Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Le_R

Invité

Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonjour !

Alors voilà, à 32 ans j’ai décidé de reprendre mes études et pour cela je suis actuellement un programme de remise à niveau en maths.

Le chapitre actuel traite des suites numérique.
Je bloque totalement sur la premières question d’un exercice du polycopié (et pourtant le reste de l’exo est OK; quelle frustration !).

Voici la consigne et cette fameuse question :

Les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) sont définies pour \( n \in \mathbb{N}^* \)

$$ u_{n+1} = \frac{6u_n + 14}{u_n+1} $$
$$ u_1 = 1 $$

$$ v_n = \frac{u_n - 7}{u_n + 2} $$

Étudier la convergence de la suite \( (u_n) \) et déterminer sa limite éventuelle.

Alors j’arrive à conjecturer mais, malheureusement pas à démontrer…
Par conjecture:
- la suite \( (u_n) \) n’est ni croissante ni décroissante (elle forme un escargot)
- la sous suite de terme paire $$ u_{2n} $$ est décroissante et converge vers 7
- la sous suite de terme impaire $$ u_{2n+1} $$ est croissante et converge vers 7

Comment alors démontrer proprement tout ceci…

Merci d’avance pour votre aide !

R.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 798

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonsoir,

Pourquoi ne regardes-tu pas la suite $(v_n)_{n\in \mathbb N^\star}$ ?

Ne peux-tu pas trouver une relation entre $v_{n+1}$ et $v_n$ ?

Roro.

Dernière modification par Roro (26-04-2024 22:48:08)

Le_R

Invité

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Merci pour ta réponse Roro !

Oui j’avais essayé de prendre ce chemin mais, je m’y suis également embourbé…

En exploitant cette piste j’avais:
$$ v_{n+1} = \frac{{-u_n + 7}}{{8u_n + 16}} $$

Et pour pour v_1 (sachant que u_1 = 1) :
$$ v_1 = -2 $$

Ce qui me donne une asymptote verticale en -2 je me suis alors demandé si je ne faisais pas fausse route…

Est-ce que tu voyais quelque chose qui m’échappe ?

Merci encore pour ton aide.

Bonne journée
R.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 798

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonjour,

Il me semble que quelque chose t'a effectivement échappé :

En exploitant cette piste j’avais:
$$ v_{n+1} = \frac{{-u_n + 7}}{{8u_n + 16}} $$

Ne vois-tu pas le lien entre $v_{n+1}$ et $v_n$ ?

En pratique, ce qui est à droite de ton égalité est assez proche de l'expression de $v_n$...

Roro.

Le_R

Invité

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonjour,

Merci pour ton retour Roro.
Malheureusement je ne n'arrive toujours pas à m'en sortir; j'en suis navré...

Je m'explique, je vois effectivement que $v_{n+1}$ est une suite géométrique de raison -1/8 :
$$ v_{n+1} = \frac{{-1}}{{8}} * v_{n}  $$

Mais, les termes de ma suites continuent de décrire une suite ni croissante ni décroissante même sur $ v_{n+1} $ (tout comme pour  $ u_{n+1} $ ).
Je reste malheureusement toujours coincé sur comment étudier la convergence "proprement"...

Pour le moment la seule issue que j'ai trouvé c'est de dire que, pour la fonction associée à la suite  $ u_{n+1} $ , si f(L) = L  admet une limite finie L alors, c'est que la suite converge et converge vers cette limite L.
Mais, d'ordinaire je démontre d'abord la monotonie de la suite puis, sa mojoration/minoration ce qui me permet de calculer sa limite éventuelle; ce qui me fait dire que mon approche est - en plus d'être inélégante - probablement pas des plus justes...

Pour info (peut-être aurais-je dû l'écrire dès le début), voici les 2 questions suivantes de l'exercice mais, pour lesquelles j'ai réussi à trouver les réponses.

2. Démontrer que $ v_{n} $ est une suite géométrique.
3. En déduire l'expression de $ u_{n} $ en fonction de n et conclure.

Encore merci pour ton aide.

Bonne journée,
R.

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 184

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonjour à tous,

Effectivement, ce que Roro te disait de faire était de répondre directement aux questions qui suivent. C'est une technique classique de procéder de cette façon. C'était d'ailleurs (a mon époque !) un exercice très classique de maths (en ES).

