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Borassus

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Pourquoi la sous-tangente de e^x par rapport à l'axe Ox est égale à 1?

Bonsoir (ou bonjour)

L'équation de la tangente à y = e^x en un point x₀ est
[tex]y = e^{x_0}(x -x_0) + e^{x_0}[/tex]
soit
[tex]y = e^{x_0}(x + 1 - x_0)[/tex]

Pour [tex]y = 0[/tex]
[tex]x + 1 - x_0 = 0 \Rightarrow x_0 - x = 1[/tex]

Donc la sous-tangente par rapport à l'axe des abscisses est constante et égale à [tex]1[/tex] !!

En généralisant à [tex]a^x[/tex], l'équation de la tangente est [tex]a^{x_0}\ln{a}(x - x_0) + a^{x_0}[/tex]
soit
[tex]a^{x_0}[ \ln{a}(x - x_0) + 1 ][/tex]

Pour [tex]y = 0[/tex], on a [tex]x_0 - x = \frac{1}{\ln{a}}[/tex]

Pourriez-vous m'expliquer pourquoi cette étonnante constante [tex]1[/tex]  (ou [tex]\frac{1}{\ln{a}}[/tex]) ?

Merci d'avance de vos réponses !

Dernière modification par Borassus (09-01-2024 20:52:34)

Roro

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Re : Pourquoi la sous-tangente de e^x par rapport à l'axe Ox est égale à 1?

Bonsoir,

C'est quoi une sous-tangente ?

Et qu'y aurait-il d'étonnant dans ce que tu écris ?

Roro.

Borassus

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Re : Pourquoi la sous-tangente de e^x par rapport à l'axe Ox est égale à 1?

Bonsoir Roro,

Une sous-tangente est la projection orthogonale de la tangente en un point à une courbe sur l'un des axes.

Les sous-tangentes ont souvent des propriétés intéressantes.

Par exemple, pour une parabole [tex]y = {ax}^2[/tex], le sommet est toujours au milieu de toute sous-tangente par rapport à l'axe des ordonnées et la sous-tangente par rapport à l'axe des abscisses est égale à la moitié de l'abscisse du point considéré.

La sous-normale est la projection orthogonale de la normale en un point sur l'un des deux deux axes.
La sous-normale de y = ax² par rapport à l'axe des ordonnées est constante et est égale à [tex]\frac{1}{2a}[/tex], c'est-à-dire au paramètre [tex]p[/tex] de la parabole.

Les équations de la tangente et de la normale permettent de constater ces particularités, mais n'expliquent pas la raison de celles-ci.

J'ai été étonné de trouver cette constance de la sous-tangente pour la fonction exponentielle de base e, à plus forte raison égale à 1.

Dernière modification par Borassus (09-01-2024 22:25:54)

Roro

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Re : Pourquoi la sous-tangente de e^x par rapport à l'axe Ox est égale à 1?

Re-bonsoir,

Merci Borassus pour ta réponse. Ceci étant dit, j'ai pas mal d'incompréhension en lisant quelques détails :

Une sous-tangente est la projection orthogonale de la tangente en un point à une courbe sur l'un des axes.

Euh ! La projection orthogonale d'une droite sur une autre droite ressemble, soit à la droite sur laquelle on projette, soit à un point (l'intersection des deux droites concernées et uniquement dans le cas où elles sont orthogonales !).

En gros, définie ainsi, la sous tangente va être le plus souvent, l'axe sur lequel tu as projeté !

Par exemple, pour une parabole [tex]y = {ax}^2[/tex], le sommet est toujours au milieu de toute sous-tangente

??? Je dois avoir mal compris la définition parce qu'une droite n'a pas de "milieu"...

En gros, pour une courbe représentant le graphe d'une fonction $f$, en un point $x_0$, la tangente a pour équation $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$. Mais qu'elle est la sous-tangente (son équation si c'est une droite) ?

Roro qui n'a pas trop compris...

Dernière modification par Roro (09-01-2024 22:17:50)

Borassus

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Re : Pourquoi la sous-tangente de e^x par rapport à l'axe Ox est égale à 1?

Re-bonsoir,

Par extension de langage, on entend par projection orthogonale de la tangente ou de la normale sur l'un des axes la projection orthogonale du segment joignant le point de tangence au point d'intersection de la tangente ou de la normale, et non pas la projection de la tangente ou de la normale en tant que droites.  :-)

Borassus

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Re : Pourquoi la sous-tangente de e^x par rapport à l'axe Ox est égale à 1?

