Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Michel Coste

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Re : Ensemble quotient

Je l'ai déjà écrit : voir message #18.
Il faut lire ce qu'on t'écrit.

bridgslam

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Re : Ensemble quotient

Bonsoir,

Une image si je ne suis pas à côté de la plaque:
En souflflant dans le disque tant que faire se peut, on en fait au final une sphère dont le bord initial devient un point qui vient fermer le truc ?

A.

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

JuanPedro

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Re : Ensemble quotient

C’est bien ça le soucis car j’ai lu votre message comme tous les autres d’ailleurs !
Enfaite je ne comprends pas ce que vous définissez comme relation d’équivalence dans le cas du cercle topologique
Visuellement je comprends la logique mais formellement comment on écrit qu’on met en relation -1 et 1 ?

Michel Coste

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Re : Ensemble quotient

Il suffit d'appliquer ce que j'ai écrit : la relation d'équivalence sur $[-1,1]$ a une classe qui est $\{-1, 1\}$ et les autres classes sont les singletons $\{t\}$ pour $-1<t<1$.
Tu sais qu'une relation d'équivalence est entièrement déterminée par la partition en classes d'équivalence ?

bridgslam

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Re : Ensemble quotient

bonjour,

De mon côté, ce que je ne comprends pas, c'est le terme "topologique". Y-a-t-il une notion de continuité derrière, par exemple?
Si je prends la droite réelle, je mets dans la même classe les réels non nuls, j'obtiens une partition en deux classes avec {0} et le reste.

Ces notions relèvent-elles  purement de la topologie, ou bien topologie + ...?

Merci
Alain

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Eust_4che

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Re : Ensemble quotient

Bonjour tout le monde,

La topologie apparait quand on considère une topologie sur l'espace quotient. La topologie considérée par Michel est la topologie dite "quotient", ie la topologie la plus fine rendant continue la surjection canonique et celle pour laquelle toute application continue et compatible avec la relation d'équivalence se factorise en une application continue définie dans l'espace quotient.

La topologie quotient sur ton espace quotient $\mathbf{R}/R$ est la topologie ayant pour seule ouvert $\{ \emptyset, \mathbf{R}/R, \{ \mathbf{R} - \{ 0 \} \}$. Le seul ouvert contenant l'ensemble $\{ 0 \}$ (vu comme un point) est $\mathbf{R}/R$.

E.

Dernière modification par Eust_4che (09-08-2024 11:37:19)

bridgslam

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Re : Ensemble quotient

Bonjour ,

Oui, il doit y avoir un homéorphisme j'imagine dans chaque cas avec l'objet ( cercle ou sphère) pour mèriter ce nom.
Merci

A.

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