Le fait d'avoir les limites des suites extraites des paires et impaires te permet de conclure. Qu'appelle-tu "proprement", et comment as-tu l'habitude de démontrer la convergence d'une suite ? Est-il déjà question "d'epsilon" ?

Le_R

Invité

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonjour Eust_4che,

Merci pour ton retour.

D'ordinaire pour ce type d'exercice je :
- Démontre d'abord la monotonie de la suite : soit par étude du signe de $ u_{n+1} $ - $ u_{n} $  soit par la ratio $ \frac{{u_{n+1}}}{{u_{n}}} $ > 1 soit encore, par une étude de la fonction associée.
- Sa mojoration/minoration (ou bornes le cas échéant)

Ceci me permet d'utiliser le théorème sur la convergence des suites qui dit que si une suite est montone et majo/mino/bornée alors, cette suite est convergente.

Ayant démontré cela, je peux alors calculer la limite de la suite vers laquelle elle converge en se basant sur f(L) = L.

Je ne suis pas sûr pour ta question quant au "epsilon"; s'agit-il de celui issu des développements limité (en lien avec petit o et notation de Landau) ?

Bonne journée,
R.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 798

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonjour,

J'ai un peu du mal à comprendre l'ordre des questions de cet exercice (tu ne les avais pas indiquées au début) !

Pour moi, il n'y avait que la question de la convergence de la suite $(u_n)$. Comme l'énoncé parlait d'une suite $(v_n)$ j'ai pensé qu'il fallait l'utiliser...

J'aurais donc fait ainsi :

a) La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $-1/8$ donc converge vers $0$.

b) Puisque $\displaystyle u_n=\frac{7+2v_n}{1-v_n}$, on en déduit que $(u_n)$ converge vers $7$.

C'est quand même relativement simple.

Mais si les questions suivantes demandent d'étudier la suite $(v_n)$ alors je ne comprend pas.

La démarche dont tu parles (étudier les sous-suites) est quand même pas évidente à ce niveau !

Roro.

Dernière modification par Roro (27-04-2024 17:22:52)

Le_R

Invité

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonjour,

Oui effectivement je n'avais pas précisé les autres questions (en réalité je ne pensais pas qu'elles allaient intervenir ici - my bad).
Pour remettre les choses à plat et lever toute ambiguité, voici l'exercice tel qu'il est proposé dans mon polycopié :

On considère les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) définies pour \( n \in \mathbb{N}^* \) par :

$ u_{n+1} = \frac{6u_n + 14}{u_n+1} $          $ v_n = \frac{u_n - 7}{u_n + 2} $          $ u_1 = 1 $

1. Étudier la convergence de la suite $ u_n $ et déterminer sa limite éventuelle.
2. Démontrer que $ v_n $ est une suite géométrique.
3. En déduire l'expression de $ u_n $ en fonction de n et conclure.

Durant l'un de nos TD, nous avons eu un exercice où ont été abordés les suites paires et impaires mais uniquement par conjecture... Parfois, les exercices nous poussent à faire nos propres recherches pour approfondir mais là, je sèche si je veux suivre la séquence des questions.

La remise à niveau que je suis actuellement est un (drôle) de mélange entre niveau fin de terminale et parfois un peu (bien ?!) plus.
Est-ce que ce poste est à déplacer dans l'autre section "Entraide supérieur" ?

Merci encore à tous pour votre aide !

Bonne journée,
R.

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 350

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonjour,

Cet exercice est un classique, mais il est plus simple de déduire la question $1$ des questions $2$ et $3$. Sinon en posant $f(x)=\dfrac{6x+14}{x+1}$, tu peux étudier la fonction $f$, faire l'interprétation graphique de la suite $(u_n)$, considérer $f(x)-x$, puis voir que $f(x)-7$ a un intérêt, etc ...

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (27-04-2024 18:14:05)

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 184

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonjour à tous,

Quand je parle d'"epsilon", je fais référence à la façon dans le supérieure (prépa ou licence) de présenter la limite d'une suite de nombre réels (ou de complexes). Intuitivement, une suite $(u_n)$ converge vers un réel $x_0$ si l'on peut rendre les termes $u_n$ aussi voisins qu'on veut de $x_0$ dès que $n$ est suffisamment grand. La notion de "voisin" s'exprime avec des "petites" distances, et les "petits" réels sont souvent notés $\varepsilon$ quand ils apparaissent. C'est pour ça que j'ai parlé d'epsilon. Rien à voir avec les notations de Landau.

