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Ernst

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonjour à tous,

Comme ça parle de parabole je vais donner ici mon avis sur la chose : tout cela me paraît d’une complexité ahurissante et complètement dissuasive, d’autant qu’un bête tracé de fonction y=f(x) ne permet même pas une bascule.

Pour moi la seule propriété intéressante de la parabole, c’est la réflexion de la partie concave, propriété qui permet le faisceau des phares ou la concentration de signaux très lointains.

Par ailleurs, en astrophysique la trajectoire d’un petit objet autour d’un astre suivra soit une ellipse (révolution) soit une hyperbole (évasion) mais point de parabole. Normal : quand on varie l’angle d’un plan qui coupe un cône, on obtient toute une famille d’ellipses, une seule parabole, puis toute une famille d’hyperboles. Je me demande même si on ne peux pas considérer la parabole comme une asymptote aux deux familles qui l'entourent, c'est dire...

Et pour dire, de la façon dont on m’a présenté les choses, je n’ai jamais compris comment on passait du carré d'une variable – la parabole - à son inverse – l’hyperbole – alors que dans mon esprit la déformation qui amène le cercle à l’ellipse, puis l’ellipse à la parabole, puis la parabole à l’hyperbole est un phénomène « fluide » et continu. Je me demande si dans l’esprit des pédagogues il n’y a pas eu au départ un souci de simplification dans les explications, sauf qu’à s’attarder sur des courbes très particulières dans un repère cartésien et ses problématiques on ne finit pas par engendrer d’ahurissantes complications.

Voilà, simple avis d'amateur bien loin de tout cela, mais qui donne un éclairage sur ce que peuvent ressentir les gens de l'autre côté de la barrière.

Michel Coste

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Sans avoir besoin de charger un fichier :

https://www.geogebra.org/m/zag2wvae

Ernst

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Sans avoir besoin de charger un fichier :

https://www.geogebra.org/m/zag2wvae

Absolument sublime.

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Oui pour "Absolument sublime" !!
Merci Michel ! Promis : je montrerai cette page à tous mes élèves, de façon à leur faire comprendre qu'il n'y a pas que le sempiternel repère orthonormé !

PS : J'ai vu avec amusement apparaître GaBuZoMeu, alors que je l'utilise (sans les majuscules) dans ma première réponse à Alberth.
A propos, Michel, ton « Ce que j'écrivais » m'a fait penser qu'Alberth, c'est toi. Me trompé-je ?  :-)

PPSS : Plus généralement, est-ce que l'allure d'une courbe $y = x^n$ est conservée quel que soit le repère ?

PPPSSS : Bonjour Ernst,
La "complexité ahurissante" mise à part :-), ton intervention est extrêmement intéressante car elle bouscule complètement les fondements mêmes de l'enseignement des fonctions $f(x) = x^n$ et des courbes correspondantes !
J'ai beau être fondamentalement rebelle à l'enseignement des maths tel qu'il est pratiqué, et auquel je me heurte quotidiennement via mes élèves, tu vas là beaucoup plus loin que moi !
Laisse-moi s'il te plaît un peu de temps de réflexion pour y répondre.

Dernière modification par Borassus (19-02-2024 13:28:09)

Michel Coste

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

L'appliquette a été un peu enrichie pour illustrer le fait que la parabole est l'ensemble des points équidistants du foyer et de la directrice.

Ernst

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonjour Ernst,
La "complexité ahurissante" mise à part :-), ton intervention est extrêmement intéressante
[...]
Laisse-moi s'il te plaît un peu de temps de réflexion pour y répondre.

Hello Borassus,

Avant tout, merci de ta bienveillance. Il est toujours délicat de donner un avis tranché sans pouvoir, dans un premier temps, le nuancer comme on aimerait, donc là je ne savais pas si j’allais être compris dans mes questionnements ou être considéré comme un ignare un peu provocateur.

Pour le temps, pas de problème, on est là pour ça.

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Voilà, je reviens.

