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Vincent62

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Espace compact

Bonjour,

Je bloque complètement sur un truc.
J'étudie une preuve du fait que sur [tex](R^d,\|.\|)[/tex], tout sous-ensemble [tex]F[/tex] fermé borné est compact.
On considère la norme euclidienne.

Soit donc [tex]x=(x^n)^n[/tex] une suite d'éléments de [tex]F[/tex]. Puisque [tex]F[/tex] est borné, il existe un [tex]M[/tex] positif tel que pour tout [tex]n[/tex], [tex]\|x\|\le M[/tex].
Or, [tex]\|x\|=\sum_{i=1}^d |x^n_i| \le |x^n_i|\le M[/tex] pour tout [tex]1\le i\le d[/tex].

Déjà, que signifie ce [tex]x_i^n[/tex] ? En effet, [tex](x^n)_n=(x^1,x^2,...,x^n,x^{n+1},...)[/tex] donc à quoi correspond l'indice [tex]i[/tex] ici ?
Ensuite, on somme de 1 à d, car nous sommes en dimension finie égale à d. Mais ma suite est infinie a priori, donc où passent tous les autres termes ? Est-ce qu'il s'agit de l'écriture de la suite dans la base canonique ?

Voilà, mes questions sont sûrement idiotes, mais comme je bloque totalement, je préfère ratisser large...

Merci

Glozi

Invité

Re : Espace compact

Bonjour,
Chaque élément $x^n$ pour $n\in \mathbb{N}$ est un élément de $\mathbb{R}^d$, ainsi $\forall n\in \mathbb{N}, x^n\in \mathbb{R}^d$. Maintenant, un élément $x$ de $\mathbb{R}^d$ est un $d$ uplet de réels qu'on écrit usuellement $x=(x_1,x_2,\dots,x_d)$ avec les $x_i\in \mathbb{R}$. Puisque pour $n\in \mathbb{N}$, $x^n$ est un élément de $\mathbb{R}^d$ on peut écrire $x^n =((x^n)_1,(x^n)_2,\dots, (x^n)_d)$ qu'on écrit plus rapidement $x^n = (x^n_1,x^n_2,\dots, x^n_d)$.

Par ailleurs l'inégalité correcte est $|x^n_i|\leq \sum_{j=1}^d |x_j^n|$ et non l'autre sens, de plus $\sum_{j=1}^d |x_j|$ ne désigne pas la norme euclidienne de $x\in \mathbb{R}^d$ mais sa norme $1$.
Bonne journée

Vincent62

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Re : Espace compact

Ah mais oui !! Merci Glozi :)