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JamesWell30062024

Invité

Lemme de Lebesgue

Je rappelle le lemme de Lebesgue tel qu'il est donné dans "Analyse MP" (Guinin et Joppin), page 201 :

Si f est continue par morceaux sur un intervalle compact alors la suite des intégrales de f(x)exp(inx) converge vers 0.

Ce lemme est démontré en trois étapes (f constante, f en escalier et enfin f continue par morceaux, par densité des fonctions en escalier).

J'ai l'impression qu'on peut faire beaucoup plus simple et je ne doute pas que l'erreur vienne de moi, mais je ne la trouve pas.

Dans une démo p.139, il est stipulé qu'une fonction continue par morceaux est prolongeable par continuité aux bornes des intervalles sur lesquels sa restriction est continue. Si ce détail s'applique dans tout le livre, alors toute fonction continue par morceaux sur un compact est essentiellement bornée (= bornée en excluant un ensemble de mesure nulle), n'est-ce pas ?

Bien que la théorie de la mesure ne soit pas au programme de MP, on sait à ce niveau que l'intégrale sur [a,b] ne change pas de valeur si l'on en retire un nombre fini de points, et donc, ne pourrait-on pas simplement démontrer le lemme de Lebesgue en sortant la norme infini de f (points de discontinuité exclus) de l'intégrale, et en calculant l'intégrale de l'exponentielle, dont la suite converge clairement vers 0 ?

Merci pour vos réponses !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 263

Re : Lemme de Lebesgue

Bonjour,

Bien que la théorie de la mesure ne soit pas au programme de MP, on sait à ce niveau que l'intégrale sur [a,b] ne change pas de valeur si l'on en retire un nombre fini de points, et donc, ne pourrait-on pas simplement démontrer le lemme de Lebesgue en sortant la norme infini de f (points de discontinuité exclus) de l'intégrale, et en calculant l'intégrale de l'exponentielle, dont la suite converge clairement vers 0 ?

Merci pour vos réponses !

Comment veux-tu sortir la norme infinie de l'intégrale ? Si tu as introduit la norme infinie, c'est que tu as majoré le module de l'intégrale par l'intégrale du module, et avoir l'exponentielle complexe disparaît puisque son module est égal à $1$.

F.

JamesWell30062024

Invité

Re : Lemme de Lebesgue

Merci pour votre réponse.
Je parlais de sortir la norme infini de f, pas de l'intégrande tout entier. Autrement dit :
|Int(f(x)exp(inx)dx)|<=||f||•|Int(exp(inx)dx)|<=||f||•2/in
ce qui tend vers 0 puisque la norme infini de f est finie, si l'on exclut les points de discontinuité. (Appelons g une fonction constituant un assemblage de prolobgements par continuité de f si besoin, et utilisons ||g|| au lieu de ||f||).

JamesWell30062024

Invité

Re : Lemme de Lebesgue

En fait je viens de comprendre. Effectivement, j'utilisais que
|int(fg)|<=||f||•|int(g)| ce qui est faux, par exemple avec f la restriction de x->x sur [-1,1] et g=f.
Merci !