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#1 20-01-2024 20:28:27
- jelobreuil
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cercles orthogonaux
Bonjour ou bonsoir à tous !
Soit un triangle ABC, et un point P sur BC. La perpendiculaire élevée de P sur BC coupe les droites AB et AC, respectivement, en D et E.
Montrer que les cercles circonscrits aux triangles ABC et ADE sont orthogonaux.
J'ai trouvé une solution, mais je suis curieux de savoir s'il y en a d'autres que vous pourriez trouver ...
Bien cordialement, JLB
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#2 20-01-2024 23:27:20
- Rescassol
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Re : cercles orthogonaux
Bonsoir,
En barycentriques:
% Jelobreuil - 20 Janvier 2024 - Cercles orthogonaux
clc, clear all, close all
syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC
A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];
BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC
CA=[0, 1, 0];
AB=[0, 0, 1];
%-----------------------------------------------------------------------
syms t real
P=[0; t; 1-t]; % Un point P de (BC)
Dte=DroiteOrthogonaleBary(P,BC,a,b,c);
D=Wedge(Dte,AB); E=Wedge(Dte,CA);
J=CentreCercleTroisPointsBary(A,D,E,a,b,c);
Tgte=[0, c^2, b^2]; % Tangente en A au cercle circonscrit à ABC
Nul=Factor(Tgte*J) % Nul=0, donc c'est gagné
Cordialement,
Rescassol
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#3 23-03-2024 07:46:50
- Jean-Louis Ayme
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Re : cercles orthogonaux
Bonjour,
la corde [DE] étant perpendiculaire à la corde [BC obtenue à partir des moniennes (AB) et (AC), conduit au résultat demandé...]
http://web.archive.org/web/202310020324 … ecants.pdf P. 25-26.
Sincèrement
Jean-Louis
Dernière modification par Jean-Louis Ayme (23-03-2024 07:49:40)
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#4 23-03-2024 09:53:01
- jelobreuil
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Re : cercles orthogonaux
Bonjour à tous, bonjour Jean-Louis, et bienvenue ici !
Voici donc la solution que j'ai élaborée pour ce problème.
(figure) https://www.cjoint.com/c/NCxir2QICaf
Soit O le centre du cercle circonscrit à ABC, H le pied de la A-hauteur xAH et F le point d'intersection des droites AO et PDE. Les angles xAD et ADP sont égaux : ce sont des angles alternes internes définis par les droites parallèles XAH et PDE et la sécante AD. Or, l'angle xAD se décompose en xAE + EAD, et l'angle xAE est égal à l'angle BAH, qui est son opposé par le sommet et qui est égal à l'angle OAD, identique à FAD, du fait de l'isogonalité de la hauteur AH et du rayon AO. On en déduit les égalités d'angles ADF (identique à ADP) = xAD = xAE + EAD = FAD + DAE = FAE, et de là, que les triangles FAE et FDA, ayant un angle en commun et un autre angle égal, sont semblables. On peut donc écrire l'égalité FD/FA = FA/FE, d'où FE.FD = FA² : on reconnait dans cette dernière égalité deux expressions de la puissance du point F par rapport au cercle passant par D, A et E et tangent en A à la droite FA, de centre G. Puisque cette droite porte le rayon OA du cercle circonscrit à ABC, ces deux cercles sont orthogonaux, comme leurs rayons OA et GA.
Bien cordialement, JLB
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#5 23-03-2024 15:20:36
- Bernard-maths
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Re : cercles orthogonaux
Bonjour à tous !
Voici une façon de voir :
Si l'on fait confiance à la précision des calculs de GeoGebra, en traçant les tangentes rouges en A (et les bleues en F), puis les centres O1 et O2 des cercles circonscrits, on peut remarquer que le produit scalaire ps = 0.
On peut suivre l'enchainement logique des calculs à effectuer ... (???)
Alors, question "philosomathématique" (moi aussi j'aime les néologismes ...), s'agit-il d'une démonstration mathématique ? Ou d'un schéma ?
@ Rescassol : cordialement, qu'en penses-tu toi ? Toi qui utilise un logiciel, et moi qui n'arrive pas à comprendre ce que tu fais ...
Voilà pour vous distraire, cordialement,
Bernard-maths
https://www.cjoint.com/doc/24_03/NCxos1 … -01-20.ggb
Dernière modification par Bernard-maths (23-03-2024 18:37:21)
Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
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#6 23-03-2024 19:35:57
- Rescassol
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Re : cercles orthogonaux
Bonjour,
Voilà donc quelques explications:
> P=[0; t; 1-t]; % Un point P de (BC)
Un point $P$ quelconque de la droite $(BC)$ est barycentre de $B$ et $C$ avec comme coefficients $t$ et $1-t$, (et $0$ pour $A$); $t$ étant un nombre réel quelconque servant de paramètre.
