Forum de mathématiques - Bibm@th.net

59Bruno

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Pile ou face

Bonjour,
Quelle est la probabilité pour que sur N lancés d'une pièce on trouve au moins une suite de P piles consécutifs ? (0<P<N)
Je trouve les formules pour P=1 ou 2 ou 3 ou 4, ou N-1, N-2, N-3, N-4, mais pas le cas général.
De plus, connaissez vous une approximation du résultat pour N et P très grands ?
Merci d'avance,
Bruno.

59Bruno

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Re : Pile ou face

Bonjour,

J'ai fait quelques simulations Excel et on arrive à construire la matrice N-P jusqu'à N=1023.

Par exemple, sur 36 lancés on a 2^36=68719476736 tirages possibles, dont :
- 64888470307 ont au moins une suite de 3 pile consécutifs, soit 94%
- 48840756608 ont au moins une suite de 4 pile consécutifs, soit 71%
- 15857441096 ont au moins une suite de 6 pile consécutifs, soit 1 sur 4,3
- 1933780736 ont au moins une suite de 9 pile consécutifs, soit 1 sur 36
- 218011648 ont au moins une suite de 12 pile consécutifs, soit 1 sur 315

Globalement, pour avoir au moins une chance sur deux d'obtenir au moins une suite de P pile consécutifs il faut lancer la pièce environ 2^(P+0.5) fois (valide pour P grand).

Par exemple =
- pour avoir au moins une chance sur deux d'obtenir au moins une suite de 2 pile consécutifs il faut 4 lancés
- pour avoir au moins une chance sur deux d'obtenir au moins une suite de 3 pile consécutifs il faut 10 lancés
- pour avoir au moins une chance sur deux d'obtenir au moins une suite de 4 pile consécutifs il faut 22 lancés
- pour avoir au moins une chance sur deux d'obtenir au moins une suite de 5 pile consécutifs il faut 44 lancés
- pour avoir au moins une chance sur deux d'obtenir au moins une suite de 6 pile consécutifs il faut 89 lancés
- pour avoir au moins une chance sur deux d'obtenir au moins une suite de 7 pile consécutifs il faut 178 lancés
- pour avoir au moins une chance sur deux d'obtenir au moins une suite de 8 pile consécutifs il faut 355 lancés
- pour avoir au moins une chance sur deux d'obtenir au moins une suite de 9 pile consécutifs il faut 710 lancés
- pour avoir au moins une chance sur deux d'obtenir au moins une suite de 10 pile consécutifs il faut sans doute 1420 lancés

Je reste preneur de la formule qui donne le nombre de tirage comportant au moins P pile consécutifs sur N lancés. La formule littérale doit être assez compliquée. Une formule approximative pour P>10 et N>1000 serait intéressante aussi.

Merci d'avance

Zebulor

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Re : Pile ou face

Hello,
la lettre P me gêne parce qu'on a vite fait de faire la confusion avec une probabilité...
Pour le reste comme je suis curieux, j ai une tite question : quelle formule trouves tu pour P=1 ?

59Bruno

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Re : Pile ou face

Salut Zebulor,

Merci de ton retour.

Pour P=1 (au moins une face Pile sur N lancés) le nombre de combinaisons c'est : toutes sauf une, constituée de N Faces.
donc (2^N)-1 et la probabilité de l'obtenir est 1-2^-N. Là c'est très facile.

De même pour P=N-1 (au moins N-1 Piles sur N lancés) le nombre de combinaisons c'est 3 (Que des Piles, Que des Piles sauf le premier, Que des Piles sauf le dernier) et la probabilité est 3/(2^N) = 3*2^-N

Après c'est vite compliqué : as-tu une piste ?

Zebulor

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Re : Pile ou face

Salut Bruno,
je n'ai pas de pistes. Ca semble se complexifier rapidement en effet mais ici je crois que tu vas trouver de l'aide... question de temps...

Fred

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Re : Pile ou face

Bonjour,

  C'est un problème délicat qui demande des outils pour être analysé avec précision.
Si tu cherches une formule complète, tu peux regarder au bas de la page 38 de ce document :
https://www.tqmp.org/RegularArticles/vo … 5/p035.pdf

Ca ne dit pas forcément grand chose du comportement de cette probabilité !
L'idée générale est d'obtenir une formule de récurrence assez compliquée.

F.

Bernard-maths

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Re : Pile ou face

Bonjour à tous !

Une fois j'ai convaincu un joueur au casino que : si on a eu 4 pairs, alors le 5ème coup PEUT aussi être pair, le 6ème aussi, etc ...

Pour en venir au pb posé, je vois ça sous la forme "avoir P pilesà la suite" au milieu de N tirages.

Selon les valeurs de P et N, cette séquence peut se reproduire ... c'est complexe !

SI on ne tient pas compte de ces aléas, je pense qu'on peut chercher combien de tirages de N-P, et regarder de combien de façons intercaler cette séquence de P piles dans l'ensemble. Evidement entourée de 2 faces !

Voilà mon approche, que je ne vais pas développer, trop fatigué en ce moment !

Bernard-math

Dernière modification par Bernard-maths (14-05-2024 16:34:55)

59Bruno

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Re : Pile ou face

Merci Zébulor, Merci Bernard-Math.
Merci Fred, je lirai attentivement ces 17 pages ce week-end, et si j'arrive à formaliser quelque chose je l'écrirai ici.
à bientôt, Bruno.