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Vincent62

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distance d'un point à un fermé

Bonjour,

Soit [tex](X,d)[/tex] un espace métrique et [tex]A\subset X[/tex].
J'essaie de montrer que si [tex]x\in \bar{A}[/tex], alors [tex]d(x,A)=\inf_{x\in A} {d(x,a)}=0[/tex] (l'autre sens ne me posant pas de problème).

Voici ce que je propose. Soit [tex]x\in \bar{A}[/tex]. Alors il existe une suite [tex](a_n)_n[/tex] d'éléments de A telle que [tex]\lim_{n\to +\infty} d(x,a_n)=0[/tex], et donc pour tout [tex]\epsilon[/tex] strictement positif, il existe un entier [tex]n_0[/tex] tel que pour tout [tex]n\ge n_0, d(x,a_n)< \epsilon[/tex].
Or, pour tout [tex]n[/tex], [tex]d(x,A)\le d(x,a_n)[/tex]. En particulier, [tex]d(x,A)\le d(x,a_{n_0})< \epsilon[/tex] pour tout [tex]\epsilon[/tex] strictement positif, et donc [tex]d(x,A)=0[/tex].

Qu'en pensez-vous ?

Merci pour vos remarques et conseils !

DeGeer

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Re : distance d'un point à un fermé

Bonjour
Ton raisonnement me semble correct.

Vincent62

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Re : distance d'un point à un fermé

Merci DeGeer :)

bridgslam

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Re : distance d'un point à un fermé

Bonsoir,

Vous avez aussi x -> d(x,A) continue et nulle sur A , donc nulle sur Adh(A).

A.

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

bridgslam

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Re : distance d'un point à un fermé

Bonjour ,

Avec cette continuité, l'image réciproque de {0} est un fermé qui contient A , donc contient Adh(A)..., si on préfère.

Bonne année 2024 à tous.

A.

Dernière modification par bridgslam (04-01-2024 10:02:31)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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Vincent62

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Re : distance d'un point à un fermé

Bonjour bridgslam, je ne l'avais pas vu sous cet angle.

Démontrons que la fonction [tex]f : X\to \mathbb{R}, x\to d(x,A)[/tex] est continue sur [tex]X[/tex].
Pour ce faire, montrer que la fonction [tex]f[/tex] est 1-lipschitzienne sur [tex]X[/tex]. Il s'agit donc de montrer que pour tous [tex]x,y\in X, |f(x)-f(y)|=|d(x,A)-d(y,A)|\le d(x,y)[/tex].
Soient donc [tex]x,y\in X[/tex]. Par l'inégalité triangulaire, on a, pour tout [tex]a\in A[/tex], [tex]d(x,a)\le d(x,y)+d(y,a)[/tex].
En particulier, [tex]\inf_{a\in A}d(x,a)\le d(x,y)+\inf_{a\in A}d(y,a)[/tex], soit encore [tex]d(x,A)\le d(x,y)+d(y,A)[/tex]. Ainsi, [tex]d(x,y)\ge d(x,A)-d(y,A)[/tex].
Puisque [tex]d(x,y)=d(y,x)[/tex] pour tous [tex]x,y\in X[/tex], alors [tex]d(x,y)\ge -(d(x,A)-d(y,A))[/tex] et donc [tex]|f(x)-f(y)|\le d(x,y)[/tex]. Ainsi, [tex]f[/tex] est continue sur [tex]X[/tex].

On en déduit que [tex]f^{-1}({0})=\{x\in X, f(x)=0\}=\{x\in X, d(x,A)=0\}[/tex] est un fermé de [tex]X[/tex] qui contient [tex]A[/tex].
Or, [tex]Adh(A)[/tex] est le plus petit fermé qui contient [tex]A[/tex], donc [tex]Adh(A)\subset \{x\in X, d(x,A)=0\}[/tex].
Ainsi, si [tex]x\in Adh(A)[/tex], alors [tex]d(x,A)=0[/tex].

bridgslam

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Re : distance d'un point à un fermé

Bonjour  ,

Sinon si la continuité toute simple vous suffit  vous pouvez remarquer que d(x,A) < r <=> x appartient à une réunion de boules ouvertes.

A.

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LionAuthentique2303

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Re : distance d'un point à un fermé

Bonjour,

Une coquille s'est glissée dans la définition de $d(x,A)$ donnée en énoncé : $\forall x \in X: d(x,A) = \inf_{a\in A}d(x,a)$. Sans incidence dans les réponses.

Passer par la définition séquentielle de l'adhérence de $A$ semble plus court que de passer par la continuité sur $X$ de l'application $x \rightarrow d(x,A)$. Les deux démos marchent très bien.

bridgslam

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Re : distance d'un point à un fermé

Bonjour,

C'est sûr, mais il est pas mal de voir des alternatives, avec éventuellement des lemmes qui pourront s'avérer utiles en maintes situations.

A.

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Vincent62

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Re : distance d'un point à un fermé

Merci à vous pour cet éventail de preuves !