J'avoue. Mon exposé a manqué de rigueur. (Mais je pensais que le sous-entendu était implicitement entendu. :-)

Fred

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Re : Pourquoi la sous-tangente de e^x par rapport à l'axe Ox est égale à 1?

Bonjour,

  Peut-être que cet exercice t'intéresserait...

F.

Borassus

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Re : Pourquoi la sous-tangente de e^x par rapport à l'axe Ox est égale à 1?

Merci Fred,

Je comprends mieux pour la fonction exponentielle de base [tex]e[/tex].

Mais cet exercice n'explique pas, par exemple, pourquoi la sous-normale sur l'axe des ordonnées à la parabole [tex]y = ax^2[/tex] est constante et égale au paramètre de la parabole. La fonction [tex]ax^2[/tex] n'est pas une exponentielle, que je sache.

Borassus

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Re : Pourquoi la sous-tangente de e^x par rapport à l'axe Ox est égale à 1?

Bonjour,

Peut-être que cet exercice t'intéresserait...

F.

Comment étendre cet exercice à n'importe quelle exponentielle ?

Fondamentalement, il ne me convainc pas complètement : il prouve que les fonctions solutions sont à rechercher parmi les fonctions [tex]Ce^{\lambda x}[/tex] mais il n'explique pas la logique de cette particularité. Prouver n'est pas expliquer...

Borassus

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Re : Pourquoi la sous-tangente de e^x par rapport à l'axe Ox est égale à 1?

Ps : Je préfère "vecteur sous-tangent". L'expression est plus rigoureuse que "sous-tangente".

Roro

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Re : Pourquoi la sous-tangente de e^x par rapport à l'axe Ox est égale à 1?

Bonjour,

L'exercice proposé est effectivement très clair et la définition de vecteur sous-tangent bien donnée.

Une fois qu'on a vu que ce vecteur était donné par le rapport $\frac{f}{f'}$, il est assez simple de voir le lien avec ce que tu disais (c'est constant pour les fonctions exponentielles).

Pour ce qui est du lien entre "prouver" et "expliquer", je pense que ça dépend des personnes : il y en a qui vont comprendre la preuve avec une vision globale du problème et donc "comprendre" fondamentalement comment et pourquoi ça marche, alors que d'autres n'y verront qu'une successions de propriétés mathématiques... Pour les premiers, la preuve donne une explication, pas pour les seconds.

Dans le cas présent, je pense qu'il faut surtout "comprendre" pourquoi le vecteur sous-tangent est lié à $\frac{f}{f'}$... Par exemple, tu dois pouvoir le "voir" géométriquement via le théorème de Thalès...

Roro.

Dernière modification par Roro (10-01-2024 08:34:01)

Borassus

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Re : Pourquoi la sous-tangente de e^x par rapport à l'axe Ox est égale à 1?

Bonjour,

[...]

Pour ce qui est du lien entre "prouver" et "expliquer", je pense que ça dépend des personnes : il y en a qui vont comprendre la preuve avec une vision globale du problème et donc "comprendre" fondamentalement comment et pourquoi ça marche, alors que d'autres n'y verront qu'une successions de propriétés mathématiques... Pour les premiers, la preuve donne une explication, pas pour les seconds.

Dans le cas présent, je pense qu'il faut surtout "comprendre" pourquoi le vecteur sous-tangent est lié à $\frac{f}{f'}$... Par exemple, tu dois pouvoir le "voir" géométriquement via le théorème de Thalès...

Roro.

Je fais indéniablement partie de la seconde catégorie : je n'adhère à une expression, à une propriété mathématique, à une définition ou à une preuve qu'à partir du moment où j'en comprends la logique de fond générale et, surtout, sais la transmettre à mes élèves.
C'est précisément ce positionnement qui me fait constamment progresser.

(Ce positionnement est sans doute dû à mon cursus un peu particulier : j'ai commencé mes études scientifiques par... un Bac littéraire et trois années de licence de russe calamiteuses ; j'ai alors soudainement basculé vers les maths, que j'ai apprises seul — je n'ai quasiment jamais suivi de cours —au prix d'un monumental travail d'arrachement. Mais trois ans plus tard, je donnais des cours de la 6ème à Maths Spé, et ai même été khôlleur remplaçant en Maths Sup et Maths Spé. :-)

Pour en revenir à nos sous-tangentes et sous-normales — pardon, à nos vecteurs sous-tangents et sous-normaux —, j'ai bien compris la particularité de la sous-tangente sur l'axe des abscisses pour la fonction générale [tex]Ce^{kx}[/tex] — l'autre sous-tangente et les deux sous-normales ne présentent a priori pas d'intérêt — grâce, notamment à l'approche géométrique que tu m'as conseillée.

