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jelobreuil

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distances dans un triangle

Bonjour à tous,
Soit un triangle ABC et sa droite d'Euler. Les sommets A, B et C se projettent orthogonalement sur cette droite en A', B' et C', respectivement.
Montrer que la longueur du plus long des trois segments AA', BB' et CC' est égale à la somme des longueurs des deux autres.

Rescassol

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Re : distances dans un triangle

Bonjour,

En barycntriques:

% Jelobreuil - 17 Janvier 2024 -  Distances dans un triangle

clc, clear all, close all

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; % Notations de Conway
Sb=(c^2+a^2-b^2)/2;
Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

%-----------------------------------------------------------------------

Euler=[Sa*(b^2-c^2), Sb*(c^2-a^2), Sc*(a^2-b^2)];
DistA2=Factor(DistancePointDroiteBary2(A,Euler,a,b,c));
[NumA2 DenA2]=numden(DistA2)
% Ce qui donne:
% DenA2=- 4*(a^6+b^6+c^6) - 12*a^2*b^2*c^2
%       + 4*(a^4*b^2+a^4*c^2+a^2*b^4+a^2*c^4+b^4*c^2+b^2*c^4)
% DenA2 est invariant par permutation circulaire, donc les trois carrés
% de distances sont proportionnels aux numérateurs. On trouve
% NumA2=(b^2-c^2)^2*(-a^2+b^2+c^2)^2
% Les distances sont donc proportionnelles à:
% A2=(b^2-c^2)*(-a^2+b^2+c^2) et permutation circulaire, au signe près
% On pose:
A2=(b^2-c^2)*(-a^2+b^2+c^2);
B2=(c^2-a^2)*(-b^2+c^2+a^2);
C2=(a^2-b^2)*(-c^2+a^2+b^2);
% Alors:
Nul=Factor(A2+B2+C2) % Égal à 0
 

Je te laisse terminer la discussion sur les signes.
Codialement,
Rescassol

jelobreuil

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Re : distances dans un triangle

Merci, Rescassol !
Pour la discussion sur les signes, je te prie de m'excuser, mais je ne vois pas comment la mener ...
Mais ce n'est pas grave !
Y a-t-il d'autres droites attachées au triangle qui présentent une telle propriété, ou est-ce spécifique à la droite d'Euler ?
Bien cordialement, JLB

Rescassol

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Re : distances dans un triangle

Bonsoir,

Si trois nombres sont de somme nulle, ici $A2+B2+C2=0$, alors, en valeur absolue, un des trois est égal à la somme des deux autres.

Cordialement,
Rescassol

Edit: Pour ta généralisation, c'est une propriété des droites passant par le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$.

Dernière modification par Rescassol (17-01-2024 23:31:04)

jelobreuil

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Re : distances dans un triangle

Merci encore, Rescassol !
Bien cordialement, JLB