> Dte=DroiteOrthogonaleBary(P,BC,a,b,c);
$Dte$ est la droite passant par $B$ et orthogonale à $(BC)$. La fonction DroiteOrthogonaleBary calcule ses trois coefficients barycentriques par rapport au triangle $ABC$.
> D=Wedge(Dte,AB); E=Wedge(Dte,CA);
La fonction Wedge calcule le point $D$ intersection des droites $Dte$ et $(AB)$, ainsi que le point $E$ intersection des droites $Dte$ et $(CA)$. C'est un simple produit vectoriel.
> J=CentreCercleTroisPointsBary(A,D,E,a,b,c);
Cette instruction calcule le centre $J$ du cercle circonscrit au triangle $ADE$.
> Tgte=[0, c^2, b^2]; % Tangente en A au cercle circonscrit à ABC
La droite que j'appelle Tgte fait partie de mon formulaire, je ne la recalcule donc pas.
> Nul=Factor(Tgte*J) % Nul=0, donc c'est gagné
Quand on multiplie un vecteur ligne $[p, q, r]$ (une droite) par un vecteur colonne $[x; y; z]$ (un point), on obtient $0$ si le point est sur la droite (donc si $px+qy+rz=0$), ce qui est le cas ici.
Faut-il que je détaille les deux fonctions DroiteOrthogonaleBary et CentreCercleTroisPointsBary ?
Pour répondre à ton autre question, ce que tu as fait est un schéma, mais pas une démonstration, même si ça se vérifiait à $10^{-100}$ près. Un nombre positif, aussi petit soit-il, n'est pas $0$.
Cordialement,
Rescassol
Dernière modification par Rescassol (23-03-2024 19:40:03)
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#7 23-03-2024 20:19:41
- Bernard-maths
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Re : cercles orthogonaux
Bonsoir Rescassol !
Je vois que tu as du répondant, et l'oeil !
Merci pour tes réponses, je suivrai un peu plus tard !
Cordialement, B-m
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#9 27-03-2024 19:05:33
- Bernard-maths
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Re : cercles orthogonaux
Bonsoir Rescassol !
Je pense avoir saisi le principal ... si oui nous proposons des solutions équivalentes.
Donc la Tgte au 1er cercle passe donc par le centre du 2ème cercle, et donc les rayons en A sont perpendiculaires.
Le langage que tu utilises m'est inconnu, et comme c'est très peu documenté ... je ne comprends rien, ou peu !
Pour la remarque, bien sûr qu'un calcul = 0 n'est pas une preuve, mais on peut être conforté par le résultat, avant de se lancer dans un calcul algébrique exact à la main ... si on veut.
Ensuite, j'ai oublié le centre du cercle circonscrit comme barycentre des sommets : je galère dans les calculs, ça tombe "à côté" !
Un petit rappel STP, merci.
Comme je disais une fois à Wiwaxia, je suis toujours à courir après plusieurs lièvres, 3 ... 4 ... 6 ... ce qui me permet de cogiter les différentes approches, mais me rend "distrait" dans les suivis.
Mon dada c'est les équations de polygones et polyèdres ... Si ça t'intéresses, je cherche un "contradicteur coopératif" ...
Après des équations cartésiennes, je passe aux équations paramétriques ... je vais bientôt commencer une présentation sur Bib.
Cordialement, Bernard-maths
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#10 29-03-2024 21:11:14
- Bernard-maths
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Re : cercles orthogonaux
Bonsoir Rescassol !
Alors que penses tu de ma proposition ? Géométrie ou non ?
Cordialement, Bernard-maths
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#11 30-03-2024 00:35:35
- Rescassol
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Re : cercles orthogonaux
Bonsoir Bernard-maths,
> Le langage que tu utilises m'est inconnu, et comme c'est très peu documenté ... je ne comprends rien, ou peu
J'ai pourtant commenté du mieux que j'ai pu.
Mon code est du Matlab, c'est ressemblant à Python, entre autres.
Tu pourrais préciser les instructions que tu ne comprends pas.
Ou alors, le problème est peut-être que tu ne connais pas le calcul barycentrique,
Le centre du cercle circonsrit est $O = [a^2S_a; b^2S_b; c^2S_c]$ où $S_a=\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2}$ et permutation circulaire (Notations de Conway).