Sinon, pour reprendre le problème d'origine, le fait de savoir que la suite indexée par les entiers paires, et celle indexée par les entiers impaires, ont la même limite suffit pour conclure qu'il s'agit de la limite de la suite.

Mais pour le démontrer "proprement", il faudrait déjà savoir comment démontrer "proprement" qu'une suite converge vers un réel. Et là... Ça doit dépendre de ton niveau. La monotonie de la suite le permet. Mais il s'agit d'un cas particulier et si, effectivement, la suite n'est pas monotone, ce résultat ne sert à rien.

S'il s'agit de la seule technique dont tu disposes, alors je sèche...

Le_R

Invité

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonjour,

J'étais resté bloqué sur mon histoire de fonction associée lorsque j'ai lu ton message Eust_4che d'où mon histoire de développement limité; je comprends maintenant le epsilon que tu évoquais.

Oui et j'ai bien cette notion en tête donné par la formule suivante dans mon cours :
$\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : \forall n \in \mathbb{N}, n \geq n_0 => |u_n - L| < \varepsilon$

Je ne vois pas non plus comment résoudre cela avec mes connaissances actuelles malheureusement.
Merci à tous pour vos réponses, je vais alors rester sur mes conjectures de sous suites paires et impaires et mon calcul de limite !

Par curiosité mathématique, comment ferais-tu alors avec des techniques avancées ?

Bonne journée,
R.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonsoir Le-R, bonsoir à tous,

Je m'insère dans la discussion (Aïe ! penseront d'aucuns. Il a un bouton "Pause" par hasard ? :-)

Voici un extrait d'un document que j'ai écrit fin 2021 à une élève de Terminale, Chloé, montrant la logique des suites homographiques :
https://www.cjoint.com/c/NDBsqOX2sXD
Il te permettra peut-être de mieux comprendre la raison d'être de la suite $v_n$, qui "ne sort pas du chapeau".

Rien qu'en voyant cette suite auxiliaire $(v_n)$, je sais tout de suite, sans le moindre calcul, que la suite $(u_n)$ tend soit vers $7$ (option la plus probable), soit vers $-2$.

Dernière modification par Borassus (27-04-2024 20:03:14)

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 184

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Alors tu peux proprement démontrer (avec les quantificateurs) qu'il suffit que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ aient la même limite $x_0$ pour que la suite converge vers $x_0$ !

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Ce genre d'exercice se résout très couramment en démontrant par récurrence l'un des deux encadrements suivants, $\alpha$ et $\beta$ étant les deux points fixes de la suite, avec $\alpha < \beta$ :

• $u_0 \le u_n \le u_{n+1} \le \beta$    la suite est alors croissante et est majorée par $\beta$, donc converge vers une limite inférieure ou égale au majorant $\beta$ ;

• $\alpha \le u_{n+1} \le u_n \le u_0$    la suite est alors décroissante et est minorée par $\alpha$, donc converge vers une limité supérieure ou égale au minorant $\alpha$.

La limite se calcule en résolvant l'équation en $l$  $f(l) = l$.   (A la limite, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont indiscernables.)

Cette équation a deux solutions, l'une étant à l'extérieur de l'intervalle formé par $u_0$ et $\beta$, ou à l'extérieur de l'intervalle formé par $\alpha$ et $u_0$.

Comme la suite ne peut admettre qu'une seule limite, la "bonne" limite est celle se trouvant d'ans l'intervalle ad hoc.

Dernière modification par Borassus (27-04-2024 19:41:04)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 798

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonsoir,

Merci Borassus pour cette contribution.

Ce genre d'exercice se résout très couramment en démontrant par récurrence l'un des deux encadrements suivants (...)

sauf que justement, dans le cas proposé ici, on n'est pas dans une de ces deux situations !

Ici, il y a deux méthodes généralement utilisées :

- Méthode 1 : introduire une suite auxiliaire $(v_n)$ comme tu le proposes dans ton document

- Méthode 2 : montrer que les suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont adjacentes

La méthode 1 est la plus simple mais étant données les questions suivantes, on a l'impression que ce n'est pas ce qui est attendu.
La méthode 2 n'est pas facile à intuiter au niveau lycée.

L'exercice en soit n'est pas difficile mais c'est sa structuration qui me pose question.

