grand oral

Eust_4che · 25-04-2024 17:24:06

$[x, y]$ est l'ensemble des réels $z$ tels que $x \leq z$ et $z \leq y$. Si $y \leq x$, la relation $z \in [x, y]$ entraîne donc $x \leq z$ et $z \leq x$, donc $x = z$. D'où $[x, y] = \{ x \}$.

yop · 25-04-2024 17:54:08

Bonjour Borassus,

Merci infiniment pour tout ce que vous m'avez apporté et notamment votre temps !

Je ne saurais comment vous remercier, il me semble que j'ai enfin compris comment illustrer ce foutu TVI grâce à mon pendule.

Je corrige TOUTES mes erreurs et si cela vous dit, je pourrai à nouveau publier mon travail si vous le souhaitez, bien évidemment !

Bonne fin de journée.

Cordialement.
Yop

Borassus · 25-04-2024 18:34:35

Je ne saurais comment vous remercier,

En réalisant un travail correspondant à l'enchaînement de raisonnement que je te propose, en devenant de plus en plus sûr de toi dans ta réflexion et ta compréhension, et en cartonnant si, par chance, tu tires ce sujet. (Tu as une chance sur deux.)

il me semble que j'ai enfin compris

Très important ce que tu écris ! La compréhension doit se construire peu à peu sur tout un ensemble d'incompréhensions, ou, pire, de fausses compréhensions, de tâtonnements, d'ajustements, de réflexions, de changements de cap...
Une compréhension trop facile et trop rapide risque de reposer en réalité sur du sable.

Nos échanges en sont une parfaite démonstration car tu m'as vu moi-même évoluer dans ma compréhension.
Je t'ai donc guidé non pas du haut d'un savoir préalablement acquis, mais grâce à ma compréhension progressive d'un sujet auquel je n'avais jamais prêté attention, à savoir que la période de rotation d'un pendule de Foucault dépend de la latitude à laquelle il se trouve, et que cette dépendance peut être formalisée par une expression très simple dans sa logique : schématiquement une journée de 24 heures divisée par le sinus de la latitude.
(Je prévois de faire ces jours-ci un tour au Panthéon ou au Musée des Arts et Métiers, et de rester devant le pendule suffisamment de temps pour me rendre compte de visu du décalage entre " l'heure du pendule " et ma montre.)

Je te propose d'ailleurs de prévoir lors des questions un aperçu de l'élaboration progressive du sujet sur ce forum. C'est important que tu saches transmettre que le sujet s'est construit peu à peu "dans la douleur".

je pourrai à nouveau publier mon travail si vous le souhaitez, bien évidemment !

Bien sûr ! Cela me fera plaisir de voir ta métamorphose !
Mais uniquement lorsque tu sentiras toi-même la qualité de ton travail !

Bonne fin de journée à toi également.
Bien cordialement.

PS : Comme valeur pouvant être considérée comme infinie — concrètement, l'infini ne signifie pas grand chose et est très relatif : si tu poses par inadvertance ta main sur une plaque encore très chaude de votre cuisinière, un quart de seconde te semblera une éternité... —, tu peux par exemple prendre une période de 180 jours (ce qui correspond à une latitude de 0° 19') : tu te rends compte ? attendre six mois avant de voir le pendule effectuer un tour complet !!

Dernière modification par Borassus (25-04-2024 19:16:27)

yop · 25-04-2024 21:36:04

Re Bonsoir,...

Toute petite question de rien du tout, j'ai tout compris, j'ai tout ce qui me faut, SAUF, je n'arrive pas à déterminer par calcul la valeur du jour sidéral aux pôles, à l'aide de formule, bien évidement je le sais que aux pôles la période de rotation est égale au jour sidéral, mais je me demandais, sil il était possible mais également utile de la calculer.

Très bonne soirée à tout le monde.

Cordialement.
Yop

PS : Je n'y manquerai pas de citer votre nom le jour du grand oral Ô Grand Borassus !
Malgré tes conseils, j'ai décidé de ne pas travailler en pulsation car je me suis beaucoup embrouillé avec cette notion durant mes recherches et il me semble plus simple pour mon jury aussi de garder les constantes g et L

Dernière modification par yop (25-04-2024 21:55:31)

Borassus · 25-04-2024 22:16:42

Rebonsoir Yop,

La formule ne permet en aucun cas de calculer le jour sidéral, dont la détermination se fait par des mesures astronomiques très précises.
Elle permet seulement de déterminer le coefficient du jour pendulaire par rapport au jour sidéral.