Tout d'abord, rassure-toi, j'ai interprété ta "complexité ahurissante" comme étant une certaine expression qu'on pourrait poliment paraphraser en « Vous passez votre temps à avoir des mœurs contre-nature avec une certaine catégorie d'insectes ! ». C'est cela ?  :-)
Mais ces "mœurs contre nature" ont quand même permis de découvrir avec un sublime étonnement ce qu'explique Michel...

Pour en revenir au fond de ton intervention, le problème est que l'enseignement au secondaire ne transmet QUE l'aspect "fonction puissance" $f(x) = x^n$, avec, dans la très grande majorité des cas, $n$ entier — je ne vois jamais, par exemple, expliquer la double interprétation possible de $x^{\frac 3 2}$, cube de la racine carrée ou racine carrée du cube —, les coniques n'étant qu'effleurées en Terminale par quelques rares profs, et encore de façon très succincte et très vague. (Je suis toujours profondément étonné des infinies précautions de l'enseignement à cacher aux élèves "comment on fait les bébés". :-)

Donc, oui, on passe de la parabole à l'hyperbole en prenant $n = 2$ dans le premier cas, et $n = -1$ dans le second, la "transition" avec $n = 0$ n'ayant aucun intérêt. Après tout, il ne s'agit que de fonctions puissance !

Et on n'explique jamais ce qu'est une parabole (et en quoi les antennes paraboliques sont incontournables), ni ce qu'est une hyperbole ! (Je n'ai vu qu'une seule fois dans les notes de cours et polycopiés — intuitivement, je dois avoisiner les dix mille heures de cours, peut-être plus — la mention de foyer et de directrice, mais sans expliquer pourquoi, précisément, la courbe $y = x^2$ est une parabole.)
Présenter la parabole comme étant la "frontière" — je préfère "frontière" à "asymptote" — entre l'ellipse et l'hyperbole (en considérant le cercle comme une ellipse particulière) relève d'une totale incongruité !

Tout rebelle et tout "traceur d'autres voies" que je sois, j'ai moi-même été pédagogiquement formaté dans ce sens à travers tous les manuels scolaires sur lesquels j'ai travaillé. (J'achète quasi systématiquement les manuels de mes élèves, ce qui, à la longue, représente une petite fortune.)

Donc, oui, indéniablement, « dans l'esprit des pédagogues il y a eu un souci de simplification dans les explications » — je dirais plutôt "simplisme".
Chaque simplisme a un coût ; ce simplisme pédagogique a quant à lui a un coût incommensurable, car ne comprenant pas la logique de fond de ce qu'on leur enseigne, les élèves se sentent rapidement dépassés par les très nombreuses formules dont on les gave ad nauseam.

Je teste systématiquement mes compréhensions et mes voies nouvelles sur mes élèves, même les plus jeunes (voir la discussion portant sur une somme de cinq termes élevée à la puissance 4 expliquée à un élève de 5ème ; autre exemple, j'ai expliqué l'année dernière à une élève de 4ème le principe du calcul d'une aire ou d'un volume par le procédé d'intégration simple, double ou triple).

Je testerai donc cette idée de continuité entre le cercle devenant ellipse, l'ellipse devenant parabole, la parabole devenant hyperbole, en expliquant qu'en dehors des cas simples systématiquement enseignés, les équations peuvent paraître un peu compliquées. (Les élèves admettent parfaitement que le détail de notions puisse ne pas encore être à leur portée à partir du moment où ils en comprennent la logique générale.)

Merci donc, Ernst, de me faire évoluer dans mes approches pédagogiques sur ce point !

Bien cordialement,
B.

Michel Coste

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Il fut un temps où les coniques figuraient en bonne place dans l'enseignement de géométrie en fin de secondaire ...
Il y a d'autres sujets que l'on n'abordait pas alors, comme les probas. Et puis il y avait beaucoup d'heures de maths dans les filières aboutissant à Math-Elem ; ça concernait une assez faible proportion de la tranche d'âge.

