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ArthurPrime

Invité

Algèbre Linéaire

Bonjour à tous,

Je vous remets dans le contexte de mon problème :
B=(4 3 3)
    (6 1 3)
    (-6 0 -2) une matrice 3*3. Je dois montrer qu'elle est semblable à
D=(4 0 0)
    (0 1 0)
    (0 0 -2), ça se fait en travaillant avec une application linéaire.
En revanche, le "En déduire que B est semblable à B transposé"

Est-ce que vous savez si l'assertion suivante est vraie : GLn(R) (l'ensemble des matrices inversibles à coeff. réels) est stable par produit ?

Bon dimanche,
Arthur.

Wan

Membre

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Messages : 7

Re : Algèbre Linéaire

Bonjour,

Si B est semblable à D, c'est qu'il existe une matrice P inversible telle que B = PDP^-1

En utilisant les propriétés de la transposée, on a :
B^T = (PDP^-1)^T = (P^-1)^TD^TP^T= (P^T)^-1DP^T.

On a donc montré que B^T est semblable à D. Or la similitude est une relation d'équivalence, donc transitive.
On a "B^T est semblable à D" et "D est semblable à B", donc B^T est semblable à B.

Pour la stabilité de GL_n(R), prends deux matrices A et B inversibles, et regarde si le produit AB est inversible (utilise les propriétés du déterminant).

Amicalement,
W.

Dernière modification par Wan (12-05-2024 12:05:19)

ArthurPrime

Invité

Re : Algèbre Linéaire

Bonjour,

Merci beaucoup pour la 1ère partie, je visualise mieux.
Quant à la 2ème, nous n'avons pas encore vu les déterminants sur des matrices n*n, je pensais à une autre méthode, éventuellement un système mais cela ferait beaucoup de sommes, si vous aviez des suggestions, je serais preneur.

Merci encore,
Bonne journée,
Arhur.

DeGeer

Membre

Inscription : 28-09-2023

Messages : 222

Re : Algèbre Linéaire

Bonjour
Puisque $A$ et $B$ sont toutes deux inversibles, tu peux essayer de trouver à partir de $A^{-1}$ et $B^{-1}$ une matrice qui serait inverse à gauche et à droite de $AB$