Par exemple, à la latitude de Bordeaux (45° N), le jour pendulaire est égal à $\dfrac 1 {\dfrac {\sqrt 2}2} = \dfrac 2 {\sqrt 2} = \sqrt 2$ (ou, plus simplement $\dfrac 1 {\dfrac 1 {\sqrt 2}} = \sqrt 2$ ) , soit $\approx 1,41$ fois le jour sidéral.

J'ai demandé au Chat comment est déterminé le jour sidéral :

La détermination précise du jour sidéral implique des mesures astronomiques sophistiquées, utilisant des télescopes et des horloges précises pour suivre le mouvement des étoiles dans le ciel.

Je lui ai aussi demandé quelle est l'utilisation du jour sidéral :

Le jour sidéral est utilisé dans divers domaines de l'astronomie et de la navigation. Voici quelques exemples :
Astronomie : Le jour sidéral est utilisé pour coordonner les observations astronomiques et pour suivre le mouvement des objets célestes dans le ciel. Les astronomes utilisent des coordonnées sidérales pour localiser précisément les étoiles, les planètes et d'autres objets astronomiques.
Navigation : Bien que le GPS (Global Positioning System) utilise principalement le temps atomique pour la synchronisation, le jour sidéral reste important dans certains aspects de la navigation astronomique et spatiale. Par exemple, les satellites GPS utilisent des éphémérides basées sur le temps sidéral pour déterminer leur position et leur orientation dans l'espace.
Calendriers astronomiques : Dans certains calendriers astronomiques, le jour sidéral est utilisé comme unité de mesure du temps pour suivre les mouvements des astres et des étoiles.
Recherches en géodynamique : Le jour sidéral est également utilisé dans certaines recherches en géodynamique pour étudier la rotation de la Terre, les variations de son axe et d'autres phénomènes liés à la rotation terrestre.
En résumé, le jour sidéral est une mesure importante dans l'astronomie et la navigation spatiale, offrant un moyen précis de synchroniser les observations et de suivre les mouvements célestes.

Petite observation au passage : là tu poses une question, non pas d'incompréhension, mais de curiosité (même si tu n'avais pas encore véritablement compris ce que signifie de multiplier, ou diviser, une grandeur par un nombre sans dimension). Tu progresses. :-)

Je n'y manquerai pas de citer votre nom le jour du grand oral Ô Grand Borassus !

Et mes chevilles ?! Tu as pensé à mes chevilles ?! C'est toi qui vas me payer le renouvellement de toutes mes chaussettes pour cause de distension des élastiques ?! :-)

yop · 25-04-2024 22:23:43

Très bien je vois, donc la formule de période de rotation de mon pendule ne sert en vérité juste à dresser mon tableau de variation.

Et la valeur du jour sidéral, je l'affirme avant de commencer mon étude ?

Enfin, je me suis penché sur le cas de l'équateur, j'en ai déduis les valeurs infinis en faisant les limites quand $\Phi$ tend vers 0 avec $\Phi$ > 0 et $\Phi$ < 0. Ceci est correcte ?

Borassus · 25-04-2024 22:29:42

Malgré tes conseils, j'ai décidé de ne pas travailler en pulsation car je me suis beaucoup embrouillé avec cette notion durant mes recherches et il me semble plus simple pour mon jury aussi de garder les constantes g et L

C'est vrai que l'utilisation de ce genre de concept, qui permet de "normaliser" une grandeur de façon à la rendre toujours égale, est relativement délicate à comprendre.
Tu as raison : les hypothèses simplificatrices sont plus faciles à comprendre. (Comme je l'écrivais plus haut, il s'agit d'une expérience de pensée de toute façon irréalisable. Donc les simplifications n'ont pas d'incidence, et elles permettent de mieux comprendre le concept.)

Tu as cependant, sans le percevoir réellement sans doute, rencontré une forme "normalisée" :
la forme canonique — "canonique" et "normalisé" peuvent, dans cette acception, être considérés comme synonymes — du polynôme du second degré, qui permet de comparer des polynômes définis par toutes les variétés d'écriture possibles selon seulement trois critères : ouverture de la courbe, abscisse de l'axe de symétrie, ordonnée du sommet.
C'est en quelque sorte une "carte d'identité", au format unique, applicable à n'importe quel polynôme du second degré, quelle que soit son écriture.