Par contre le centre du cercle circonscrit à un triangle quelconque est plus compliqué. Il est calculé par ma fonction CentreCercleTroisPointsBary que voilà:
function O = CentreCercleTroisPointsBary(A1,A2,A3,a,b,c)
% Centre du cercle passant par A1 A2 A3
x1=A1(1); y1=A1(2); z1=A1(3);
x2=A2(1); y2=A2(2); z2=A2(3);
x3=A3(1); y3=A3(2); z3=A3(3);
Ox = (- x1^2*x2*x3*y2*z3 + x1^2*x2*x3*y3*z2 - x1^2*x2*y2*z3^2 + x1^2*x2*y3^2*z2 - x1^2*x3*y2^2*z3 + x1^2*x3*y3*z2^2 - x1^2*y2^2*z3^2 + x1^2*y3^2*z2^2 + x1*x2^2*x3*y1*z3 - x1*x2^2*x3*y3*z1 + x1*x2^2*y1*z3^2 - x1*x2^2*y3^2*z1 - x1*x2*x3^2*y1*z2 + x1*x2*x3^2*y2*z1 + x1*x2*y1*y3^2*z2 - 2*x1*x2*y1*y3*z2*z3 + x1*x2*y1*z2*z3^2 - x1*x2*y2*y3^2*z1 + 2*x1*x2*y2*y3*z1*z3 - x1*x2*y2*z1*z3^2 - x1*x3^2*y1*z2^2 + x1*x3^2*y2^2*z1 - x1*x3*y1*y2^2*z3 + 2*x1*x3*y1*y2*z2*z3 - x1*x3*y1*z2^2*z3 + x1*x3*y2^2*y3*z1 - 2*x1*x3*y2*y3*z1*z2 + x1*x3*y3*z1*z2^2 - x1*y1*y2^2*z3^2 + 2*x1*y1*y2*z2*z3^2 + x1*y1*y3^2*z2^2 - 2*x1*y1*y3*z2^2*z3 + 2*x1*y2^2*y3*z1*z3 - x1*y2^2*z1*z3^2 - 2*x1*y2*y3^2*z1*z2 + x1*y3^2*z1*z2^2 + x2^2*x3*y1^2*z3 - x2^2*x3*y3*z1^2 + x2^2*y1^2*z3^2 - x2^2*y3^2*z1^2 - x2*x3^2*y1^2*z2 + x2*x3^2*y2*z1^2 + x2*x3*y1^2*y2*z3 - x2*x3*y1^2*y3*z2 - 2*x2*x3*y1*y2*z1*z3 + 2*x2*x3*y1*y3*z1*z2 + x2*x3*y2*z1^2*z3 - x2*x3*y3*z1^2*z2 + x2*y1^2*y2*z3^2 - 2*x2*y1^2*y3*z2*z3 + x2*y1^2*z2*z3^2 - 2*x2*y1*y2*z1*z3^2 + 2*x2*y1*y3^2*z1*z2 - x2*y2*y3^2*z1^2 + 2*x2*y2*y3*z1^2*z3 - x2*y3^2*z1^2*z2 - x3^2*y1^2*z2^2 + x3^2*y2^2*z1^2 + 2*x3*y1^2*y2*z2*z3 - x3*y1^2*y3*z2^2 - x3*y1^2*z2^2*z3 - 2*x3*y1*y2^2*z1*z3 + 2*x3*y1*y3*z1*z2^2 + x3*y2^2*y3*z1^2 + x3*y2^2*z1^2*z3 - 2*x3*y2*y3*z1^2*z2 + 2*y1^2*y2*z2*z3^2 - 2*y1^2*y3*z2^2*z3 - 2*y1*y2^2*z1*z3^2 + 2*y1*y3^2*z1*z2^2 + 2*y2^2*y3*z1^2*z3 - 2*y2*y3^2*z1^2*z2)*a^4 + (2*x1^2*x2*x3*y2*z3 - 2*x1^2*x2*x3*y3*z2 + x1^2*x2*y2*z3^2 - 2*x1^2*x2*y3^2*z2 - 2*x1^2*x2*y3*z2*z3 + x1^2*x2*z2*z3^2 + 2*x1^2*x3*y2^2*z3 + 2*x1^2*x3*y2*z2*z3 - x1^2*x3*y3*z2^2 - x1^2*x3*z2^2*z3 + x1^2*y2^2*z3^2 + 2*x1^2*y2*z2*z3^2 - x1^2*y3^2*z2^2 - 2*x1^2*y3*z2^2*z3 - 2*x1*x2^2*x3*y1*z3 + 2*x1*x2^2*x3*y3*z1 - x1*x2^2*y1*z3^2 + 2*x1*x2^2*y3^2*z1 + 2*x1*x2^2*y3*z1*z3 - x1*x2^2*z1*z3^2 + 2*x1*x2*x3^2*y1*z2 - 2*x1*x2*x3^2*y2*z1 - 2*x1*x2*y1*y3^2*z2 + 2*x1*x2*y1*z2*z3^2 + 2*x1*x2*y2*y3^2*z1 - 2*x1*x2*y2*z1*z3^2 + x1*x3^2*y1*z2^2 - 2*x1*x3^2*y2^2*z1 - 2*x1*x3^2*y2*z1*z2 + x1*x3^2*z1*z2^2 + 2*x1*x3*y1*y2^2*z3 - 2*x1*x3*y1*z2^2*z3 - 2*x1*x3*y2^2*y3*z1 + 2*x1*x3*y3*z1*z2^2 + x1*y1*y2^2*z3^2 + 2*x1*y1*y2*z2*z3^2 - x1*y1*y3^2*z2^2 - 2*x1*y1*y3*z2^2*z3 - 2*x1*y2^2*y3*z1*z3 - x1*y2^2*z1*z3^2 + 2*x1*y2*y3^2*z1*z2 + x1*y3^2*z1*z2^2 - 2*x2^2*x3*y1^2*z3 - 2*x2^2*x3*y1*z1*z3 + x2^2*x3*y3*z1^2 + x2^2*x3*z1^2*z3 - x2^2*y1^2*z3^2 - 2*x2^2*y1*z1*z3^2 + x2^2*y3^2*z1^2 + 2*x2^2*y3*z1^2*z3 + 2*x2*x3^2*y1^2*z2 + 2*x2*x3^2*y1*z1*z2 - x2*x3^2*y2*z1^2 - x2*x3^2*z1^2*z2 - 2*x2*x3*y1^2*y2*z3 + 2*x2*x3*y1^2*y3*z2 + 2*x2*x3*y2*z1^2*z3 - 2*x2*x3*y3*z1^2*z2 - x2*y1^2*y2*z3^2 + 2*x2*y1^2*y3*z2*z3 + x2*y1^2*z2*z3^2 - 2*x2*y1*y2*z1*z3^2 - 2*x2*y1*y3^2*z1*z2 + x2*y2*y3^2*z1^2 + 2*x2*y2*y3*z1^2*z3 - x2*y3^2*z1^2*z2 + x3^2*y1^2*z2^2 + 2*x3^2*y1*z1*z2^2 - x3^2*y2^2*z1^2 - 2*x3^2*y2*z1^2*z2 - 2*x3*y1^2*y2*z2*z3 + x3*y1^2*y3*z2^2 - x3*y1^2*z2^2*z3 + 2*x3*y1*y2^2*z1*z3 + 2*x3*y1*y3*z1*z2^2 - x3*y2^2*y3*z1^2 + x3*y2^2*z1^2*z3 - 2*x3*y2*y3*z1^2*z2)*a^2*b^2 + (2*x1^2*x2*x3*y2*z3 - 2*x1^2*x2*x3*y3*z2 - x1^2*x2*y2*y3^2 + 2*x1^2*x2*y2*y3*z3 + 2*x1^2*x2*y2*z3^2 - x1^2*x2*y3^2*z2 + x1^2*x3*y2^2*y3 + x1^2*x3*y2^2*z3 - 2*x1^2*x3*y2*y3*z2 - 2*x1^2*x3*y3*z2^2 + 2*x1^2*y2^2*y3*z3 + x1^2*y2^2*z3^2 - 2*x1^2*y2*y3^2*z2 - x1^2*y3^2*z2^2 - 2*x1*x2^2*x3*y1*z3 + 2*x1*x2^2*x3*y3*z1 + x1*x2^2*y1*y3^2 - 2*x1*x2^2*y1*y3*z3 - 2*x1*x2^2*y1*z3^2 + x1*x2^2*y3^2*z1 + 2*x1*x2*x3^2*y1*z2 - 2*x1*x2*x3^2*y2*z1 + 2*x1*x2*y1*y3^2*z2 - 2*x1*x2*y1*z2*z3^2 - 2*x1*x2*y2*y3^2*z1 + 2*x1*x2*y2*z1*z3^2 - x1*x3^2*y1*y2^2 + 2*x1*x3^2*y1*y2*z2 + 2*x1*x3^2*y1*z2^2 - x1*x3^2*y2^2*z1 - 2*x1*x3*y1*y2^2*z3 + 2*x1*x3*y1*z2^2*z3 + 2*x1*x3*y2^2*y3*z1 - 2*x1*x3*y3*z1*z2^2 - x1*y1*y2^2*z3^2 - 2*x1*y1*y2*z2*z3^2 + x1*y1*y3^2*z2^2 + 2*x1*y1*y3*z2^2*z3 + 2*x1*y2^2*y3*z1*z3 + x1*y2^2*z1*z3^2 - 2*x1*y2*y3^2*z1*z2 - x1*y3^2*z1*z2^2 - x2^2*x3*y1^2*y3 - x2^2*x3*y1^2*z3 + 2*x2^2*x3*y1*y3*z1 + 2*x2^2*x3*y3*z1^2 - 2*x2^2*y1^2*y3*z3 - x2^2*y1^2*z3^2 + 