Roro.

Dernière modification par Roro (27-04-2024 19:52:51)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonsoir Roro,

Merci de ta réponse.

Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ et déterminer sa limite éventuelle.

La question est bien compatible avec la méthode que j'indique :
il faut essayer de démontrer l'un des deux encadrements entre 1 et 7, ou entre -2 et 1. (La suite $(v_n)$ indique d'emblée les valeurs devant être utilisées.)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 798

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Re,

La question est bien compatible avec la méthode que j'indique.

Mais la suite $(u_n)$ n'est pas monotone : elle n'est ni croissante, ni décroissante. Ca ne rentre donc pas dans un de tes deux cas !

Roro.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Effectivement, je n'avais pas cherché à visualiser les courbe $y = f(x)$ et $y = x$ et à faire démarrer la suite à 1. (Et je n'avais pas non plus suffisamment mémorisé le début de la discussion.)

L'équation $f(x) = x$ possède deux solutions : $-2$ et $7$.
Si la suite converge, la suite converge obligatoirement vers l'un de ses deux points fixes.
Peut-être essayer de démontrer par l'absurde qu'elle ne peut converger vers $-2$ ?

Oui, comme Le_R l'a semble-t-il fait, il faut démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique. (Pour cela, il faut écrire $u_n$ en fonction de $v_n$.)

Cela permet d'écrire le terme général $v_n$ en fonction de $n$, et d'en déduire le terme général $u_n$, ce qui permet de déterminer sa limite égale à $7$.

Je comprends maintenant, Roro, pourquoi l'ordre des questions pose problème.

Peut-être faut-il étudier tout simplement la suite définie par $u_n - 7$ et montrer qu'elle tend vers 0 ?

Dernière modification par Borassus (27-04-2024 21:23:19)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Point (très) important : lorsqu'on a affaire à une fonction homographique $f(x) = \dfrac {ax + b} {cx + d}$ , il est souvent très utile de la réécrire en   $\alpha + \dfrac {\beta}{cx + d}$.

Dans le cas présent :   $\dfrac {6x + 14} {x + 1} = \dfrac {6(x + 1) + 8}{x + 1} = 6 + \dfrac 8 {x + 1}$

Est-ce que cela peut aider ?

Ps : Je sais que j'ai parfois rencontré chez des élèves de Terminale des suites homographiques "en escargot" sur lesquelles on avait peiné, mais je ne me souviens pas d'avoir rédigé une résolution. Je vais néanmoins chercher dans ma littérature.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Peut-être faut-il appliquer la méthode aux rangs pairs, et la réappliquer aux rangs impairs ?

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 798

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonsoir,

Pour conclure cette histoire car on a à peu près tout dit : les deux méthodes que j'évoquais sont illustrées respectivement dans les exercices hyper classiques 5 et 13 de la page suivante : ici.

Laissons maintenant Le_R nous dire ce qu'il en pense...

Roro.

Dernière modification par Roro (27-04-2024 21:51:56)

Le_R

Invité

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonjour,

Déjà merci à vous trois à la fois pour la qualité de vos réponses (et pour le PDF Borassus !) et pour votre bienveillance !
J'ai complété ma réponse avec des élements issus de nos échanges et envoyé ma copie; correction le 30/04.
Je reviendrai ici avec les remarques du prof (et qui sait, des détails plus précis de ce qui etait attendu !).

Et merci Roro égalment pour les exercices, je vais y jeter un oeil mais en y consacrant un créneau de temps digne de ce nom (je vois qu'interviennent 2 notions nouvelles pour moi : stabilité des intervalles et fonctions composées utilisées dans les suites).

Encore un grand merci à tous !

Bonne journée,
R.

Le_R

Invité

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Clap de fin !

Il semblerait que la réponse ait été satisfaisante (conjecture + démonstration des point 2 et 3 permettant de démontrer le point 3) !
Merci encore à tous !

Bonne jorunée,
R.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 798

Re : Suites non convergentes - sous suites paire et impaire

Bonsoir Le_R,

Merci pour ce retour.

Ainsi, la réponse attendue à la question :

1. Étudier la convergence de la suite $(u_n)_n$ et déterminer sa limite éventuelle.

était de simplement donner une conjecture ! Pour moi, ce n'est pas vraiment le sens de cette question car le terme "étudier" ne demande pas simplement de conjecturer un résultat.

Roro.