Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Nami

Membre

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Messages : 4

Racine positive

Bonjour
on définit le polynôme Pn = sum k = 1 X ^ k - 1 Montrer que Pn a une et une seule racine positive, que l'on note
J’ai tenté de développé et de résoudre une équation en 0 mais je suis bloqué
Et si je factorise je me retrouve avec des racines de l’unité
Je ne sais pas quoi faire

Merci de votre aide .

Roro

Membre expert

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Messages : 1 619

Re : Racine positive

Bonjour,

Si une fonction continue est strictement croissante sur $[0,+\infty[$, négative en $0$ et tend vers $+\infty$ en $+\infty$ alors le théorème des valeurs intermédiaires (ou équivalent) te dit qu'elle s'annule exactement une fois...

Dans ton cas, tu as tellement mal écrit l'expression de ton polynôme que je ne suis pas certain de la réponse à donner. Tu pourrais l'écrire en LaTex ? ou au moins préciser s'il y a des parenthèses...

Roro.

naml

Invité

Re : Racine positive

bonjour , il s'agit de [tex]\sum_{k=1}^n X^k-1[/tex]
c'est la 1ère fois que j'utilise Latex et c'est vachement pratique
comment déterminer la valeur an

Merci

BigDeal

Invité

Re : Racine positive

Bonjour,

Tu peux remarquer que $ \sum_{i=1}^{n} X^{k} $ est une somme de termes d'une suites géométrique. On a alors $ \sum_{i=1}^{n} X^{k} = \sum_{i=0}^{n} X^{k} -1 = \frac{1-X^{n+1}}{1-X} -1 $. Donc   $ \sum_{i=1}^{n} X^{k} - 1 = \frac{1-X^{n+1}}{1-X} $.

Respectueusement,
BigDeal

BigDeal

Invité

Re : Racine positive

Attention j'ai fait une erreur de calcul. C'est plutôt $ \sum_{i=1}^{n} X^{k} - 1 = \frac{1-X^{n+1}}{1-X} -2 $. Tu n'as plus qu'à tout mettre sous le même dénominateur et à étudier ton numérateur avec un TVI comme te l'a conseillé Roro.

Bon courage!

Michel Coste

Membre

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 170

Re : Racine positive

Bonsoir,

Je pense que la suggestion de Roro était beaucoup plus simple : aucun calcul, la fonction $x\mapsto \sum_{k=1}^n x^k-1$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$, vaut $-1$ en $0$ et tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Nami

Membre

Inscription : 17-07-2024

Messages : 4

Re : Racine positive

Bonjour , merci pour vos réponses
j'ai bien compris pour le TVI

Mais je ne vois pas comment déterminer cette racine positve an

Pour la question 2 je dois montrer que an converge et déterminer sa limite l

Question 3 Déterminer un équivalent de an-l quand n tend vers +oo

Merci

BigDeal

Invité

Re : Racine positive

Bonjour,

1) Pour montrer que $(a_{n})$ converge, tu peux montrer que $(a_{n})$ est décroissante minorée. Soit $ n \in \mathbb{N}$ .Pour la décroissante de $(a_{n})$, il faut déterminer le signe de $a_{n+1}-a_{n}$ . Je note $ f_{n} : x \mapsto \sum_{i=1}^{n} x^{k} -1 $. Pour déterminer ce signe, tu peux montrer que la courbe représentative de $f_{n+1}$ est toujours au-dessus de la courbe représentative de $f_{n}$ donc $f_{n+1}$ s'annule avant $f_{n}$ donc $a_{n+1} \leq a_{n}$. Enfin $(a_{n})$ est minorée par 0.

2) Tu peux remarquer que $ \sum_{i=0}^{+\infty} ( \frac{1}{2})^k ) = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2 $ donc $  \sum_{i=1}^{+\infty} ( \frac{1}{2})^k -1 = 0 $ donc $(a_{n})$ converge vers $\frac{1}{2}$.

J'espère mon explication est compréhensible.
Respectueusement,
  BigDeal

BigDeal

Invité

Re : Racine positive

Pour trouver la limite, j'ai tracé $f_{1}, f_{2}, f_{6}, f_{12} $ sur geogebra et j'ai regardé la valeur de la racine positive (approximativement). C'est toujours une bonne idée d'étudier rapidement le comportement des objets d'étude avant de chercher à résoudre le problème. Ça te donnera des idées ;)

Bon courage !