2*x2^2*y1*y3^2*z1 + x2^2*y3^2*z1^2 + x2*x3^2*y1^2*y2 + x2*x3^2*y1^2*z2 - 2*x2*x3^2*y1*y2*z1 - 2*x2*x3^2*y2*z1^2 + 2*x2*x3*y1^2*y2*z3 - 2*x2*x3*y1^2*y3*z2 - 2*x2*x3*y2*z1^2*z3 + 2*x2*x3*y3*z1^2*z2 + x2*y1^2*y2*z3^2 - 2*x2*y1^2*y3*z2*z3 - x2*y1^2*z2*z3^2 + 2*x2*y1*y2*z1*z3^2 + 2*x2*y1*y3^2*z1*z2 - x2*y2*y3^2*z1^2 - 2*x2*y2*y3*z1^2*z3 + x2*y3^2*z1^2*z2 + 2*x3^2*y1^2*y2*z2 + x3^2*y1^2*z2^2 - 2*x3^2*y1*y2^2*z1 - x3^2*y2^2*z1^2 + 2*x3*y1^2*y2*z2*z3 - x3*y1^2*y3*z2^2 + x3*y1^2*z2^2*z3 - 2*x3*y1*y2^2*z1*z3 - 2*x3*y1*y3*z1*z2^2 + x3*y2^2*y3*z1^2 - x3*y2^2*z1^2*z3 + 2*x3*y2*y3*z1^2*z2)*a^2*c^2 + (- x1^2*x2*x3*y2*z3 + x1^2*x2*x3*y3*z2 + x1^2*x2*y3^2*z2 + 2*x1^2*x2*y3*z2*z3 + x1^2*x2*z2*z3^2 - x1^2*x3*y2^2*z3 - 2*x1^2*x3*y2*z2*z3 - x1^2*x3*z2^2*z3 + x1*x2^2*x3*y1*z3 - x1*x2^2*x3*y3*z1 - x1*x2^2*y3^2*z1 - 2*x1*x2^2*y3*z1*z3 - x1*x2^2*z1*z3^2 - x1*x2*x3^2*y1*z2 + x1*x2*x3^2*y2*z1 + x1*x2*y1*y3^2*z2 + 2*x1*x2*y1*y3*z2*z3 + x1*x2*y1*z2*z3^2 - x1*x2*y2*y3^2*z1 - 2*x1*x2*y2*y3*z1*z3 - x1*x2*y2*z1*z3^2 + x1*x3^2*y2^2*z1 + 2*x1*x3^2*y2*z1*z2 + x1*x3^2*z1*z2^2 - x1*x3*y1*y2^2*z3 - 2*x1*x3*y1*y2*z2*z3 - x1*x3*y1*z2^2*z3 + x1*x3*y2^2*y3*z1 + 2*x1*x3*y2*y3*z1*z2 + x1*x3*y3*z1*z2^2 + x2^2*x3*y1^2*z3 + 2*x2^2*x3*y1*z1*z3 + x2^2*x3*z1^2*z3 - 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2*x1*x2*y1*z2*z3^2 + 4*x1*x2*y2*y3*z1*z3 + 2*x1*x2*y2*z1*z3^2 - 2*x1*x3^2*y2*z1*z2 - x1*x3^2*z1*z2^2 + 4*x1*x3*y1*y2*z2*z3 + 2*x1*x3*y1*z2^2*z3 - 4*x1*x3*y2*y3*z1*z2 - 2*x1*x3*y3*z1*z2^2 + 2*x1*y1*y2*z2*z3^2 - 2*x1*y1*y3*z2^2*z3 + 2*x1*y2^2*y3*z1*z3 + x1*y2^2*z1*z3^2 - 2*x1*y2*y3^2*z1*z2 + 2*x1*y2*z1*z2*z3^2 - x1*y3^2*z1*z2^2 - 2*x1*y3*z1*z2^2*z3 - 2*x2^2*x3*y1*z1*z3 - x2^2*x3*z1^2*z3 - x2^2*y1*z1*z3^2 + x2^2*y3*z1^2*z3 + 2*x2*x3^2*y1*z1*z2 + x2*x3^2*z1^2*z2 - 4*x2*x3*y1*y2*z1*z3 + 4*x2*x3*y1*y3*z1*z2 - 2*x2*x3*y2*z1^2*z3 + 2*x2*x3*y3*z1^2*z2 - 2*x2*y1^2*y3*z2*z3 - x2*y1^2*z2*z3^2 - 2*x2*y1*y2*z1*z3^2 + 2*x2*y1*y3^2*z1*z2 - 2*x2*y1*z1*z2*z3^2 + 2*x2*y2*y3*z1^2*z3 + x2*y3^2*z1^2*z2 + 2*x2*y3*z1^2*z2*z3 + x3^2*y1*z1*z2^2 - x3^2*y2*z1^2*z2 + 2*x3*y1^2*y2*z2*z3 + x3*y1^2*z2^2*z3 - 2*x3*y1*y2^2*z1*z3 + 2*x3*y1*y3*z1*z2^2 + 