Forum de mathématiques - Bibm@th.net

lulupictou

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Modulos polynômes

Bonjour,
Je suis en L1 de maths et je dois résoudre un système de congruences avec des polynômes.
Le système est :
P congru à 1 modulo [X^2 - 1]
P congru à X - 1 modulo [X^3 - 3X^2 + 2X]

J'ai commencé par faire le PGCD des deux modulos, qui est 3X - 3.
Est-ce que je divise chaque modulo par leur PGCD pour me retrouver avec des modulos premier entre eux et continuer la démarche habituelle, ou alors je ne peux rien faire ?

Merci,
Crdlt,
Lucie

Dernière modification par lulupictou (02-04-2024 09:14:17)

Fred

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Re : Modulos polynômes

Bonjour,

  Voici comment je m'y prendrais. Je commence à prendre la première équation. J'obtiens qu'il existe un polynôme $Q$ tel que $P=1+Q(X)(X^2-1)$. J'introduis ceci dans la deuxième équation : j'obtiens qu'il existe un polynôme $R$ tel que
$1+Q(X)(X^2-1)=(X-1)+R(X)(X^3-3X^2+2X)$. Maintenant, que se passe-t-il si $X=1$ puisque, comme tu l'as remarqué, $X-1$ divise $X^2-1$ et $X^3-3X^2+2X$.

F.

lulupictou

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Re : Modulos polynômes

Ok merci,
J'ai compris votre méthode mais je n'ai jamais fait comme ça et mon partiel est demain donc je préfère garder ma méthode pour le moment.
Est-ce que vous pourriez me dire les conditions pour pouvoir résoudre un système de congruences svp ? Faut-il absolument que les modulos soient premiers entre eux ?

La méthode que j'utilise habituellement :
P congru à A modulo R
P congru à B modulo S
avec A B R S des polynômes,

R et S sont premiers entre eux, on trouve U et V tel que UR + VS = 1,
On trouve ainsi P₀ = BUR + AVS
Et la solution générale est P est congru à P₀ modulo R*S

Mais à condition que R et S soient premiers entre eux ... d'où mon interrogation

Merci :)

Fred

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Re : Modulos polynômes

Re-

  Justement, c'est parce qu'ils ne sont pas premiers entre eux qu'on ne peut pas faire comme cela et qu'on doit faire "à la main". La méthode que j'ai utilisée correspond au début de la preuve du théorème que tu mentionnes. Lorsque $R$ et $S$ ne sont pas premiers entre eux, on ne peut pas diviser simplement par leur pgcd, c'est plus difficile que cela !

F.

lulupictou

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Re : Modulos polynômes

Ok merci beaucoup ! Je me disais que c'était trop simple de diviser par leur pgcd ahah ... On n'a jamais vu votre méthode et on s'arrêtait quand ils n'étaient pas premiers entre eux ce qui me semblait bizarre mais je comprends mieux.

Merci beaucoup !
Au plaisir