Alberth

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Merci M.Borassus pour votre explication et merci à vous aussi M.Michel

PS: Je mets monsieur par respect pour vous les adultes

cordialement Alberth

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

De rien, Monsieur Alberth  :-)

Ernst

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

j'ai interprété ta "complexité ahurissante" comme étant une certaine expression qu'on pourrait poliment paraphraser en « Vous passez votre temps à avoir des mœurs contre-nature avec une certaine catégorie d'insectes ! ». C'est cela ?  :-)

Hé hé, rigolo, mais pas vraiment.

Faut plutôt voir cela comme une réflexion sur toutes ces contraintes qui amènent à des formules de plus en plus lourdes. Dans un repère cartésien orthonormé tout ça, on se retrouve avec des difficultés sans fin dès que les pentes s’approchent de la verticale, et avec l'impossibilité de tracer quantité de courbes qu’on voit partout, genre cercle, ellipse, cardioïde, tous les machins qui bouclent quoi. Le passage en paramétrique ou en polaire est d’une telle élégance que rétrospectivement, je ne comprends toujours pas pourquoi on en reste essentiellement au x et au y tellement cela complique les choses.

Cordialement aussi bien sûr.

Ernst

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Pour en revenir au fond de ton intervention, le problème est que l'enseignement au secondaire ne transmet QUE l'aspect "fonction puissance" $f(x) = x^n$, avec, dans la très grande majorité des cas, $n$ entier — je ne vois jamais, par exemple, expliquer la double interprétation possible de $x^{\frac 3 2}$, cube de la racine carrée ou racine carrée du cube —, les coniques n'étant qu'effleurées en Terminale par quelques rares profs, et encore de façon très succincte et très vague. (Je suis toujours profondément étonné des infinies précautions de l'enseignement à cacher aux élèves "comment on fait les bébés". :-)

Donc, oui, on passe de la parabole à l'hyperbole en prenant $n = 2$ dans le premier cas, et $n = -1$ dans le second, la "transition" avec $n = 0$ n'ayant aucun intérêt. Après tout, il ne s'agit que de fonctions puissance !

À propos de puissance, un beau jour j’ai voulu faire varier progressivement l’exposant de deux à trois pour voir ce que cela faisait, eh bien pof blocage, toute la branche négative disparaît ! En fait quand l’exposant n’est pas entier, j'imagine qu'il est considéré comme une racine, et donc inopérant sur les nombres négatifs. Bon, je m’en fiche, j’arrive à voir ce qui se passe soit en remplaçant x par sgn(x).abs(x), soit en remplaçant x par -x pour obtenir le symétrique de la courbe interdite, mais quand même quoi…

P-S. Autant j'arrive à comprendre ce « cube de la racine carrée ou racine carrée du cube » quand l'exposant est rationnel, autant je n'ai aucune image pour un exposant irrationnel ou transcendant. Dans mon esprit si l'exposant est un entier positif alors c'est un produit, sinon j'applique les logarithmes avec les limitations que cela induit, par exemple celles d'une variable négative ou d'un dénominateur quand l'exposant est négatif, mais sans plus m'en faire de représentation.

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Faut plutôt voir cela comme une réflexion sur toutes ces contraintes qui amènent à des formules de plus en plus lourdes. Dans un repère cartésien orthonormé tout ça, on se retrouve avec des difficultés sans fin dès que les pentes s’approchent de la verticale, et avec l'impossibilité de tracer quantité de courbes qu’on voit partout, genre cercle, ellipse, cardioïde, tous les machins qui bouclent quoi. Le passage en paramétrique ou en polaire est d’une telle élégance que rétrospectivement, je ne comprends toujours pas pourquoi on en reste essentiellement au x et au y tellement cela complique les choses.

Effectivement, bien que rigolote, mon interprétation était quelque peu erronée.  :-)

Le passage en paramétrique ou en polaire est d’une telle élégance que rétrospectivement, je ne comprends toujours pas pourquoi on en reste essentiellement au x et au y tellement cela complique les choses.

Ô combien !! Par exemple, l'équation d'un cercle de centre $O$ et de rayon 2 en coordonnées polaires est tout simplement $\rho = 2$. C'est autrement plus simple que $x^2 + y^2 = 4$ !