2*x3*y1*z1*z2^2*z3 - x3*y2^2*z1^2*z3 - 2*x3*y2*y3*z1^2*z2 - 2*x3*y2*z1^2*z2*z3 + y1^2*y2*z2*z3^2 - y1^2*y3*z2^2*z3 - y1*y2^2*z1*z3^2 + y1*y3^2*z1*z2^2 + y2^2*y3*z1^2*z3 - y2*y3^2*z1^2*z2)*a^2*b^2 + (- 2*x1^2*x2*y2*y3*z3 - x1^2*x2*y3^2*z2 - 2*x1^2*x2*y3*z2*z3 + x1^2*x3*y2^2*z3 + 2*x1^2*x3*y2*y3*z2 + 2*x1^2*x3*y2*z2*z3 - x1^2*y2^2*y3*z3 + x1^2*y2^2*z3^2 + x1^2*y2*y3^2*z2 + 2*x1^2*y2*z2*z3^2 - x1^2*y3^2*z2^2 - 2*x1^2*y3*z2^2*z3 + 2*x1*x2^2*y1*y3*z3 + x1*x2^2*y3^2*z1 + 2*x1*x2^2*y3*z1*z3 - 2*x1*x2*y1*y3^2*z2 + 2*x1*x2*y2*y3^2*z1 - 2*x1*x3^2*y1*y2*z2 - x1*x3^2*y2^2*z1 - 2*x1*x3^2*y2*z1*z2 + 2*x1*x3*y1*y2^2*z3 - 2*x1*x3*y2^2*y3*z1 + 2*x1*y1*y2^2*z3^2 + 2*x1*y1*y2*z2*z3^2 - 2*x1*y1*y3^2*z2^2 - 2*x1*y1*y3*z2^2*z3 - 2*x1*y2^2*y3*z1*z3 + x1*y2^2*z1*z3^2 + 2*x1*y2*y3^2*z1*z2 + 2*x1*y2*z1*z2*z3^2 - x1*y3^2*z1*z2^2 - 2*x1*y3*z1*z2^2*z3 - x2^2*x3*y1^2*z3 - 2*x2^2*x3*y1*y3*z1 - 2*x2^2*x3*y1*z1*z3 + x2^2*y1^2*y3*z3 - x2^2*y1^2*z3^2 - x2^2*y1*y3^2*z1 - 2*x2^2*y1*z1*z3^2 + x2^2*y3^2*z1^2 + 2*x2^2*y3*z1^2*z3 + x2*x3^2*y1^2*z2 + 2*x2*x3^2*y1*y2*z1 + 2*x2*x3^2*y1*z1*z2 - 2*x2*x3*y1^2*y2*z3 + 2*x2*x3*y1^2*y3*z2 - 2*x2*y1^2*y2*z3^2 + 2*x2*y1^2*y3*z2*z3 - x2*y1^2*z2*z3^2 - 2*x2*y1*y2*z1*z3^2 - 2*x2*y1*y3^2*z1*z2 - 2*x2*y1*z1*z2*z3^2 + 2*x2*y2*y3^2*z1^2 + 2*x2*y2*y3*z1^2*z3 + x2*y3^2*z1^2*z2 + 2*x2*y3*z1^2*z2*z3 - x3^2*y1^2*y2*z2 + x3^2*y1^2*z2^2 + x3^2*y1*y2^2*z1 + 2*x3^2*y1*z1*z2^2 - x3^2*y2^2*z1^2 - 2*x3^2*y2*z1^2*z2 - 2*x3*y1^2*y2*z2*z3 + 2*x3*y1^2*y3*z2^2 + x3*y1^2*z2^2*z3 + 2*x3*y1*y2^2*z1*z3 + 2*x3*y1*y3*z1*z2^2 + 2*x3*y1*z1*z2^2*z3 - 2*x3*y2^2*y3*z1^2 - x3*y2^2*z1^2*z3 - 2*x3*y2*y3*z1^2*z2 - 2*x3*y2*z1^2*z2*z3 - y1^2*y2*z2*z3^2 + y1^2*y3*z2^2*z3 + y1*y2^2*z1*z3^2 - y1*y3^2*z1*z2^2 - y2^2*y3*z1^2*z3 + y2*y3^2*z1^2*z2)*a^2*c^2 + (x1^2*x2*y3*z2*z3 + x1^2*x2*z2*z3^2 - x1^2*x3*y2*z2*z3 - x1^2*x3*z2^2*z3 - x1*x2^2*y3*z1*z3 - x1*x2^2*z1*z3^2 + 2*x1*x2*y1*y3*z2*z3 + 2*x1*x2*y1*z2*z3^2 - 2*x1*x2*y2*y3*z1*z3 - 2*x1*x2*y2*z1*z3^2 + x1*x3^2*y2*z1*z2 + x1*x3^2*z1*z2^2 - 2*x1*x3*y1*y2*z2*z3 - 2*x1*x3*y1*z2^2*z3 + 2*x1*x3*y2*y3*z1*z2 + 2*x1*x3*y3*z1*z2^2 - x1*y2^2*y3*z1*z3 - x1*y2^2*z1*z3^2 + x1*y2*y3^2*z1*z2 - x1*y2*z1*z2*z3^2 + x1*y3^2*z1*z2^2 + x1*y3*z1*z2^2*z3 + x2^2*x3*y1*z1*z3 + x2^2*x3*z1^2*z3 - x2*x3^2*y1*z1*z2 - x2*x3^2*z1^2*z2 + 2*x2*x3*y1*y2*z1*z3 - 2*x2*x3*y1*y3*z1*z2 + 2*x2*x3*y2*z1^2*z3 - 2*x2*x3*y3*z1^2*z2 + x2*y1^2*y3*z2*z3 + x2*y1^2*z2*z3^2 - x2*y1*y3^2*z1*z2 + x2*y1*z1*z2*z3^2 - x2*y3^2*z1^2*z2 - x2*y3*z1^2*z2*z3 - x3*y1^2*y2*z2*z3 - x3*y1^2*z2^2*z3 + x3*y1*y2^2*z1*z3 - x3*y1*z1*z2^2*z3 + x3*y2^2*z1^2*z3 + x3*y2*z1^2*z2*z3)*b^4 + (2*x1^2*x2*y2*y3*z3 + 2*x1^2*x2*y2*z3^2 + x1^2*x2*y3^2*z2 + 2*x1^2*x2*y3*z2*z3 + x1^2*x2*z2*z3^2 - x1^2*x3*y2^2*z3 - 2*x1^2*x3*y2*y3*z2 - 2*x1^2*x3*y2*z2*z3 - 2*x1^2*x3*y3*z2^2 - x1^2*x3*z2^2*z3 + x1^2*y2^2*y3*z3 + x1^2*y2^2*z3^2 - x1^2*y2*y3^2*z2 + x1^2*y2*z2*z3^2 - x1^2*y3^2*z2^2 - x1^2*y3*z2^2*z3 - 2*x1*x2^2*y1*y3*z3 - 2*x1*x2^2*y1*z3^2 - x1*x2^2*y3^2*z1 - 2*x1*x2^2*y3*z1*z3 - x1*x2^2*z1*z3^2 + 2*x1*x2*y1*y3^2*z2 - 2*x1*x2*y1*z2*z3^2 - 2*x1*x2*y2*y3^2*z1 + 2*x1*x2*y2*z1*z3^2 + 2*x1*x3^2*y1*y2*z2 + 2*x1*x3^2*y1*z2^2 + x1*x3^2*y2^2*z1 + 2*x1*x3^2*y2*z1*z2 + x1*x3^2*z1*z2^2 - 2*x1*x3*y1*y2^2*z3 + 2*x1*x3*y1*z2^2*z3 + 2*x1*x3*y2^2*y3*z1 - 2*x1*x3*y3*z1*z2^2 + 2*x1*y2^2*y3*z1*z3 + 2*x1*y2^2*z1*z3^2 - 2*x1*y2*y3^2*z1*z2 + 2*x1*y2*z1*z2*z3^2 - 2*x1*y3^2*z1*z2^2 - 2*x1*y3*z1*z2^2*z3 + x2^2*x3*y1^2*z3 + 2*x2^2*x3*y1*y3*z1 + 2*x2^2*x3*y1*z1*z3 + 2*x2^2*x3*y3*z1^2 + x2^2*x3*z1^2*z3 - x2^2*y1^2*y3*z3 - x2^2*y1^2*z3^2 + x2^2*y1*y3^2*z1 - x2^2*y1*z1*z3^2 + x2^2*y3^2*z1^2 + x2^2*y3*z1^2*z3 - x2*x3^2*y1^2*z2 - 2*x2*x3^2*y1*y2*z1 - 2*x2*x3^2*y1*z1*z2 - 2*x2*x3^2*y2*z1^2 - x2*x3^2*z1^2*z2 + 2*x2*x3*y1^2*y2*z3 - 2*x2*x3*y1^2*y3*z2 - 2*x2*x3*y2*z1^2*z3 + 2*x2*x3*y3*z1^2*z2 - 2*x2*y1^2*y3*z2*z3 - 2*x2*y1^2*z2*z3^2 + 2*x2*y1*y3^2*z1*z2 - 2*x2*y1*z1*z2*z3^2 + 2*x2*y3^2*z1^2*z2 + 2*x2*y3*z1^2*z2*z3 + x3^2*y1^2*y2*z2 + x3^2*y1^2*z2^2 - x3^2*y1*y2^2*z1 + x3^2*y1*z1*z2^2 - x3^2*y2^2*z1^2 - x3^2*y2*z1^2*z2 + 2*x3*y1^2*y2*z2*z3 + 2*x3*y1^2*z2^2*z3 - 2*x3*y1*y2^2*z1*z3 + 2*x3*y1*z1*z2^2*z3 - 2*x3*y2^2*z1^2*z3 - 2*x3*y2*z1^2*z2*z3)*b^2*c^2 + (2*x1^2*x2*y2*y3^2 + 2*x1^2*x2*y2*y3*z3 + x1^2*x2*y3^2*z2 + x1^2*x2*y3*z2*z3 - 2*x1^2*x3*y2^2*y3 - x1^2*x3*y2^2*z3 - 