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Bonaventure Sofoton Tonou

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Parallélogramme et droites parallèles

Bonne nuit à tous et réveillez vous bien avec ce petit sport mathématique géométrique

-CFED est un parallélogramme
-H un point de (DE) et distinct de D et de E
-(FH) coupe (CD) en A
-(AE) coupe (CF) en B
-(BD) coupe (FH) en G
-(CG) coupe (FD) en I
Démontrer que (IH) et (CD) sont parallèles

Bonaventure Sofoton Tonou

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Bonjour cher JLB, Rescassol et Yoshi

Je demande si vous avez une idée!!

Bonaventure-S0_

Rescassol

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Bonjour,

En barycentrique:

% Bonaventure Sofoton Tonou - 08 Décembre 2023
% Parallélogramme et droites parallèles

clear all, clc

%-----------------------------------------------------------------------
% Le triangle de base est le triangle CFE

% Parallélogramme CFED
C=[1; 0; 0]; F=[0; 1; 0]; E=[0; 0; 1]; D=[1; -1; 1];

syms t real
H=[1; -1; t]; % Un point H de (DE)

% (FH) coupe (CD) en A
A=Wedge(Wedge(F,H),Wedge(C,D)) % A=[-1; t; -t]

% (AE) coupe (CF) en B
B=Wedge(Wedge(A,E),Wedge(C,F)) % B=[1; -t; 0]

% (BD) coupe (FH) en G
G=Wedge(Wedge(B,D),Wedge(F,H)) % G=[1; t*(t-2); t]

% (CG) coupe (FD) en I
I=Wedge(Wedge(C,G),Wedge(F,D)) % I=[1; t-2; 1]

VIH=Vecteur(I,H) % VIH=[0, -(t-1)/t, (t-1)/t]
VCD=Vecteur(C,D) % VCD=[0, -1, 1]
% On constate que VIH = (t-1)/t * VCD donc (IH) et (CD) sont parallèles
 

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (09-12-2023 12:17:58)

Bernard-maths

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Bonjour à tous !

Beaucoup de triangles emboités à côtés parallèles, donc ...

On constate de plus une certaine symétrie dans la figure, en ajoutant le point J et la droite (JI) ...

Cordialement,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (09-12-2023 10:13:06)

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Bonaventure Sofoton Tonou

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Bonjour Rescassol,

Merci pour la résolution barycentrique...

Bonaventure-S0_

Bonaventure Sofoton Tonou

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Bonjour Bernard-maths,

Oui c'est vrai ton constat..

Bonaventure-S0_

Rescassol

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Bonjour,

Rajoutons un bout de code:

% (DG) coupe (EF) en J
J=Wedge(Wedge(D,G),Wedge(E,F)) % J=[0; 1-t; -1]

VIJ=Vecteur(I,J) % VIJ=[-1/t, 1/t, 0]
VCF=Vecteur(C,F) % VCF=[-1, 1, 0]
% On constate que VIJ = 1/t * VCF donc (IJ) et (CF) sont parallèles
 

Et la figure:

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (09-12-2023 12:31:22)

Bonaventure Sofoton Tonou

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Merci Rescassol pour le nouvel apport

C'est cool..

Cordialement
Bonaventure-S0_

Bernard-maths

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Re bonjour !

Je pensais au début utiliser le "marteau piqueur" de mon prof de maths = se mettre dans un repère et calculer avec le coordonnée !
Puis je cherche avec les triangles et Thalès, je tourne en rond ... pour le moment ...

La méthode barycentrique et bien plus simple que le marteau piqueur !

Cordialement, B-m

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Rescassol

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Bonjour,

De plus, quand $H$ décrit la droite $(DE)$, le lieu de $G$ est une ellipse passant par $C,D,F$ dont le centre $\Omega$ est au tiers de $[CE]$ à partir de $C$.
Son équation barycentrique par rapport au triangle $CFE$ est $xy + 2xz  - z^2 = 0$.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (09-12-2023 19:31:16)

Bonaventure Sofoton Tonou

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Salut à tous..

C'est t trop mieux la méthode barycentre..
Bonaventure-S0_

Bernard-maths

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Et les tangentes en D et F ... hein ?

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Rescassol

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Bonsoir,

Bernard, ce sont bien sûr les droites $(ED)$ et $(EF)$, ce qui peut se vérifier (comme tout le reste) avec Géogébra, qui connaît les barycentres.
Et la tangente en $C$ est parallèle à $(FD)$.
Les droites $(EF)$ et $(ED)$ coupent cette tangente respectivement en $K$ et $L$.
Alors, le triangle $EKL$ est le triangle anticomplémentaire du triangle $CFD$ et donc l'ellipse est l'ellipse de Steiner inscrite dans le triangle $EKL$.
Le centre de l'ellipse $\Omega$ est alors le centre de gravité du triangle $EKL$.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (09-12-2023 19:55:56)

Bernard-maths

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Eh ben, il en aura fallu du temps pour que tu nous dises tout ( ou presque ?) !!!

Merci quand même ... (:-) !

Et cordialement aussi,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (09-12-2023 20:41:34)

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Rescassol

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Bonsoir,

Tu veux aussi que je te dise que les droites $(AL)$ et $(BK)$ sont parallèles ?

Cordialement,
Rescassol

bridgslam

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Bonsoir,

On s'aperçoit que la propriété est facile ( médianes, plein de points milieux etc) si H est milieu de DE dans le plan du dessin (figure "idéale") .

Sinon on peut voir la figure réelle comme projetée sur ce plan de la figure idéale dans l'espace ( placée sur un plan incliné adéquat).

Comme le parallélisme (et l'alignement ) se transmettent d'une figure à l'autre, c'est bon.

A.

Dernière modification par bridgslam (23-12-2023 17:51:42)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Jean-Louis Ayme

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Re : Parallélogramme et droites parallèles

Bonjour,

les triangles GIH et BFE étant perspectifs de centre D, (AD) étant l'axe de perspective, le résultat suit.

Sincèrement
Jean-Louis