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mal

Invité

Preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plaît. Je ne sais pas où commencer.

Preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein). Le but de cet exercice est de
démontrer le théorème de Cantor et Bernstein. On se donne donc deux ensembles E et F et
deux applications injectives f:E - > F et g:F - >E.
1. On note E' = f(E) et F' = g(F). L'ensemble F' est donc un sous-ensemble de E.
Expliquer pourquoi g, (resp. f) réalise une bijection de F -> F', (resp f est une bijection de E dans
E'). On note g-1 la réciproque de F' -> F.

2. On va construire une application Q bijective de E dans F'. Pour cela considérons les
ensembles suivants :
Eo=E \F', Er = (go f)(Eo), et par induction, pour n € N, En+1 = (g of)(En). On a donc pour n >1, En = (go f)"(Eo).
gol

(a) Montrer que Eo et Ei; sont disjoints pour tout i>= 1
(b) Montrer que pour tout j >= 0 et pour tout i > =1 les ensembles Ej et Ej+i sont disjoints.
On pourra utiliser pour cela l'injectivité des applications (g o f)^j et la question 2.(a)
(c) Vérifier que l'image de U(n>=0)En par gof est (Un+1)En et que la restriction de gof à U(n+1)En est injective.
(d) On note A l'ensemble (Un>0)En. On définit Q: E -> F' par Q(x) = (go f)(x) si x € A et Q(x) = x sinon. Remarquez que si x
n'appartuent pas a A alors x  appartient pas Eo et donc x € F'. On en déduit que pour tout x, Q(x) est un élément de F'. L'application est surjective par
construction.
i. Vérifier que  Qest surjective de E -> F'. (Pour un élément y de F', considérez le cas où y appartient à l'image de A par gof et le cas où y n'est pas dans
(g o f)(A). Dans ce dernier cas, y appartient pas a A et donc Q(y) = y. Conclure.)
ii. Montrer que Q est injective de E -> F' et donc bijective.
ii. Que peut-on dire de l'application g-1 o Q? A-t-on démontré le théorème de
Cantor Bernstein? Justifier votre réponse.
3. Un exemple. On considère E =N,F= (n € N:n>2) et
f: E -> F              g: F -> E
n -> n+4             n -> n

Déterminer les ensembles En, A= U(n>=0) E,, F' et l'application Q

Roro

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Re : Preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein

Bonsoir,

Je ne sais pas où commencer.

Tu commences par nous dire ce que tu as fait et ce qui t'empêche d'aller plus loin, et à partir de là on discute.

Roro.

lemdu6607

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Re : Preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein

Bonjour, j'ai le même problème je suis coincé au petit 1. Je sais qu'il faut que je montre que g est surjective mais je sais pas comment .Faut-il que je crée une nouvelle fonction? merci d'avance pour votre réponse.

Roro

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Re : Preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein

Bonsoir,

Pour répondre à la première question, tu as presque raison : il faut montrer que $g$ est surjective.

Je dis "presque" car ce n'est pas vraiment $g$ qui est surjective, c'est plutôt $g:F\rightarrow g(F)$. Vois-tu la nuance ?

En fait, lorsqu'on parle d'injectivité ou de surjectivité pour une application, il est primordial de dire explicitement quels sont les ensembles de départ et d'arrivée de la fonction.

Donc, tu dois en effet montrer que $g:F\rightarrow g(F)$ est surjective.

Quelle est la définition de surjective pour toi ? Tu verras que tu en déduiras directement la réponse...

Roro.

Dernière modification par Roro (09-03-2024 17:59:53)

lemdu6607

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Re : Preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein

AH je crois comprendre,
est ce que je peux dire que l'application g va de F dans E or F' est inclus dans E  donc on peut dire que  g va aussi de F dans F'.

Sachant que F'=g(F)  donc   pour tout image de g égal  à g(x)  il y a forcément un antécédant x  donc g est surj.

Roro

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Re : Preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein

En fait, les applications $g:F \rightarrow E$ et $g:F \rightarrow F'$ ne sont pas les mêmes. C'est un abus de les notée juste $g$. La seconde est surjective car on a justement pris soin de choisir comme espace d'arrivée $F'$ qui correspond à l'image de $F$...

Roro.

Dernière modification par Roro (09-03-2024 18:27:53)

lemdu6607

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Re : Preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein

Mais en montrant que la seconde est surjective est ce que l'on montre que la première l'est aussi ?

Roro

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Re : Preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein

Bonsoir,

Mais en montrant que la seconde est surjective est ce que l'on montre que la première l'est aussi ?

Non, puisque justement si $E\neq F'$ alors il y a des points dans $E$ qui ne sont pas des images de la première application... C'est essentiellement la définition d'application surjective.

Peut être qu'il faut reprendre les bases : https://www.bibmath.net/dico/index.php? … ction.html

Roro.

FAUGERES

Invité

Re : Preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein

J'en suis arrivé à la question 2°b et j'ai pensé à  répondre en  résonnant par récurrence est ce que c'est une bonne méthode?

Roro

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Re : Preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein

Bonsoir,

J'en suis arrivé à la question 2°b et j'ai pensé à  répondre en  résonnant par récurrence est ce que c'est une bonne méthode?

Oui, ça me semble être une bonne idée.

Roro.