2*x1^2*x3*y2*y3*z2 - x1^2*x3*y2*z2*z3 - x1^2*y2^2*y3*z3 - x1^2*y2^2*z3^2 + x1^2*y2*y3^2*z2 - x1^2*y2*z2*z3^2 + x1^2*y3^2*z2^2 + x1^2*y3*z2^2*z3 - 2*x1*x2^2*y1*y3^2 - 2*x1*x2^2*y1*y3*z3 - x1*x2^2*y3^2*z1 - x1*x2^2*y3*z1*z3 - 2*x1*x2*y1*y3^2*z2 - 2*x1*x2*y1*y3*z2*z3 + 2*x1*x2*y2*y3^2*z1 + 2*x1*x2*y2*y3*z1*z3 + 2*x1*x3^2*y1*y2^2 + 2*x1*x3^2*y1*y2*z2 + x1*x3^2*y2^2*z1 + x1*x3^2*y2*z1*z2 + 2*x1*x3*y1*y2^2*z3 + 2*x1*x3*y1*y2*z2*z3 - 2*x1*x3*y2^2*y3*z1 - 2*x1*x3*y2*y3*z1*z2 - x1*y2^2*y3*z1*z3 - x1*y2^2*z1*z3^2 + x1*y2*y3^2*z1*z2 - x1*y2*z1*z2*z3^2 + x1*y3^2*z1*z2^2 + x1*y3*z1*z2^2*z3 + 2*x2^2*x3*y1^2*y3 + x2^2*x3*y1^2*z3 + 2*x2^2*x3*y1*y3*z1 + x2^2*x3*y1*z1*z3 + x2^2*y1^2*y3*z3 + x2^2*y1^2*z3^2 - x2^2*y1*y3^2*z1 + x2^2*y1*z1*z3^2 - x2^2*y3^2*z1^2 - x2^2*y3*z1^2*z3 - 2*x2*x3^2*y1^2*y2 - x2*x3^2*y1^2*z2 - 2*x2*x3^2*y1*y2*z1 - x2*x3^2*y1*z1*z2 - 2*x2*x3*y1^2*y2*z3 + 2*x2*x3*y1^2*y3*z2 - 2*x2*x3*y1*y2*z1*z3 + 2*x2*x3*y1*y3*z1*z2 + x2*y1^2*y3*z2*z3 + x2*y1^2*z2*z3^2 - x2*y1*y3^2*z1*z2 + x2*y1*z1*z2*z3^2 - x2*y3^2*z1^2*z2 - x2*y3*z1^2*z2*z3 - x3^2*y1^2*y2*z2 - x3^2*y1^2*z2^2 + x3^2*y1*y2^2*z1 - x3^2*y1*z1*z2^2 + x3^2*y2^2*z1^2 + x3^2*y2*z1^2*z2 - x3*y1^2*y2*z2*z3 - x3*y1^2*z2^2*z3 + x3*y1*y2^2*z1*z3 - x3*y1*z1*z2^2*z3 + x3*y2^2*z1^2*z3 + x3*y2*z1^2*z2*z3)*c^4;
O = [Ox; Oy; Oz];
end
Je sais, c'est "un peu" indigeste. Ça n'a pas été calculé à la main.
Je l'ai obtenu en calculant l'intersection de deux médiatrices.
Par contre, je ne m'y connais pas trop en polygones et polyèdres.
Cordialement,
Rescassol
PS: Grabels n'esr pas très loin de chez moi, 30610 Sauve.
Dernière modification par Rescassol (30-03-2024 00:41:24)
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#12 31-03-2024 09:43:58
- Bernard-maths
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Re : cercles orthogonaux
Bonjour !
Ouaouh, y'a du calcul, je verrai à ma façon ...
Google m'envoie en plein champ, dans quel terrier vis-tu ?
Y'a une expo de 300 (?) bateaux à Sète ... on emmènera peut-être les gamins, s'il ne pleut pas (trop).
Je me planque, il pleut des oeufs !
Bernard-maths
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