Borassus · 25-04-2024 23:06:12

Très bien je vois, donc la formule de période de rotation de mon pendule ne sert en vérité juste à dresser mon tableau de variation.

En quelque sorte.

Et la valeur du jour sidéral, je l'affirme avant de commencer mon étude ?

Non, c'est un détail que je mentionne dans mon post #72

La période de rotation est alors égale à $2 \pi \omega$, qui correspond à notre journée de 24 h. (Plus précisément, 23 h 56 min 4 s, qui est la période de rotation de la Terre par rapport aux étoiles, appelée "jour sidéral", et non par rapport au Soleil : en une journée, la Terre se déplace légèrement par rapport au Soleil, d'où la nécessité de définir le jour sidéral, qui lui reste immuable.)

Raisonne simplement en jours. Donc la variation de ton tableau commence à $- 1 \: J$ pour $\phi = -\dfrac {\pi} 2$ pour décroître jusqu'à $- \infty$.

A propos, écris phi avec "p" minuscule. Avec "P" majuscule, $\Phi$ a d'autres significations mathématiques, dont, souvent, le nombre d'or.

Enfin, je me suis penché sur le cas de l'équateur, j'en ai déduit les valeurs infinis en faisant les limites quand $\phi$
tend vers 0 avec $\phi > 0$ et $\phi < 0$. Ceci est correct ?

Oui ! $\phi > 0$ correspond à l'hémisphère nord, $\phi < 0$ correspond à l'hémisphère sud.

A ce propos, j'ai cité plus haut l'exemple de la latitude de 0° 19', à laquelle correspond une période de 6 mois.
J'ai voulu comprendre à quelle distance de l'Equateur cette latitude correspond.

La mètre a initialement été défini pendant la Révolution (pas terrestre...) comme étant la 10 millionième partie du quart du méridien de Paris. Avec cette définition, le méridien de Paris mesure exactement... 40 000 km. :-)

Donc un quart de méridien (de la latitude 0 à la latitude 90°) mesure 10000/ 90 = 111,111 km.

Comme il y 60 minutes dans un degré, une minute correspond à 111,111 / 60 = 1,852 km.

La latitude de 19' correspond ainsi à une distance de 19 x 1,852 = 35,188 km de l'équateur.

La limite 0 a, là aussi, un sens concret : il ne s'agit pas de placer un pendule de Foucault à 20 cm de l'Equateur. :-)
Le Chat, toujours :

En général, grâce aux technologies modernes telles que le GPS et les systèmes de cartographie avancés, l'emplacement de l'équateur peut être déterminé avec une précision allant jusqu'à quelques mètres seulement. Cependant, dans certaines applications nécessitant une précision extrême, comme la cartographie topographique ou les études géodésiques, l'équateur peut être déterminé avec une précision encore plus grande, parfois jusqu'à quelques centimètres.

yop · 25-04-2024 23:08:30

Très bien, je vois.

Mise à part la formule de période de rotation qui me reste à comprendre je pense avoir globalement tout saisi merci.

Bonne nuit.

Cordialement.
Yop

Borassus · 25-04-2024 23:20:35

Mise à part la formule de période de rotation qui me reste à comprendre

???
Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas ! Revois notamment mon post #72 où je crois avoir tout expliqué en détail.

Sur ce, bonne nuit également. (Borassus ne répond plus.)

yop · 25-04-2024 23:44:08

En fait, moi j'aurai aimé pouvoir calculer la période de rotation pour une valeur de latitude donnée, mais cela ne marche pas et c'est cela que je n'ai pas compris.

Ensuite, n'ayant pas fait la partie fonction trigo en cours, je n'arrive pas à déterminer le signe de la dérivée. Je le constate avec ma calculatrice, mais c'est tout.

Dans mon oral, je comptais faire un petit exemple pour "résumer" mon raisonnement. Pour cela, puis-je prendre une valeur négative de période de révolution ; afin de leur montrer qu'il existe une valeur de latitude qui correspond à cette période de révolution, dans l'hémisphère Sud ?

Enfin voilà, je sens que je m'en sors petit à petit, j'espère que ce travail sera récompensé si jamais.

