Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bernard-maths

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Tenez vous à carrés et triangles équilatéraux !

Bonjour à tous !

Dans 2 jours je fête mes 3 ans sur BibMath ... alors une question sans réponse encore, pour moi ...

Combien y-a-t-il de polyèdres dont les faces ne sont que des carrés et/ou des triangle équilatéraux ???
Je ne sais pas, beaucoup ? ... une infinité ???

On peut bien sur commencer par le tétraèdre (régulier) à 4 triangles et par le cube à 6 carrés ... et puis mixer ...

Je suis actuellement sur un dont chaque face carrée est bordée par 4 triangles, et réiproquement, chaque face triangle est bordée par 3 faces carrées ! Saurez-vous le trouver ? Il y en a peut-être plusieurs, mais celui là est "l'un des plus petits".

Cordialement, Bernard-maths

PS : je suis très sollicité et interrompu ! Excusez les erreurs, de frappe ou autre ... merci !

Dernière modification par Bernard-maths (16-12-2023 14:58:05)

jelobreuil

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Re : Tenez vous à carrés et triangles équilatéraux !

Bonjour, Bernard,
"Une face carrée, bordée de 3 faces triangulaires", dis-tu ... Ne serait-ce pas 4, plutôt ?
Bien cordialement, JLB

Bernard-maths

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Re : Tenez vous à carrés et triangles équilatéraux !

Hello, jelobreuil !

Oui, comme j'ai rajouté, trop sollicité et perturbé !!!

Merci, B-m

bridgslam

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Re : Tenez vous à carrés et triangles équilatéraux !

Bonsoir,

On peut déjà s'aider du fait qu'il y a forcément un nombre pair de faces dont le nombre de côtés est impair ( par exemple 0 pour le cube, 4 pour le tétraèdre, 4 pour la pyramide à base carrée, 20 pour l'icosaèdre  etc).

A.

Glozi

Invité

Re : Tenez vous à carrés et triangles équilatéraux !

Bonsoir,

Si on ne demande pas que le polyèdre soit convexe alors j'ai bien l'impression qu'il y en a une infinité via la procédure suivante : on part d'un tétraèdre (étape 0), à chaque étape on choisi une face triangulaire et on lui accole un tétraèdre régulier.
En étant un peu malin, on peut former une "chaine" qui se dirige dans une direction et on pourra toujours agrandir notre solide en lui rajoutant un tétraèdre.

Si on demande que le polyèdre soit convexe, je pense qu'il y en a un nombre fini. J'ai un argument très brouillon mais rien n'est démontré (et d'ailleurs c'est peut-être faux...) mais c'est mon intuition du résultat :
- Sans restriction de généralité, on travaille avec des carrés et des triangles équilatéraux de côtés de longueur $1$.
- On montre que dans un tel polyèdre convexe, alors entre deux faces adjacentes il y a forcément un angle minimal d'un certain $\alpha>0$ entre ces deux faces (c'est là où réside la difficulté, je pense que c'est vrai et cela doit reposer sur le fait qu'on a que deux types de faces disponibles, mais je n'ai pas de preuve pour le moment). Si vous voulez plus d'intuition : je dirais que l'existence de ce $\alpha$ est équivalent à dire qu'il n'existe pas de manière de construire un dôme concave avec des carrés et des triangles équilatéraux de côté $1$ qui soit un dôme arbitrairement "plat" mais pas totalement aplati.
- On montre alors, que tout polyèdre convexe avec que des triangles et des carrés de côté $1$ est contenu dans une boule d'un certain rayon fixé (qui dépend de $\alpha$).
- Cela montrerait bien qu'il y en a qu'un nombre fini, car dans un volume fini, avec des arêtes de longueur $1$ et des angles de $\pi/2$ ou $\pi/3$ j'ai l'impression qu'il n'y a qu'un nombre fini de squelettes possible. (ou sinon en raisonnant en terme de surface, puisque le polyèdre est convexe et contenu dans une boule de rayon fixé alors sa surface extérieure est inférieure à une constante et on conclut plus facilement).

Pas très rigoureux tout ça !
Bonne soirée

Bernard-maths

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Re : Tenez vous à carrés et triangles équilatéraux !

Bonsoir !

L'intuition compte beaucoup dans une recherche !

Et moi je suis dans la même voie que toi Glozi.

Pour un polyèdre quelconque, on peut  construire une chaine infinie ... je pense bien que oui.

Pour un polyède convexe, par contre, on est bloqué par les angles de 60° ou 90° ...

Ton dôme est une bonne idée ...

Bernard-maths

Bernard-maths

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Re : Tenez vous à carrés et triangles équilatéraux !

Bonsoir !

Pour imager un peu ...

On voit un icosaèdre par la "calotte du haut" en 5 couleurs. Puis on descend sur les 3 triangles inférieurs, jusqu'à la "calotte du bas".

Par contre si on fait "tourner d'un 10ème de tour" la calotte du bas vers la droite, les 2 triangles médians se transforment en un carré !

Voilà de quoi imaginer ce qu'il peut se passer ...

Bonne nuit, B-m

Bernard-maths

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Re : Tenez vous à carrés et triangles équilatéraux !

Bonsoir à tous !

Alors je vais vous proposer des activités avec carrés et triangles équilatéraux (surtout), avec quelques extensions natures.

Pour répondre au polyèdre dont je vous parlais, il s'agit du fameux cuboctaèdre à 14 faces. Je vous envoie un peu sur mathcurve le voir, ainsi que son "frère jumeau" le rhombicuboctaèdre !

https://mathcurve.com/polyedres/cubocta … edre.shtml

https://mathcurve.com/polyedres/rhombic … edre.shtml

Je mets ausssi une figure qui va servir de base aux cogitations et constructions :

A bientôt, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (17-12-2023 18:41:26)