Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bib99

Invité

Filtres.

Bonsoir,

Sur le lien suivant, https://www.bibmath.net/dico/index.php? … iltre.html , on affirme que,

Les filtres interviennent en topologie lorsque la notion de suite devient insuffisante. On parle alors de suite généralisée.

Pouvez vous m'expliquer cette phrase de manière claire ou via des exemples d'applications ?

Merci d'avance.

bib99

Invité

Re : Filtres.

Tiens ! Sur le lien suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Filtre_(m … 9matiques) , dans le paragraphe intitulé : Avant propos, on dit dans un passage la chose suivante,

La caractérisation des limites au moyen de suites devient impossible lorsque les points de [tex]E[/tex] n'admettent pas un système fondamental dénombrable de voisinages. C'est le cas, par exemple, si [tex]E[/tex] est un espace localement convexe limite inductive stricte d'une suite strictement croissante d'espaces de Fréchet. De tels exemples se rencontrent en théorie des distributions. On peut alors remplacer les suites par des suites généralisées.

Pouvez m'expliquer pourquoi en théorie des distributions, la caractérisation des limites au moyen de suites devient impossible, et on la remplace par la notion de suites généralisées ?

Merci d'avance.

LCTD

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Re : Filtres.

Bonjour,
Pour moi ce n'est pas la généralisation des suites mais des fonctions.
Le concept de distribution puise ses origines dans la modélisation des phénomènes physiques (en particulier des chocs et impulsions et des mesures) initiée par des physiciens comme les anglais Oliver Heaviside (1850-1925) (équations de Maxwell) puis Paul Dirac (1902-1984) dans la première moitié du 20ième siècle. La formalisation mathématique de ce concept s’est ensuite construite tout au long du siècle,au travers des travaux de l’école soviétique et en particulier de Serguei Sobolev(1908-1989), ainsi que du mathématicien français Laurent Schwartz (1915-2002). Laurent Schwartz, membre du groupe Bourbaki, fut,  pour ses ses travaux en relation avec la théorie des distributions (on disait aussi fonctions généralisées dans l’école de Saint Petersbourg), le premier mathématicien français en 1950 à recevoir la médaille Fields .

bib99

Invité

Re : Filtres.

Bonsoir LCTD,

Merci pour ta réponse.

Je suis déjà familier avec la théorie des distributions, et le seul exemple qui me vient à l'esprit c'est l'utilisation des suites régularisantes : Voir ici, https://en.wikipedia.org/wiki/Mollifier pour en savoir plus. Hormis cette notion, je ne vois nul part l'utilisation des suites généralisées en théorie des distributions.

Me trompe-je à votre avis ?

Merci d'avance.

Eust_4che

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Re : Filtres.

Bonjour à tous,

L'intérêt des suites (au sens usuelle du terme) est de donner un critère "simple" d'expression de certaines notions topologiques. De ce point de vue, on dira qu'une partie $\rm A$ d'un espace topologique $\rm X$ est fermé si elle contient la limite de chacune des suites $(a_n)$ d'éléments de $\rm A$ ; qu'une application de $\rm X$ dans un espace topologique $\rm Y$ est continu en un point $x$ si $f(x)$ est la limite de chacune des suites $(f(a_n))$ lorsque $a_n$ tend vers $x$, etc. Il se trouve qu'on obtient pas toute les notions topologiques en raisonnant de cette façon. La partie $\rm A$ peut ne pas être fermée alors qu'elle contient la limite de chacune des suites $(a_n)$ d'éléments de $\rm A$. Une application ne pas être continue au point $x$, alors que l'on a bien $\lim_{n \to +\infty} f(a_n) = f(x)$ dès que $\lim_{n \to + \infty} a_n = x$. C'est en ce sens que l'on dit que la notion de suites est "insuffisante".

Lorsque l'espace topologique métrisable, les suites jouent effectivement le rôle qu'on peut intuitivement leur donner. Lorsque l'espace topologique n'est pas métrisable, ce n'est plus le cas.

L'un des moyens utilisé pour pallier cette insuffisante est de raisonner "en dehors" du dénombrable. Au lieu de considérer des listes d'éléments indexés par $\mathbf{N}$, on utilise n'importe quel ensemble ordonné (ou même préordonné) et filtrant $\rm I$.

Mathématiquement, une distribution est une forme linéaire continue sur l'espace topologique localement convexe $\mathscr{D}$ des applications définies dans un ouvert de $\mathbf{R}^n$, à valeurs réelles (ou complexes), de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et à support compact, muni de la topologie localement convexe la plus fine rendant continue les injections canoniques $\mathscr{D}_\rm K$ dans $\mathscr{D}$, $\mathscr{D}_\rm K$ désignant le sous-espace de $\mathscr{D}$ des applications dont le support est une partie du compact $\rm K$. Cette topologie n'est pas métrisable. Une forme linéaire peut donc être séquentiellement continue (ie vérifier la caractérisation de la continuité dans les espaces métriques) sans être continue (une distribution). On ne peut donc pas utiliser les suites pour parler de continuité, d'où leur remplacement.

Dernière modification par Eust_4che (10-05-2024 20:16:32)

bib99

Invité

Re : Filtres.

Bonsoir Eust_4che,

Merci beaucoup cet éclairage très instructif. :-)
Néanmoins, il y a un truc qui n'est pas clair pour moi dans ce que tu dis. Le voici,

Cette topologie n'est pas métrisable. Une forme linéaire peut donc être séquentiellement continue (ie vérifier la caractérisation de la continuité dans les espaces métriques) sans être continue (une distribution). On ne peut donc pas utiliser les suites pour parler de continuité, d'où leur remplacement.

Qu'est ce que tu sous entends par : ''On ne peut donc pas utiliser les suites pour parler de continuité, d'où leur remplacement'' ?

Merci d'avance.

Eust_4che

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Re : Filtres.

Ben... qu'on remplace la notion de suites (au sens usuelle) par celle de suites généralisées

bib99

Invité

Re : Filtres.

Merci.

Est ce que tu sais comment on procède à ce remplacement pour qu'en théorie des distributions, la notion de continuité d'une distribution et la notion de caractérisation séquentielle de la continuité d'une distribution s'identifient ?

Merci d'avance.

Eust_4che

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Re : Filtres.

En utilisant la notion de suite généralisée, comme indiqué dans le 2e message

bib99

Invité

Re : Filtres.

Merci beaucoup pour toutes ces explications très instructives.  :-)
Cordialement.