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danielrene

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Hyperplans

Bonjour à tous les participants de bim@th,
Dans l'étude des hyperplans en dimension finie je n'ai jamais vu cette question que je me suis posée.
Soit E= $ \mathbb{R}^{3}$ et  $\mathcal{B}=\{ \textbf{e}_{1}, \textbf{e}_{2}, \textbf{e}_{3} \}$ sa base.
Soit e$^{*}$ le dual de E et   $\mathcal{B}^{*}=\{ \textbf{e}_{1}^{*}, \textbf{e}_{2}^{*}, \textbf{e}_{3}^{*} \}$ sa base duale.
Soit $f^{*}$ une forme linéaire obtenue par combinaison des vecteurs de $\mathcal{B}^{*}$:
$$  f^{*}= \alpha \textbf{e}_{1}^{*} + \beta \textbf{e}_{2}^{*} + \gamma \textbf{e}_{3}^{*}   $$

Déterminer l'équation de l'hyperplan H=ker($f^{*})$.

Commentaires
Pour E=$ \mathbb{R}^{3}$ on dim  H = dim ker($f^{*})$= 2 et E = H $\oplus$ Vect($\textbf{u})$  avec $\textbf{u}\notin $ ker $f^{*}$
On choisit H généré par $\{ \textbf{e}_{1}, \textbf{e}_{2} \}$ qui donne

E = H $\oplus$ Vect($\textbf{u})$ avec $\textbf{u}= \textbf{e}_{3}$  et  $\textbf{u}\notin $ ker $f^{*}$. 
qui donne pour $f^{*}$=0 et $ \textbf{x} = x_{1}\textbf{e}_{1} +x_{2} \textbf{e}_{2} + x_{3} \textbf{e}_{3}$

$$ f^{*}(\textbf{x}) =  \alpha x_{1} + \beta x_{2} + \gamma x_{3} =0 \quad et  \quad x_{3}=-\dfrac{\alpha x_{1}}{\gamma}-\dfrac{\beta x_{2}}{\gamma}$$

Mais rien n'interdit de prendre $\{ \textbf{e}_{1}, \textbf{e}_{3} \}$  comme base de H tel que $\textbf{u}\notin $ ker $f^{*}$  et $\textbf{u}=\textbf{e}_{2}$  et
$$ f^{*}(\textbf{x}) =  \alpha x_{1} + \beta x_{2} + \gamma x_{3} =0 \quad et  \quad x_{2}=-\dfrac{\alpha x_{1}}{\beta}-\dfrac{\gamma x_{3}}{\beta}$$

et pour finir de prendre $\{ \textbf{e}_{2}, \textbf{e}_{3} \}$  comme base de H tel que $\textbf{u}\notin $ ker $f^{*}$  et $\textbf{u}=\textbf{e}_{1}$  et
$$ f^{*}(\textbf{x}) =  \alpha x_{1} + \beta x_{2} + \gamma x_{3} =0 \quad et  \quad x_{1}=-\dfrac{\beta x_{2}}{\alpha}-\dfrac{\gamma x_{3}}{\alpha}$$.

Question : peut-on dire que pour résoudre cet exercice il faut fixer la base de H = ker $f^{*}$ il faut fixer la base de H dans $\mathcal{B}$ ?

Merci d'avance à ceux qui me donneront un commentaire.

danielrené

Eust_4che

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Re : Hyperplans

Bonjour,

Je ne comprend pas le choix de la base de $H$. On n'a aucune raison d'avoir $\{e_1, e_2 \}$ ou $\{e_1, e_3\}$ ou $\{e_2, e_3 \}$ dans $H$. L'hyperplan $H$ est formé des $x = x_1 . e_1 + x_2 . e_2 + x_3 . e_3 $ tels que $f(x) = \alpha . x_1 + \beta x_2 + \gamma x_3 + 0$. Donc l'équation est $x_1 . e_1 + x_2 . e_2 + x_3 . e_3  = 0$. C'est tout. Les autres relations en découlent si $\gamma \neq 0$.

E.

Dernière modification par Eust_4che (12-07-2024 22:05:39)

danielrene

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Re : Hyperplans

Bonjour,
Bien compris, le choix de la base n’est pas nécessaire.
Merci beaucoup.

Eust_4che

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Re : Hyperplans

Bonjour,

Si. Le choix de la base est nécessaire pour parler de "système d'équations", puisque la notion d'équations n'a un sens algébrique que si l'on manipule des coordonnées. Ici, on s'est donné une base $\{e_1, e_2, e_3 \}$ et on a formé sa base duale, relativement à laquelle on a exprimé la forme $f^*$. Le système d'équations réduit à une seule équation en découle directement. Ce n'est plus le cas si $f^*$ est décomposée dans une autre base du dual.

Par exemple : Soient $a_1 = (1, 2, 1)$ et $a_2 = (1, 0, 1)$ deux vecteurs libres de $\mathbf R^3$. Détermine l'équation de $H = \textrm{vect}(a_1, a_2)$. On peut prendre un troisième vecteur $a_3 \notin H$ pour former une base de $\mathbf R^3$. Relativement à la base $\{ a_1, a_2, a_3 \}$, l'équation est tout simplement : $x_3 = 0$. Mais relativement à la base canonique, l'équation est $x_1 - x_3 = 0$.

E.