Très belle nuit à tout le monde.

Cordialement.
Yop

Dernière modification par yop (25-04-2024 23:55:23)

Borassus · 26-04-2024 08:57:03

Bonjour Yop

En fait, moi j'aurai aimé pouvoir calculer la période de rotation pour une valeur de latitude donnée, mais cela ne marche pas et c'est cela que je n'ai pas compris.

Quelles valeurs introduis-tu dans tes calculs ? Tout d'abord, vérifie si ta calculatrice est paramétrée en degrés ou en radians !

Ensuite, n'ayant pas fait la partie fonction trigo en cours, je n'arrive pas à déterminer le signe de la dérivée. Je le constate avec ma calculatrice, mais c'est tout.

!! C'est hallucinant !!
La trigo est maintenant laissée à l'appréciation des profs !! (Une élève m'a dit récemment que son prof affirme qu'elle n'est plus au programme.)
Donc, il y a des profs qui ne la traitent purement et simplement pas, alors que d'autres font des contrôles poussés dessus !
(J'ai un élève de Terminale qui vient tout juste — en début de semaine je crois, je l'ai vu mercredi — de voir la trigo en classe, et encore au pas de course.)

Ceci vient de cette aberration d'avoir placé les épreuves de spécialité au Bac en mars : comme la trigo n'était pas encore traitée, elle a ensuite été quasiment balayée.

(Ces lignes ne te sont pas destinées : je les écris à l'intention des "non élèves" qui lisent nos échanges.)

Pour revenir à toi, essaie d'assimiler par toi-même les "bases basiques" de la trigo, notamment les notions de radian et de fonction sinus et cosinus. Je ne peux te faire (en plus...) un cours sommaire de trigo ! Il y a sur le Net pléthore de vidéos expliquant les notions de base.

Dans mon oral, je comptais faire un petit exemple pour "résumer" mon raisonnement. Pour cela, puis-je prendre une valeur négative de période de révolution ; afin de leur montrer qu'il existe une valeur de latitude qui correspond à cette période de révolution, dans l'hémisphère Sud ?

Oui ! Mais ton tableau doit être basé sur les valeurs en radians. (Il n'a pas de sens, d'un point de vue mathématique, si les latitudes sont exprimées en degrés.)

Enfin voilà, je sens que je m'en sors petit à petit, j'espère que ce travail sera récompensé si jamais.

Déstresse ! Je te sens complètement paniqué.
Rassure-toi, tu as tout à fait le temps de maîtriser ton sujet !

(J'observe avec mes élèves que ce grand oral est très angoissant, car il représente une épreuve à laquelle vous n'êtes pas du tout préparés. Un examen écrit, vous connaissez depuis la 6ème, voire avant. Mais un grand oral, qui plus est devant un jury ! )

yop · 26-04-2024 13:20:33

Bonsoir Borassus,

En effet, si je souhaite déterminer la valeur de période de rotation de mon pendule à la latitude 45°, soit $\frac{\sqrt{2}}{2}$, ainsi si je remplace cette valeur dans ma formule :

$T(\frac{\sqrt{2}}{2})=2\times\pi\times\sqrt{\dfrac{L}{g}}\times\dfrac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Or, ici, je n'ai pas la valeur de la longueur du pendule. Soit, je prends celle de Paris soit 67m et j'admets que la valeur de l’accélération égale à sa valeur conventionnelle, définie par la troisième conférence générale des poids et mesures de 1901, soit 9,81 m.s-2

Ce qui me donne comme période de rotation :

$T(\frac{\sqrt{2}}{2})$ = 25,28 s , super rapide !

Je ne comprends donc pas à quoi ça sert réellement, même si j'ai compris que cette formule me servait pour construire mon étude et déterminer la valeur de période de rotation du plan d'oscillation, que je n'arrive pas à déterminer.

Si le jury me demande pourquoi cette formule, et me demande de déterminer la valeur de période de rotation pour une valeur de latitude $\phi$, comment je fais ?

Dernière modification par yop (26-04-2024 13:24:10)

yop · 26-04-2024 13:33:23

Concernant, l'exemple je comptais prendre pour exemple une période de rotation se trouvant dans l'hémisphère Nord, par exemple +26h.

