Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ernst

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Convergence d'une série

Bonjour,

Dans le sujet « Nature d’une série » il est fait état d’une série qui partirait de n=2 et qui serait divergente. Bon, encore il s’agirait d’une somme je ne dis pas (la série harmonique a bien ses termes qui tendent tous vers zéro alors qu’elle est pourtant croissante) mais là je n’ai pas vu de somme.

D’après ce que j’ai compris il s’agit simplement d’une succession de termes qui, pour moi, tendent tous vers zéro au fur et à mesure que n augmente, et l’alternance de leur signe ne change rien à l’affaire. Comme c’est en « Entraide (supérieur) » je n’allais pas m’en mêler, mais comment c’est-y possible ?

Fred

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Re : Convergence d'une série

Bonjour,

  Si tu fais la somme d'une suite convergente et d'une suite divergente, tu obtiens une suite divergente.
Ainsi, si tu considères
$$S_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{\sqrt k}\textrm{ et }T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k},$$
alors la suite $(S_n+T_n)$ est divergente puisque la suite $(S_n)$ converge et que la suite $(T_n)$ diverge.
Et si tu regardes $S_n+T_n,$ c'est bien une somme de termes qui tendent tous vers zéro et dont les signes sont alternés.

F.

Ernst

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Re : Convergence d'une série

Bonsoir Fred,

Oui, dans le cas d'une somme je comprends tout à fait, mais ici je n'ai pas vu de sommation, pas de sigma, juste une série dont on définit l'obtention de chaque terme en fonction d'une variable entière n. Plus n augmente, plus les termes diminuent. C'est ça que je ne comprends pas, qu'on appelle une telle série divergente ?

DeGeer

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Re : Convergence d'une série

Bonsoir
D'après ce que j'ai compris du sujet en question, le $u_n$ serait le terme général de la série dont il faut monter la divergence.

Ernst

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Re : Convergence d'une série

Bonsoir,

Ah ça y est, j’ai compris.

Ma confusion vient du fait que si je vois un pi majuscule c’est un produit, si je vois un sigma majuscule c’est une somme, si je vois un grand s c’est une intégrale, etc. Dans mon esprit, c’est l’expression mathématique qui définit précisément l’objet dont on parle, pas ce qu'il y a autour, un peu comme le symbole de la barre horizontale qui parle à n’importe quel mathématicien et non pas les termes de division, fraction, rapport...

Comme ici il est question de série un matheux va automatiquement lire « somme de ... » sans avoir besoin du sigma ni des indices alors que l’amateur que je suis aura simplement lu « suite dont le n-ième terme était… ».

(comme Fred utilisait le vocable suite en écrivant fort justement le sigma je ne percutais toujours pas, et c'est en demandant à Google la différence mathématique entre suite et série que j'ai été éclairé)

Ginger40

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Re : Convergence d'une série

Bonjour,

Effectivement, c'est une question de vocabulaire. Quand on parle de "série de terme général $u_k$", on parle de la suite $S_n = \sum_{k=1}^n u_k$. (A noter qu'ici la série débute à $u_1$ mais selon le domaine dé définition de la suite $(u_k)$, elle peut commencer à $u_0$, $u_2$ voire $u_{-1}$ si on a une suite définie sur $\mathbb{Z}$.

En résumé :
Quand on parle du "$n$-ème terme de la série de terme général $u_n$", on parle de  $S_n = \sum_{k=1}^n u_k$.

Bon, après quand on est habitué et qu'on sait un peu de quoi on parle on raccourcit pour aller plus vite. On peut écrire "la série des $u_n$" ou "la somme des $u_n$" pour parler de cette série à terme général $u_n$.

Attention toutefois à le faire que quand on est assez à l'aise, et à ne pas en abuser. Dans ce sujet posté par le même auteur, il conclut en disant "la série des |un| converge donc un converge abs. donc un converge" et là c'est typiquement trop raccourci, même faux à la fin.
"La série des $|u_n|$ converge" ça en vrai y a pas de problème.
"donc $|u_n|$ converge absolument" là on est un peu plus dans l'abus. La "convergence absolue" n'a de sens que pour des séries. Donc par extension on comprend qu'il parle forcément de la série des $|u_n|$ qui converge absolument, mais bon.
"donc $u_n$ converge" et là patatra, rien ne va plus, on ne dit plus du tout la même chose car on parle de la convergence des $u_n$ et non de sa série.

Même si ce n'est pas extrêmement grave dans cet exemple car le contexte est assez clair, cela peut poser des soucis dans des problèmes plus compliqués où il n'y a pas que des séries en jeu.
Il ne faut pas être trop fainéant, d'autant plus qu'écrire ça sur une copie de concours peut coûter très cher, car la conclusion ne répond pas à la question (un correcteur un peu bourrin peut enlever des points à la question en disant "ce n'est pas ce qui est demandé" ou parce qu'il pense que le vocabulaire / les notions ne sont maîtrisés).

Dernière modification par Ginger40 (25-04-2024 12:05:40)

Ernst

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Re : Convergence d'une série

Bonsoir Ginger40

Merci pour ces éclaircissements, je m’en voulais un peu de ne pas comprendre ce que je ne comprenais pas...