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Ossekour

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Matrices congruentes

Bonsoir,

J'essaie de résoudre l'exercice suivant : "soient [tex]q[/tex] et [tex]q'[/tex] sont deux formes quadratiques sur [tex]E[/tex], un [tex]\mathbb{K}[/tex]-espace vectoriel de dimension finie, et [tex]q_0[/tex] est une forme quadratique nulle. Montrer que si [tex]q \perp q_0 \simeq q' \perp q_0[/tex], alors [tex]q \perp q'[/tex]". On s'interdit d'utiliser la théorie de diagonalisation des formes quadratiques.

Ma démonstration repose sur la comparaison des formes régulières de [tex]q[/tex] et [tex]q'[/tex] : [tex]q \simeq \overline{q} \perp r. \langle 0 \rangle[/tex] où [tex]r[/tex] est la dimension d'un supplémentaire de [tex]\mbox{Ker}(q)[/tex] dans [tex]E[/tex], et [tex]q' \simeq \overline{q'} \perp r . \langle 0 \rangle[/tex].

L'hypothèse de l'énoncé devient, si l'on note [tex]p=\mbox{dim}(q_0)[/tex] : [tex]\overline{q} \perp (p+r) . \langle 0 \rangle \simeq \overline{q'} \perp (p+r) . \langle 0 \rangle[/tex]. Ainsi, il existe une matrice inversible, dont je note le bloc en haut à gauche [tex]P[/tex], telle que [tex]PAP^T=B[/tex] si [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont des matrices représentant respectivement [tex]\overline{q}[/tex] et [tex]\overline{q'}[/tex]. Il reste à montrer que [tex]P[/tex] est inversible (ce qui se fait, je pense, en utilisant l'inversibilité de [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] en tant que forme quadratique régulière) pour conclure que [tex] \overline{q}[/tex] et [tex]\overline{q'}[/tex] sont équivalentes car [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont congruentes, et il me semble que l'on peut facilement conclure que [tex]q[/tex] et [tex]q'[/tex] sont équivalentes en considérant la matrice inversible diagonale de blocs [tex]P[/tex] et [tex]I_r[/tex].

Ma question est la suivante : est-ce que le fait que si [tex](A,B) \in GL_n(\mathbb{K})^2[/tex] et qu'il existe [tex]P \in M_n(\mathbb{K})[/tex] tel que [tex]PAP^T=B[/tex], alors [tex]P \in GL_n(\mathbb{K})[/tex] ? On a en effet [tex]\mbox{det}(P)^2=\frac{\mbox{det}(B)}{\mbox{det}(A)}[/tex], mais est-ce suffisant pour conclure l'inversibilité de [tex]P[/tex] dans un corps quelconque ? Comment procéder sinon ?

Je vous remercie pour toute aide.

Bonne soirée.

Michel Coste

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Re : Matrices congruentes

Bonsoir,
Ça suffit, mais sans utiliser le déterminant tu peux aussi utiliser le fait que le rang de $PM$ est inférieur ou égal au rang de $P$.

Ossekour

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Re : Matrices congruentes

Bonjour Michel,

Merci pour votre réponse éclairante comme toujours.