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Baptisteee

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Application linéaire et antécédent de w par f

Bonjour tout le monde,

En pleine révision pour un examen d'algèbre linéaire de l'EPFL, je bute dans cesse sur les questions liées aux antécédents d'une application linéaire. Voici la donnée du problème : Soient f, g : R3 → R3 deux applications linéaires telles que :
f(1,1,1) = (0,0,0), f(1,0,2) = (4,0,6), f−1({(1,0,2)}) = ∅ et g−1({(0,0,0)}) = {(0,0,0)}.

Questions:
1) rang de f
2) dimension du noyau de g(f(g))

SVP aidez-moi

Excusez-moi pour le Latex (j'y connais rien). Merci d'avance pour vos réponse(s)^^

Eust_4che

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Re : Application linéaire et antécédent de w par f

Bonjour,

Tout provient de la "formule du rang" :

$$ \dim \ker f + \dim \textrm {Im} f = \mathbf R^3 = 3$$

L'énoncé te donne des indications.
1) Que peux-tu déduire sur $g$ de $g^{-1}(\{ (0, 0, 0) \}) = (0, 0, 0)$, sachant que $g^{-1}(\{ (0, 0, 0) \}$ est le noyau de $g$ ?
2) Qu'elle majoration sur la dimension de $\textrm {Im} f $ peux-tu déduire de ce que $f^{-1}(\{(1, 0, 2)\}) = \emptyset$ ?
3) Qu'elle minoration sur la dimension de $\ker f $ peux-tu déduire de ce que $f(1, 1, 1) = (0, 0, 0)$ ?

E.

Dernière modification par Eust_4che (17-06-2024 18:18:14)

Fred

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Re : Application linéaire et antécédent de w par f

Bonjour,

@Basptisteee : es-tu sûr d'avoir donné toutes les informations sur $f$, il me semble qu'avec elles on ne peut pas savoir si le rang de $f$ est $1$ ou $2$ ?

@Eust_4che : avec l'indication 3), on obtient encore une majoration de la dimension de l'image de $f$, non?

F.

Eust_4che

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Re : Application linéaire et antécédent de w par f

Re -

Oui, je me suis aperçu après coup que l'on trouvait un rang égal à $1$ ou à $2$. J'ai cherché quelques temps si l'on pouvait déduire quelque chose de "$f(1, 0, 2) = (4, 0, 6)$, qui est la seule précision que je n'ai pas utilisée, mais je n'ai rien trouvé.

-Fred : C'est corrigé !