Pour cela, j'affirme que ma fonction est dérivable donc continue sur l'intervalle [ $-\frac{\pi}{2}$ ; 0 [Union] 0 ; $\frac{\pi}{2}$ ]
De plus elle est strictement décroissante sur ] 0 ; $\frac{\pi}{2}$ ]
Or f ( ] 0 ; $\frac{\pi}{2}$ ] ) = [+24 ; + $\infini$ ]
et +26 appartient à [+24 ; + $\infini$ ]

Donc ma fonction admet bien une valeur de latitude dans l'hémisphère Nord $\phi$, pour laquelle la période de rotation de mon pendule est de +26h.

C'est en cela, que le pendule de Foucault peut servir à illustrer mon Théorème des Valeurs Intermédiaires.

PS : Je n'ai pas réussi à trouver, le symbole infini en LATEX, ainsi que l'Union. Excusez-moi.

Dernière modification par yop (26-04-2024 13:34:39)

Rescassol · 26-04-2024 14:14:00

Bonjour,

On obtient les symboles $\infty$ et $\cup$ avec \infty et \cup.
Tant que j'y suis: $\cap$ avec \cap.

Cordialement,
Rescassol

Borassus · 26-04-2024 14:25:31

Bonjour Yop,

Tu mets concrètement le doigt sur quelque chose qui me dérange profondément depuis le début de nos échanges sans que je puisse expliciter le dérangement. J'ai enfin compris !!

En fait, je me suis com-plè-te-ment planté et ai joyeusement associé la période d'oscillation du pendule qui est, quelle que soit la latitude, donnée par la formule $2 \pi \sqrt {\dfrac L g}$ et la période de rotation de ce même pendule !!

J'ai en réalité très mal interprété l'indication de Wikipédia :

Si l'on considère le plan déterminé par :
- le point de fixation du pendule (la voûte du Panthéon de Paris par exemple),
- sa position au repos, donc la verticale du lieu où il est suspendu,
- le point d'où il est lâché sans vitesse initiale (sans vitesse relative locale),
l'expérience met en évidence :
- que le plan d'oscillation du pendule est en rotation autour de l'axe de la verticale du lieu,
- que ce plan d'oscillation tourne dans le sens horaire dans l'hémisphère nord et dans le sens inverse dans l'hémisphère sud,
que le plan d'oscillation effectue un tour complet en un jour sidéral aux pôles (soit 23 h 56 min 4 s), mais qu'ailleurs la période est plus longue et doit être divisée par le sinus de la latitude. Cette période définit le jour pendulaire. À une latitude de 30°, le jour pendulaire est donc de 2 jours et à 45° de latitude de 1,4 jour. À l'équateur le pendule oscille dans un plan fixe.

Donc la formule à utiliser est

$T(\phi) = \dfrac J {\sin \phi}$

dans laquelle $J$ est égal à 1 jour (le jour sidéral, pour être précis),
et dans laquelle $T$ est exprimée en jours.

Donc, à la latitude de Bordeaux, $T = J \times \sqrt 2$, soit $T = J \times 1,414$

Maintenant, tout devient cohérent et simple !!
Et la période de rotation ne dépend ni de $L$, ni de $g$ !!

Ouf !!
Tant de débat pour finalement arriver à un résultat tout simple !!
Cette monumentale discussion mérite de figurer dans les annales comme morceau d'anthologie !!

Pour reprendre l'expression de Yoshi, je vais chercher un trou de souris pour m'y cacher. :-)

(A ma (toute petite) décharge, le débat a été parasité dès le début par ton satané $L \times g \times \cos \phi$ ... :-)

Borassus · 26-04-2024 14:55:19

J'ai vu ton post #90 lorsque j'ai validé le mien.

A la place de $J$, tu peux mettre $24$ si tu comptes la rotation en heures : $T(\phi) = \dfrac {24}{\sin \phi}$.

Donc, pour reprendre ton exemple avec 26 h, il faut résoudre l'équation

$\dfrac {24} {\sin \phi} = 26$

d'où $\phi = arcsin \left( \dfrac {24} {26} \right) = 1,176 \, \text {rad} = 67,38° = 67° 22'$ , ce qui correspond à une latitude légèrement supérieure au cercle polaire, qui est de 66° 33'.

A l'opposé, prends aussi l'exemple de 180 jours qui mène à une latitude 0° 19'.

