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Ernst

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décimales

Amis du numérique, bonjour.

Amateur, aimant à la fois les chiffres, les jeux mathématico-scientifiques et les articles / émissions / vidéos sur ce thème (cela me donne l’impression de comprendre quelque chose, c’est d’ailleurs fait pour), je suis tombé sur un papier du temps des premières calculatrices programmables, quand obtenir quelques décimales de Pi avec la série de Gregory-Leibniz faisait le bonheur des passionnés.

Attendre plusieurs heures pour obtenir une demi-douzaine de décimales, je me suis dit que même avec un matériel antédiluvien et une série à la convergence d’escargot, il devait y avoir moyen de faire mieux.

Étape 1, affichage de la somme 4 - 4/3 + 4/5 – 4/7 + …, effectivement faut quasiment un millier de termes pour obtenir 6 décimales exactes, et encore, en moyennant les deux dernières valeurs.

Étape 2, calcul d’une nouvelle série en prenant le milieu de deux segments consécutifs pour en faire la moyenne, nette amélioration. Et en refaisant la même chose avec cette nouvelle série, c’est 6 décimales exactes en un peu moins de cent vingt termes.

Ceci dit, le problème quand on parle de nombre de décimales exactes, c’est qu’on a tendance à s’arrêter au premier écart. Sauf que voilà, avec la série d’origine et pour certaines quantités de termes, il y en a quand même tout un tas d'exactes après ces écarts :

Rien qu’avec les trois premières lignes, en retenant la décimale quand deux chiffres sont identiques, on en obtient déjà 18 au lieu de 4. L’informatique actuelle qui permet de mouliner du chiffre sans effort, c’est quand même magique, même si je suis incapable de comprendre le pourquoi du comment.

(il existe bien sûr des formules plus simples et d’une convergence vraiment hallucinante, là je m’amuse, rien d’autre, d’ailleurs j’hésitais entre récréation et café, c’est dire)

Roro

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Re : décimales

Intéressant... mais je ne vois pas du tout pourquoi ???
Si quelqu'un a une idée !

Roro.

Dernière modification par Roro (02-02-2024 11:39:43)

Ernst

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Re : décimales

Je me suis demandé si ça le faisait pour d’autres séries alternées, semblerait bien que oui, j’ai essayé ln(2) = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – … eh bien même chose, les doublons des trois dernières lignes donnent par exemple 46 décimales exactes.

Pas sûr que cela ait une quelconque utilité, mais c’est curieux quand même.

Ernst

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Re : décimales

Amis de l’inutile, bonjour

C’est amusant, une fois qu’on s'intéresse à un point mathématique particulier, on y revient sans cesse. J’avais écrit :

Étape 1, affichage de la somme 4 - 4/3 + 4/5 – 4/7 + …, effectivement faut quasiment un millier de termes pour obtenir 6 décimales exactes, et encore, en moyennant les deux dernières valeurs.

Étape 2, calcul d’une nouvelle série en prenant le milieu de deux segments consécutifs pour en faire la moyenne, nette amélioration. Et en refaisant la même chose avec cette nouvelle série, c’est 6 décimales exactes en un peu moins de cent vingt termes.

Au départ la méthode n’est pas très compliquée, elle consiste à considérer chaque couple de termes comme les extrémités d’un segment, puis considérer les milieux de chaque segment comme les extrémités d’un nouveau segment, puis prendre le milieu de ce nouveau segment comme le terme d’une nouvelle série qu’on appellera réduite.

En bleu la série originelle, en vert les milieux de chaque paire de points et le segment résultant, en rouge la nouvelle série.

Quand on ré-applique cette méthode sur la nouvelle série, puis encore sur la suivante, puis… etc., c'est vraiment efficace puisqu'on obtient alors sept décimales avec le seizième terme, et la centaine de décimales exactes autour des deux cents termes.

J’avais aussi essayé un accélérateur de convergence connu, le Delta-2 d’Aitken. Bien qu'il faille faire les calculs avec plus de décimales que souhaitées à cause de sa sensibilité aux erreurs d’arrondi et aussi à cause de dénominateurs qui tendent vers zéro, si on l’applique de façon récursive aux séries qu’il produit, c’est impressionnant, il offre par exemple quatorze décimales exactes avec seulement seize termes.

Malheureusement, sa capacité à pondre de la décimale se dégrade au fur et à mesure de la progression :

termes   Delta-2     milieux
--------   --------     --------
        8            6              3
      16          14              7
      32          26            14
      64          49            30
    128          74            61
    256        112          122
    512        157          243
  1024        220          488
  2048        290          978
  4096        368        1955
  8192        475        3909

Ce qui me plaît avec la méthode répétée des milieux, c'est que le gain est quasiment linéaire, on double le nombre de termes, on double le nombre de décimales exactes, yé !

jelobreuil

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Re : décimales

Bonsoir Ernst,
Cette méthode itérative à base de milieux me rappelle un résultat analogue que j'ai établi il y a maintenant 7 ans, sur des suites "fermées en boucle" de nombres réels quelconques : on peut effectivement régulariser ces suites grâce à une transformation linéaire, et la vitesse de régularisation est maximale quand on considère les milieux des intervalles entre deux nombres consécutifs de la suite.
Je te contacte par e-mail. Tu n'as qu'à me répondre si tu veux que je t'envoie ce travail d'une dizaine de pages.
Bien amicalement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (16-03-2024 21:11:12)

Ernst

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Re : décimales

Si on considére que dans chaque triplet le troisième terme est un peu plus proche de l’objectif que le premier, on peut améliorer un poil en privilégiant légèrement le dernier terme. En pratique je définis trois coefficients en amont (ajustés par tâtonnement) et dans la boucle je remplace (u1+2.u2+u3)/4 par a.u1+b.u2+c.u3 ce qui procure encore une amélioration de l'ordre de 20 à 25 %. À noter que le temps d’exécution s’améliore aussi sans doute grâce à l'absence de division

termes  nouveau  (ancien)
      8          4         (3)
    16          9         (7)
    32        18        (14)
    64        39        (30)
  128        75        (61)
  256      153      (122)
  512      305      (243)
1024      613      (488)
2048    1225      (978)
4096    2449    (1955)
8192    4897    (3909)

Après ces ajustements, Maple aboutit aux 1000 décimales exactes en moins de 8 s, pas si mal pour une suite souvent dénigrée pour sa lenteur d’escargot.