Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

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Convexité d'une fonction de deux variables

Bonjour,

Je considère [tex]f(x,y)=x^2+2x+2xy+y^2[/tex] avec [tex]x,y\in R^2[/tex]. Je cherche à savoir si [tex]f[/tex] est convexe sur [tex]R^2[/tex].
Pour cela, je détermine la matrice hessienne, et sauf erreur, on obtient un déterminant nul.
Dans ce cas, comment étudier la convexité de cette fonction ?

Merci

Roro

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Re : Convexité d'une fonction de deux variables

Bonjour,

Dans ce cas, il faut peut être revenir à la définition de convexe ?

Ce n'est peut être pas ce qui est attendu, mais pourquoi ne fais-tu pas un changement de variable $(x,y)\longmapsto (x,x+y)$ ?

Tu devrais arriver à une fonction qui ressemble à $g(X,Y)=Y^2+2X$ et qui est sans doute plus facile à manipuler...

Roro.

Vincent62

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Re : Convexité d'une fonction de deux variables

Merci Roro,
J'essaye :)

Eust_4che

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Re : Convexité d'une fonction de deux variables

Bonjour à tous les deux,

Pour compléter la réponse de Roro : ne pas oublier que si $f, g$ sont deux fonctions convexes et $a \geq 0$ un réel, $\alpha . f + g$ est une fonction convexe.

E.

Vincent62

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Re : Convexité d'une fonction de deux variables

J'obtiens que [tex]f(x,x+y)=(2x+y)^2+2x=g(x,y)[/tex].

Il reste à étudier la convexité de g en revenant à la définition.
J'essaye et je reviens :)

Vincent62

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Re : Convexité d'une fonction de deux variables

ah merci Eust_4che. Donc là le problème est réglé : la fonction g est convexe, donc f est convexe.

Dernière modification par Vincent62 (08-03-2024 15:06:44)