Donc la démarche pédagogique que j'expérimenterai sera de d'abord faire découvrir cette propriété pour [tex]e^x[/tex], puis pour [tex]e^{kx}[/tex] et pour [tex]Ce^{kx}[/tex].
L'exercice dont tu m'as fait part viendra à la fin, pour prouver que seules les fonctions de cette structure possèdent cette particularité.

Je vais aborder maintenant les particularités concernant les fonction [tex]ax^n[/tex], [tex]n[/tex] étant quelconque.

Bonne journée, enfin ensoleillée, à tous

Dernière modification par Borassus (11-01-2024 12:33:52)

Borassus

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Re : Pourquoi la sous-tangente de e^x par rapport à l'axe Ox est égale à 1?

Bonjour par rapport à ce sujet,

En étudiant les quatre configurations : fonction positive et croissante, fonction positive et décroissante, fonction négative et croissante, fonction négative et décroissante —, et en utilisant les rapports entre deux triangles semblables (plus confortables ici que le théorème de Thalès), je me suis rendu compte que

1) la longueur du segment sous-tangent selon l'axe des ordonnées (que je noterai ici [tex]ST_y[/tex]) est toujours égale à [tex]|x_0f'(x_0)|[/tex] puisque cette longueur est égale à la valeur absolue de la différence entre [tex]f(x_0)[/tex] et l'ordonnée à l'origine [tex]f(x_0) - x_0f'(x_0)[/tex] de la tangente en [tex]x_0[/tex] ;

2) la longueur du segment sous-tangent selon l'axe des abscisses (que je noterai ici [tex]ST_x[/tex]) est toujours égale à [tex]\left|\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\right|[/tex].

A partir de là, on peut aisément calculer les longueurs des segments sous-tangents, en commençant par [tex]e^x[/tex] puisque c'était l'origine de mon étonnement :
[tex]f(x_0) = e^{x_0}[/tex] ; [tex]f'(x_0) = e^{x_0}[/tex]
D'où, [tex]ST_y = x_0e^{x_0}[/tex] et [tex]ST_x = = \frac{e^{x_0}}{e^{x_0}} = 1[/tex].
Il n'y a plus d'étonnement !

En généralisant à [tex]Ce^{kx}[/tex], [tex]f(x_0) = Ce^{kx_0}[/tex] et [tex]f'(x_0) = Cke^{kx_0}[/tex].
D'où [tex]ST_y = x_0Cke^{kx_0}[/tex] et [tex]ST_x = \frac{Ce^{kx_0}}{Cke^{kx_0}} = \frac{1}{k}[/tex]

Pour [tex]f(x) = lnx[/tex], [tex]ST_y = 1[/tex] et [tex]ST_x = x_0ln{x_0}[/tex]

Pour [tex]f(x) = ax^2[/tex], [tex]f(x_0) = ax_0^2[/tex] et [tex]f'(x_0) = 2ax_0[/tex]
D'où [tex]ST_y = 2ax_0^2[/tex], ce qui signifie que le sommet de la parabole est le milieu du segment sous-tangent en [tex]y[/tex],
et [tex]ST_x = \frac{ax_0^2}{2ax_0} = \frac{1}{2}x_0[/tex]

Pour [tex]f(x) = ax^3[/tex],  [tex]f(x_0) = ax_0^3[/tex] et [tex]f'(x_0) = 3ax_0^2[/tex]
D'où [tex]ST_y = 3ax_0^3[/tex], ce qui signifie que le point d'inflexion est au tiers du segment sous-tangent en [tex]y[/tex] en partant de l'ordonnée [tex]ax_0^3[/tex],
et [tex]ST_x = \frac{ax_0^3}{3ax_0^2} = \frac{1}{3}x_0[/tex]

En généralisant à [tex]f(x) = ax^n[/tex], on obtient
[tex]ST_y = anx_0^n[/tex], ce qui signifie que le sommet ou le point d'inflexion, suivant  la parité de [tex]n[/tex], est au 1 nième de l'ordonnée [tex]ax_0^n[/tex],
et [tex]ST_x = \frac{1}{n}x_0[/tex]

Comme je dis souvent à mes élèves, « L'incompréhension, à condition qu'elle génère un inconfort, est la clé de la compréhension. »
(Elle n'apporte rien s'il n'y pas d'inconfort.)

Merci, Roro, de m'avoir mis sur la voie !

Dernière modification par Borassus (12-01-2024 18:58:19)