J'écrivais dans un de mes posts que mes élèves de Terminale sont incapables de convertir une droite $y = ax + b$ en représentation paramétrique parce qu'ils ne comprennent pas la relation entre le (mal nommé) coefficient directeur et le vecteur directeur. (Le seul moment où on voit les représentations paramétriques est la Terminale options maths, et encore limitées à la seule droite dans l'espace.)
Pas plus qu'ils ne sont capables d'écrire la représentation paramétrique d'un cercle de centre $C(x_c, y_c)$ et de rayon $R$.

Je donne parfois comme exercice de trigo à des élèves de Première et de Terminale une représentation paramétrique d'une courbe de Lissajous et leur demande de déterminer où elle commence, dans quel sens elle tourne, et de repérer des points caractéristiques pour les valeurs classiques du paramètre ($\frac {\pi}{6}$, $\frac {\pi}{4}$, $\frac {\pi}{3}$, etc.). C'est un excellent exercice pour bien assimiler les fonctions sinus et cosinus.

Tu touches à un point fondamental : cette véritable religion des coordonnées cartésiennes — je propose "cartésiennolâtrie" —, en réalité, oui, très limitative, et générant une "complexité ahurissante" dès qu'on sort un tant soit peu des gentils cas standard.

Mais casser, ne serait-ce qu'un peu, cette cartésiennolâtrie, et expliquer que la notion de fonction ne se traduit pas systématiquement en coordonnées cartésiennes, c'est s'attaquer aux fondements mêmes, et aux certitudes, de la quasi totalité de l'enseignement des maths du secondaire.

Vaste ambition...

Dernière modification par Borassus (20-02-2024 00:11:28)

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

En fait quand l’exposant n’est pas entier, j'imagine qu'il est considéré comme une racine, et donc inopérant sur les nombres négatifs.

Effectivement, GeoGebra ne cherche pas à convertir une puissance décimale en fraction irréductible. Par exemple, il ne voit pas que $0,6 = \frac 3 5$, puissance qui permet les nombres négatifs — cube de la racine 5ème ou racine 5ème du cube —, et ne prend en compte que les valeurs positives de la variable. Par contre lorsqu'on indique explicitement $x^{\frac 3 5}$, il trace bien les deux branches.

je n'ai aucune image pour un exposant irrationnel ou transcendant

Il s'agit alors à mon sens d'une structure $x^{g(x)}$, dont l'interprétation ne semble pas aisée à prévoir.

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Pour ce qui est de " l'ixolâtrie ", je fais apprendre la tableau des dérivées non pas par rapport à $x$, mais par rapport à "variable", ou "quelque chose", en expliquant que la variable (ou "quelque chose") peut être n'importe quoi, une variable "classique" comme $x$, ou une expression plus ou moins compliquée.

Cette façon de procéder permet ensuite aux élèves de dériver, avec une facilité qui les étonne, des fonctions délirantes à six ou sept niveaux d'imbrication, très loin des timides fonctions composées à deux niveaux données dans les exercices, dont le niveau interne est le plus souvent une simple fonction affine.

Michel Coste

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Mollo sur le "cartesian bashing" !
Une connaissance plus approfondie des mathématiques permet de mieux apprécier l'importance du pont entre géométrie et algèbre que fournit l'utilisation des coordonnées cartésiennes. Par exemple, une conique dans le plan ou une quadrique dans l'espace, c'est une équation du second degré. Et on peut ainsi utiliser pour l'étude de ces objets géométriques toute la puissance de la théorie des formes quadratiques.
Mais tout ce bavardage nous entraîne un peu loin du titre de cette section : "Entraide collège-lycée".

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Mais tout ce bavardage nous entraîne un peu loin du titre de cette section : "Entraide collège-lycée".

Bonjour Michel,

Tout à fait !  :-)

Mais je pense que cela doit quelque peu exciter la curiosité des lycéens qui d'aventure lisent nos échanges, et leur montrer qu'on peut aller plus loin que le bout du nez des formules simplistes dont on les gave.