. Il annonce que ce problème est dû à un de ses amis, N. Claus de Siam (anagramme de Lucas d'Amiens, Amiens étant sa ville de naissance), prétendument professeur au collège de Li-Sou-Stian (anagramme de Saint Louis, le lycée où Lucas enseignait). Wikipédia)

Borassus · 10-08-2024 12:07:14

Bonjour,

En résumé — excusez-moi d'insister, mais c'est un sujet qui me tient à cœur —, et en étant "quelque peu" iconoclaste, les limites

$\lim \limits_{x \to \infty} e^x = +\infty$

$\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac {e^x} x = +\infty$

$\lim \limits_{x \to -\infty} e^x = 0$

$\lim \limits_{x \to -\infty} x e^x = 0^{-}$

$\lim \limits_{x \to \infty} \ln x = +\infty$

$\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac {\ln x} x = 0^{+}$

$\lim \limits_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty$

$\lim \limits_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0^{-}$

devraient être purement et simplement interdites car relevant d'un non-sens total !

A la place devraient être enseignées les formulations en français — c'est utile le français en maths ! — suivantes :

La fonction exponentielle de base $e$ croît infiniment rapidement quand sa variable, positive, croît.
Exemple : $e^{30} = 10 \: 686 \times 10^9$

La division de la fonction exponentielle de base $e$ par sa variable ne change rien à la croissance infiniment rapide.
Exemple : $\dfrac {e^{30}}{30} = 356 \times 10^9$

La fonction exponentielle de base $e$ tend infiniment rapidement vers 0 lorsque sa variable, négative, décroît.
Exemple : $e^{-12} = 6,1 \times 10^{-6}$

La multiplication de la fonction exponentielle de base $e$ par sa variable lorsque celle-ci est négative ne change rien à la décroissance infiniment rapide.
Exemple : $e^{-12} \times -12 = -7,4 \times 10^{-5}$

La fonction logarithme népérien croît infiniment lentement.
Exemple : $\ln 10^9 = 20,7$

Comme la fonction logarithme népérien croît infiniment lentement, la division par sa variable lorsque celle-ci croît infiniment produit un nombre infiniment petit.
Exemple : $\dfrac {\ln 10^9}{10^9} = 2 \times 10^{-8}$

La fonction logarithme népérien décroît négativement lentement lorsque sa variable tend infiniment vers 0.
Exemple : $\ln 10^{-9} = -20,7$

La multiplication de la fonction logarithme népérien par sa variable lorsque tend infiniment vers 0 produit un nombre infiniment petit.
Exemple : $\ln 10^{-9} \times 10^{-9} = -2 \times 10^{-8}$

Sur ce, je dois me préparer pour aller au Parc des Princes en tant que volontaire, malheureusement aux abords et non à l'intérieur du stade.

Bonne journée olympique à tous !

Eust_4che · 10-08-2024 14:06:23

Bonjour à tous,

Je voudrais m'insurger un peu. J'ai suivi la conversion d'un peu loin, n'ayant pas de raison d'intervenir jusqu'à là. J'étais intervenu dans une précédente conversation pour les mêmes raisons qui me pousse à intervenir ici, mais je n'avais pas eu l'occasion de les développer.

Que l'on soit mathématicien ou non, professeur de mathématique ou non, étudiant en mathématique ou non, à tout le moins concerné par les mathématiques et participant à un forum, on a quand même le devoir d'un peu de rigueur, par respect pour ceux qui vont nous lire. On peut évidemment se tromper, mais on ne peut pas se permettre d'écrire des abominations au nom d'une vérité qui nous serait à nous seulement révéler.

Écrire ceci :

[liste de limite]
devraient être purement et simplement interdites car relevant d'un non-sens total !
A la place devraient être enseignées les formulations en français — c'est utile le français en maths ! — suivantes :

est une insulte non seulement aux mathématiques, mais surtout à ce qui se démène pour les enseigner. Les mathématiques ne sont pas du "français", pas plus qu'elles sont de l'anglais, de l'allemand ou du hittite. Il s'agit d'une matière scientifique, doter de ses propres références et de son propre langage, que l'on cherche à dépouiller de toute ambiguïté afin d'éviter tous les pièges que peut tendre l'intuition. Écrire :

La fonction exponentielle de base $e$ croît infiniment rapidement quand sa variable, positive, croît.

montre que l'on ne comprend donc pas les mathématiques et ce qu'on y fait : que signifie l'expression (apparemment plus claire) "croît infiniment rapidement" ?, et c'est franchement embêtant pour un enseignant. Je pourrais même aller plus loin, et affirmer que refuser toute abstraction et tout formalisme au nom du respect d'une "intuition" revient à refuser tout raisonnement scientifique...

E.

Dernière modification par Eust_4che (13-08-2024 10:28:09)

Rescassol · 10-08-2024 18:54:36

Bonjour,

Je suis entièrement d'accord avec Eust_4che.
De plus, quand on écrit $\lim \limits_{x \to \infty} e^x = +\infty$, on sait qu'on sera compris aussi bien par un Français qu'un Anglais ou un Allemand etc... Cette écriture, qui a un sens rigoureux, n'a pas de nationalité.

Cordialement,
Rescassol

Bernard-maths · 11-08-2024 11:05:55

Bonjour à tous ! à Borassus !

J'avoue ne pas comprendre tes remarques #17 ... les notations mathématiques sont bien établies, et les exemples ne peuvent les remplacer !

Pour ce qui est des grands nombres, je pense qu'on ne peut pas évaluer le nombre d'atomes de l'Univers, car on en connaît quasiment rien. Par contre pour "notre univers" connu, on peut prendre des risques ...