PS : Je ne sais si tu as le droit d'écrire
$f \left( \, \left] 0 \, ; \, \dfrac{\pi}{2} \right] \right) = [+24 \, ; \, + \infty[$

Rescassol ?

Dernière modification par Borassus (26-04-2024 14:59:02)

Borassus · 26-04-2024 14:59:33

Sur ce, je dois partir en cours.

a+

Borassus · 26-04-2024 15:07:27

Le Chat :

Une latitude de 67° nord correspond à des régions très proches du cercle arctique. Voici quelques-unes des principales villes situées à cette latitude :

Tromsø, Norvège : Une ville norvégienne située au nord du cercle arctique, réputée pour ses aurores boréales.
Murmansk, Russie : La plus grande ville située au nord du cercle arctique, elle se trouve sur la côte nord-ouest de la Russie.
Fairbanks, Alaska, États-Unis : Une ville importante de l'Alaska, située au cœur de l'État.
Rovaniemi, Finlande : Située en Laponie finlandaise, elle est connue pour être la ville du Père Noël.
Kiruna, Suède : Une ville minière suédoise située dans la région de Laponie.
Longyearbyen, Svalbard, Norvège : La plus grande ville de l'archipel du Svalbard, située dans l'océan Arctique

yop · 26-04-2024 15:44:06

Je me disais bien que la formule était bizarre x_x.

Merci beaucoup pour ton aide, je vais pouvoir refaire mon étude à partir de cette étude. La formule que nous avions utilisé ne stipuler juste le temps que mettait le pendule pour faire "un aller-retour", en fait.

Et concernant le doute que tu as émis en Post Scriptum, cette notation est bien validée par ma professeure. Et enfin, je pense que je donnerai la réponse exacte, après avoir fais mon TVI.

Bonne journée.

Cordialement.
Yop

Dernière modification par yop (26-04-2024 16:02:50)

yop · 26-04-2024 20:30:19

Bonsoir tout le monde, bonsoir Borassus,

J'ai ENFIN fini d'écrire ce fameux grand oral.

Comment souhaitez-vous le voir ?

Dernière modification par yop (26-04-2024 20:30:30)

Borassus · 26-04-2024 21:10:41

Bonsoir Yop,

Sur le forum, pardi !

Il a fait l'objet d'une telle discussion fleuve — Yoshi, il semble qu'elle soit l'une des plus longues en termes de nombre de messages ; en as tu connu de plus longues ? — et de telles mémorables fausses pistes, que je pense que beaucoup d'entre nous sommes impatients de voir sortir l'œuvre d'une telle gestation. :-)

yop · 26-04-2024 22:19:47

Je précise que rien n'est parfait dans le monde et mon écrit ne l'est pas non plus.

En revanche, je l'ai réalisé sur un google doc, si je copie-colle, il faudra que je passe tout en LATEX... (la flemme).

Je vais essayer de trouver un moyen pour vous envoyer un lien (pdf).

Borassus · 26-04-2024 22:24:11

Oui. Il doit être possible d'imprimer en pdf le document écrit en Google doc.

yop · 26-04-2024 22:33:48

J'ai un lien PDF, en revanche je ne sais pas si l'on peut voir mes informations personnelles...

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#76 25-04-2024 17:24:06

Re : grand oral

#77 25-04-2024 17:54:08

Re : grand oral

#78 25-04-2024 18:34:35

Re : grand oral

#79 25-04-2024 21:36:04

Re : grand oral

#80 25-04-2024 22:16:42

Re : grand oral

#81 25-04-2024 22:23:43

Re : grand oral

#82 25-04-2024 22:29:42

Re : grand oral

#83 25-04-2024 23:06:12

Re : grand oral

#84 25-04-2024 23:08:30

Re : grand oral

#85 25-04-2024 23:20:35

Re : grand oral

#86 25-04-2024 23:44:08

Re : grand oral

#87 26-04-2024 08:57:03

Re : grand oral

#88 26-04-2024 13:20:33

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#89 26-04-2024 13:33:23

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#90 26-04-2024 14:14:00

Re : grand oral

#91 26-04-2024 14:25:31

Re : grand oral

#92 26-04-2024 14:55:19

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#93 26-04-2024 14:59:33

Re : grand oral

#94 26-04-2024 15:07:27

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#95 26-04-2024 15:44:06

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#99 26-04-2024 22:24:11

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#100 26-04-2024 22:33:48

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