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tilda

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Espace vectoriel et complétude

Bonjour

S'il vous plait, comment peut-on montrer ce résultat de tout espace vectoriel de dimension finie est un espace de Banach ? on sait que dans un espace de dimension finie les normes sont équivalentes donc si l'espace est complet pour une norme donnée il l'en sera pour les autres ; mais rigoureusement est-ce qu'il suffira de dire que ça ?

Merci beaucoup pour votre aide et bonne journée

BigDeal

Invité

Re : Espace vectoriel et complétude

Bonjour ! J'ai un petit peu réfléchi à ta question. J'ai une idée de démonstration mais je demande une vérification.

Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie. On prend $ n \in \mathbb{N}* $ tel que $ dim(E) = n $ et $ (e_{1},...,e_{n}) une base de $ E $. On note $ \rVert . \lVert le produit scalaire défini tel que $ \forall x,y \in E$, $ x = \sum

BigDeal

Invité

Re : Espace vectoriel et complétude

Pardon pour mon précédent message. Je confondu les boutons 'valider' et 'prévisualiser'

Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie. On prend $ n \in \mathbf{N}^* $ tel que $ dim(E) = n $ et $ (e_{1},...,e_{n}) $ une base de $ E $. On note $ < . > $ le produit scalaire défini tel que $ \forall x,y \in E$, $ x = \sum_{i=1}^{n} x_{i}e_{i} $ et $ y = \sum_{i=1}^{n} y_{i}e_{i} $ on a $ <x,y> = \sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} $.

Montrons que $ E $ est un espace de Banach, i.e. que toute suite de Cauchy est convergente. Soit $ (u_{n})_{ \in \mathbb{N} } $ une suite de Cauchy (i.e. $ \forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbf{N} \ \forall p,q \in \mathbb{N} \ p,q \geq N \Rightarrow \Vert u_{p} - u_{q} \Vert \leq \epsilon $. Montrons alors que $ (u_{n}) $ est convergente.

Soit $ \epsilon > 0$. $ (u_{n}) $ est une suite de Cauchy donc $\exists N \in \mathbf{N} \ \forall n \in \mathbf{N} \ \forall p,q \geq N \ \Vert u_{p} - u_{q} \Vert \leq \epsilon $. On a donc en particulier $ \forall n \in \mathbf{N} \ n \geq N \Rightarrow \Vert u_{n} - u_{N} \Vert \leq \epsilon $ et les normes sont équivalents en dimension finie donc $ (u_{n}) \rightarrow u_{N} $

Respectueusement,
  Nicolas

BigDeal

Invité

Re : Espace vectoriel et complétude

J'ai oublié de le dire mais $ \Vert . \Vert $ est la norme associée au produit scalaire $ <,> $.

Eust_4che

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Re : Espace vectoriel et complétude

Bonjours à tous,

Je suppose qu'il est question d'espaces vectoriels réels (ou complexes). On peut procéder de la façon suivante. Désignons par $\mathrm{N}_u$ la norme $(x_i) \longmapsto \sum_{i = 1}^n | x_i |$ sur $\mathbf{R}^n$, et $d$ la distance correspondante.

1. Démontrer que $(\mathbf{R}^n, d)$ est un espace métrique complet. (Remarquer que les projections canoniques $\mathrm{pr}_j$ sont uniformément continues.)

2. Soient $(\mathrm{X}_1, d_1)$ et $(\mathrm{X}_2, d_2)$ deux espaces métriques, et soit $f$ une bijection uniformément continue de $(\mathrm{X}_1, d_1)$ sur $(\mathrm{X}_2, d_2)$, dont la réciproque est uniformément continue. Démontrer que $(\mathrm{X}_1, d_1)$ est complet si, et seulement si, $(\mathrm{X}_2, d_2)$ est complet.

3. Soit $\mathrm N_1$ et $\mathrm N_2$ deux normes équivalents sur $\mathrm E$. Démontrer que $(\mathrm{E}, \rm N_1)$ est un espace normé complet si, et seulement si, $(\mathrm{E}, \rm N_2)$ est un espace normé complet.

4. Soit $\rm E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geq 0$, et soit $(f_i)_{1 \leq i \leq n}$ une base du dual de $\rm E$. Démontrer que l'application $x\longmapsto \sum_{i = 1}^n | f_i(x) |$ est une norme $\rm N$ sur $\rm E$, et que $(\rm E, \rm N)$ est un espace normé complet. (Remarquer que l'application $ x \longmapsto (f_1(x), \ldots, f_n(x))$ est une isométrie de $(\mathrm{E}, \mathrm{N})$ sur $(\mathbf{R}^n, \mathrm N_u)$.

5. Conclure.

BigDeal, il y a un (gros) problème dans ta preuve, au niveau du 3e paragraphe. Reprend la définition d'une suite convergence pour la trouver.

E.

Dernière modification par Eust_4che (24-05-2024 12:42:16)

bridgslam

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Lieu : Rospez

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Messages : 1 420

Re : Espace vectoriel et complétude

Bonjour

Il est possible ( le corps de base étant supposé réel ou complexe et la dimension finie) de montrer:

-Une suite de Cauchy de vecteurs est bornée,
-qu'elle admet alors une valeur d'adhérence.
Comme une suite de Cauchy dont une suite extraite converge est convergente, le but est atteint.
Chacun de ces résultats intermédiaires revient souvent et il est formateur de chercher leurs preuves.

Bonne journée
Alain

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