Cordialement, Bernard

jelobreuil · 12-08-2024 09:08:02

Bonjour Borassus, bonjour à tous,
Effectivement, dans ton message #17, tu pousses le bouchon un peu beaucoup trop loin ...
En fait, ce que tu proposes, ce n'est qu'une interprétation en "bon français" de ces formules, et l'on pourrait en donner beaucoup d'autres, en français ou en d'autres langues ... Quand nous, Français, lisons une formule mathématique, nous le faisons, consciemment ou inconsciemment, en mettant des mots français les uns derrière les autres pour interpréter les symboles de la formule, leur ordre d'apparition, leur disposition et leurs positions relatives sur la feuille de papier ou l'écran ... Et cela, nous le faisons grâce à une grammaire et une syntaxe bien établies, régissant l'emploi de tous ces symboles, sur lesquelles les mathématiciens, de quelque nationalité qu'ils soient, se sont accordés au fil des siècles passés, et qui leur permettent de se comprendre entre eux sans aucune ambiguïté ...
Il est vrai que l'interprétation "normalisée" de ces formules, par exemple la première (que je pourrais lire, par exemple, "e puissance x tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini") et la deuxième de ta liste, pèchent, non par manque de sens, mais en ce qu'elle n'expriment pas toutes les caractéristiques du comportement des fonctions concernées : notamment (et je pense que c'est cela que tu leur reproches), elles ne disent rien de l'allure à laquelle chacune de ces fonctions tend vers l'infini positif. Mais ce n'est pas une raison pour vouloir leur faire dire plus qu'elles ne peuvent dire ! Si l'on voulait exprimer cette allure, il faudrait, je pense, inventer ou introduire des symboles supplémentaires, ou modifier les symboles existants, ainsi qu'élaborer d'autres règles de grammaire ou de syntaxe pour les régir ...
Donc, ce n'est pas si simple, et je pense qu'en la matière, il est fortement recommandé d'avancer avec prudence et circonspection ...
Bien amicalement, Jean-Louis

Borassus · 12-08-2024 10:34:36

Bonjour Eust_4che, Rescassol, Bernard, Jean-Louis, bonjour à tous

Je vous remercie de vos interventions qui font, à mon sens, avancer le débat et les réflexions.

Je répondrai de façon élaborée, comme j'aime le faire, un peu plus tard.
Pour l'instant, toute mon attention est accaparée par la réalisation d'un tableau très technique en html, css et JavaScript.
(C'est d'ailleurs en m'apprêtant à écrire cela que j'ai découvert le message de Jean-Louis.)

Ô que j'apprécie ton message, Jean-Louis, qui est très juste !! Merci !!

Oui, j'essaie précisément d'élaborer une écriture symbolique alternative qui puisse traduire les évolutions des fonctions concernées, et qui utilise des symboles LaTeX existants.
Pour l'instant, mes croquis et leur codage en LaTeX ne me satisfont pas. Mais je ne doute pas que j'arriverai à vous proposer une écriture épurée, facilement compréhensible et traduisible dans sa langue de pensée, et facilement codable en LaTeX.
Je suis preneur de toute suggestion !

Bonne et fructueuse journée, qu'elle soit de travail ou de vacances.

Dernière modification par Borassus (12-08-2024 10:55:14)

Borassus · 12-08-2024 10:36:53

Pour l'instant, toute mon attention est accaparée par la réalisation d'un tableau très technique en html, css et JavaScript.

Je suis grandement aidé dans mon travail par ChatGPT, qui me fournit de précieuses indications.
Il me faut cependant rédiger soigneusement les prompts, en indiquant exactement les codes de structure, pour qu'il ne parte pas dans une fausse direction.

[Ajouté] C'est dans l'aide au codage que ChatGPT est véritablement bluffant ! Il comprend votre besoin, propose une solution de codage, propose des modifications à cette solution si la solution ne fournit pas le résultat attendu, repère dans votre code les erreurs de syntaxe, mais aussi de logique de programmation...
Et, au bout du compte, par itérations, on trouve ensemble la solution permettant d'obtenir le résultat escompté.

Dernière modification par Borassus (12-08-2024 14:01:36)

Borassus · 12-08-2024 14:52:08

La croissance très rapide de $e^x$ quand x croît en étant positif pourrait s'écrire quelque chose comme $x >0 \nearrow \: \Rightarrow e^x \uparrow +\infty$.

Une variante, semble-t-il plus parlante, serait de placer $+ \infty$ en exposant : $x >0 \nearrow \: \Rightarrow e^x \uparrow ^{+\infty}$

Ajouté Oups ! J'ai par erreur effacé le début du message. De mémoire :

Oui, j'essaie précisément d'élaborer une écriture symbolique alternative qui puisse traduire les évolutions des fonctions concernées, et qui utilise des symboles LaTeX existants.

Je compte notamment utiliser les flèches $\uparrow$ (\uparrow) et $\downarrow$ (\downarrow) pour désigner respectivement une croissance très rapide et une décroissance très rapide.
Par exemple $\uparrow +\infty$ pourrait signifier croissance très rapide vers plus infini, et $\downarrow 0^{+}$ pourrait signifie décroissance très rapide vers $0^{+}$.

Les flèches $\nearrow$ (\nearrow) et $\searrow$ (\searrow) pourraient signifier respectivement croissance "simple" et décroissance "simple".

Mais ce sont que des premiers balbutiements.
Toute idée d'amélioration sera la bienvenue !

Dernière modification par Borassus (12-08-2024 16:05:13)

Borassus · 12-08-2024 15:39:05

J'essaie de placer $x>0 \nearrow$ sous $e^x \uparrow ^{+\infty}$ à l'aide de "substaque" mais le système me répond "No spam please" (d'où l'écriture bizarre).

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Croissance comparée en spécialité maths

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