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Vincent62

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Théorème de stabilité linéaire preuve

Bonsoir,

Je m'intéresse au système suivant : [tex]x'(t)=f(t,x(t))[/tex] et [tex]x(t=0)=x_0\in \mathbb{R}^d[/tex] et où[tex] f: \mathbb{R}\times \mathbb{R}^d\to \mathbb{R}^d[/tex].
On définit [tex]A=Df(x)\in L(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^d)[/tex] avec [tex]A_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}[/tex].
On suppose que [tex]f\in C^2(\mathbb{R}\times \mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d)[/tex] et que [tex]f(t,x_s)=0[/tex] pour tout [tex]t\in \mathbb{R}[/tex].
On suppose que toutes les valeurs propres de la matrice [tex]A^s(t):=\frac{1}{2}[A(t)+A^{t}(t)]=D_xf(t,x_s)[/tex] sont toutes strictement négatives, ie qu'il existe [tex]u[/tex] strictement positif tel que [tex]u^t.A(t).y\le -u|y|^2[/tex] pour tout [tex]t\ge 0[/tex] et tout [tex]y\in \mathbb{R}^d[/tex].
On suppose aussi que [tex]K_R:=\frac{1}{2} \sup_{t\ge 0} \sup_{|x-x_s|\le R} |D^2_xf(t,x)|[/tex] est fini.
Alors les solutions du système avec [tex]|x_0-x_s|[/tex] assez petit, sont globales et vérifient [tex]|x(t)|\to 0[/tex] lorsque [tex]t\to +\infty[/tex].

Pour la démonstration, on commence par le cas linéaire.
On écrit alors que [tex]\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|y(t)|^2=y(t)^t.A(t).y(t)=...[/tex]
Je ne vois pas du tout d'où ça sort. Avez-vous une idée ?

Dernière modification par Vincent62 (18-02-2024 21:46:47)

Michel Coste

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Re : Théorème de stabilité linéaire preuve

Bonjour,
Sais-tu dériver  $\Vert y(t)\vert^2=y(t)\cdot y(t)$ (où $\cdot $ dénote le produit scalaire, bien sûr) ?
Il y a un bug dans ta définition de $A^s$.

Dernière modification par Michel Coste (18-02-2024 21:02:23)

Vincent62

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Re : Théorème de stabilité linéaire preuve

Bonjour Michel,

Oui, sauf erreur, [tex](y(t).y(t))'=y'(t).y(t)+y(t).y'(t)=2y'(t).y(t)[/tex] donc [tex]\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|y(t)\|^2=y'(t).y(t)[/tex].

J'essaye de voir le lien avec l'expression donnée...

Vincent62

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Re : Théorème de stabilité linéaire preuve

J'oublie que l'on travaille dans le cas linéaire, et donc [tex]y'(t)=A(t).y(t)[/tex].
Ainsi, [tex]\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|y(t)\|^2=y(t).y'(t)=y(t).A(t).y(t)...[/tex]

Je ne vois pas d'où peut venir la transposée de [tex]y(t)[/tex] comme annoncée dans le théorème.

Dernière modification par Vincent62 (18-02-2024 23:17:23)

Michel Coste

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Re : Théorème de stabilité linéaire preuve

Comment s'écrit matriciellement le produit scalaire de deux vecteurs colonnes ?

Vincent62

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Re : Théorème de stabilité linéaire preuve

Bonjour Michel, merci, pour ton aide, j'ai compris :)