Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Buciulica

Invité

Différentielle d'un processus stochastique avec le Lemme d'Ito

Bonjour à tous,

Tout d'abord merci d'avance d'avoir pris le temps cliquer sur le topic afin de m'aider !

J'ai un processus [tex]R_t[/tex]que je dois différencier à l'aide du Lemme d'Îto :

[tex]R_t = tB_t - \int_0^t B_s ds [/tex] avec [tex]B_s[/tex] un mouvement brownien standard.

Ma première intuition était de me dire que le processus valait 0 car en supposant que [tex]B_t[/tex] équivalent à une constante x cela aurait donné[tex]\int_0^t x ds = tx.[/tex]

Ce qui au final aurait donné [tex]R_t = tB_t - tB_t = 0[/tex] donc même pas besoin d'Itô...

Cependant, avec toutes les ressources que j'ai trouvé sur internet cette fameuse intégrale ne se comporte pas de la même manière qu'avec une constante...

Quelqu'un pourrait m'expliquer comment se comporte donc cette intégrale, pourquoi nous ne pouvons pas la calculer en supposant B_t une constante et enfin quel résultat donnerait [tex]\frac{dR}{dt}[/tex] ; [tex]\frac{dR}{dX}[/tex] et [tex]\frac{d^2R}{dX^2}[/tex] avec des détails si possible ? J'ai cherché depuis qlq heures mais en vain..

Je révise mes partiels et cette différentielle me tracasse.....
Merci encore pour votre aide !

LCTD

Membre

Inscription : 21-11-2019

Messages : 101

Re : Différentielle d'un processus stochastique avec le Lemme d'Ito

Bonsoir,

il me semble qu'il faut écrire :
$dR_t=B_t(t,R_t)+B_s(t,R_t)ds$

Glozi

Invité

Re : Différentielle d'un processus stochastique avec le Lemme d'Ito

Bonsoir,
$B_s$ n'a pas l'air d'être une constante puisqu'il y a un $s$ en indice
Plus sérieusement, ça fait longtemps que je n'ai pas été plongé dans cette théorie.
Déjà, quelle est la formule d'Itô de ton cours ?
Tu peux normalement l'appliquer avec la fonction $f(x,t)=xt$, tu obtiendras la décomposition martingale locale / processus à variations finies de $(tB_t)_t$. Ensuite pour le terme supplémentaire $\int_0^tB_sds$, quel est la définition de cet objet ? (à ton avis quel type d'intégrale est utilisé ici ?) Que vaut alors $d\left(\int_0^t B_sds\right)$ ?
Bonne soirée

Gui82

Membre

Inscription : 03-08-2022

Messages : 126

Re : Différentielle d'un processus stochastique avec le Lemme d'Ito

Bonsoir,

On a [tex]dR_t=d(tB_t)-B_tdt[/tex] et [tex]d(tB_t)=tdB_t+B_tdt[/tex] (formule d'intégration par parties de 2 processus d'Itô avec crochet nul)

Buciulica

Invité

Re : Différentielle d'un processus stochastique avec le Lemme d'Ito

Bonsoir,
$B_s$ n'a pas l'air d'être une constante puisqu'il y a un $s$ en indice
Plus sérieusement, ça fait longtemps que je n'ai pas été plongé dans cette théorie.
Déjà, quelle est la formule d'Itô de ton cours ?
Tu peux normalement l'appliquer avec la fonction $f(x,t)=xt$, tu obtiendras la décomposition martingale locale / processus à variations finies de $(tB_t)_t$. Ensuite pour le terme supplémentaire $\int_0^tB_sds$, quel est la définition de cet objet ? (à ton avis quel type d'intégrale est utilisé ici ?) Que vaut alors $d\left(\int_0^t B_sds\right)$ ?
Bonne soirée

Hello Glozi merci bcp pour la réponse !

La formule d'Ito de mon cours est :

[tex]df(t,X_t)=f(0,X_0)+\frac{\delta f}{\delta t}(t,X_t)dt+\frac{\delta f}{\delta x}(t,X_t)dX_t+\frac{1}{2}\frac{\delta^2 f}{\delta x^2}(t,X_t)d\langle X \rangle_t
[/tex]

Je pense finalement qu'en appliquant bêtement Ito aux deux termes de ma fonction à différencier soit : [tex]f(t,x) = tB_t - \int_0^t B_s ds[/tex]

nous trouvons pour le premier terme : [tex]B_t dt + tdB_t[/tex] et pour le deuxième terme [tex]-B_tdt[/tex] ce qui donne donc [tex]d(f(t,x))=tdB_t[/tex]

Seulement ce résultat ne me satisfait pas car j'aurais pensé pouvoir en tout premier temps calculer quand même cette intégrale qui aurait selon moi donné au final [tex]f(t,x)=tB_t-tB_t[/tex].

En tout cas merci encore pour ton aide !

Buciulica

Invité

Re : Différentielle d'un processus stochastique avec le Lemme d'Ito

Bonsoir,

On a [tex]dR_t=d(tB_t)-B_tdt[/tex] et [tex]d(tB_t)=tdB_t+B_tdt[/tex] (formule d'intégration par parties de 2 processus d'Itô avec crochet nul)

Merci pour votre réponse Gui83 !

Je suis d'accord avec vous pour la différenciation du 1er terme. C'est peut être une question bête.. mais qu'est-ce qui fait que nous ne pouvons pas dans un premier temps calculer l'intégrale  [tex]\int_0^t B_s ds[/tex] ce qui pourrait donner [tex]tB_t[/tex] ?

Merci pour votre aide !

Gui82

Membre

Inscription : 03-08-2022

Messages : 126

Re : Différentielle d'un processus stochastique avec le Lemme d'Ito

Bonjour,

Ce n'est pas aussi simple, on n'a pas [tex]\displaystyle \int_0^tB_s\,ds=tB_t[/tex].
En fait, un processus d'Itô est un processus stochastique [tex](X_t)_{t\ge0}[/tex] de la forme [tex]\displaystyle X_t=X_0+\int_0^t\varphi_s\,ds+\int_0^t\psi_s\,dB_s[/tex], ce qui s'écrit sous forme différentielle [tex]dX_t=\varphi_t\,dt+\psi_t\,dB_t[/tex] (d'ailleurs il n'y a pas de terme [tex]f(0,X_0)[/tex] dans l'écriture sous forme différentielle de la formule d'Itô).
Ici, si on note [tex]\displaystyle X_t=\int_0^tB_s\,ds[/tex], vu que [tex]X_0=0[/tex] on a trivialement [tex]dX_t=B_t\,dt[/tex].

Dernière modification par Gui82 (26-11-2023 14:03:42)

Glozi

Invité

Re : Différentielle d'un processus stochastique avec le Lemme d'Ito

Je ne comprends pas pourquoi tu insistes qu'on devrait avoir $\int_0^t B_s ds = tB_t$. Tu sembles justifier ça en disant que $B_s$ doit se comporter comme une constante... Ce n'est évidemment pas le cas, $B_s$ est juste une notation pour $B(s)$ à savoir le mouvement brownien évalué en $s$ et donc $B_s$ dépend de $s$ qui est la variable d'intégration.
Étant donné une réalisation du mouvement brownien alors $s\mapsto B_s$ est une trajectoire continue mais qui n'est certainement pas constante.
C'est comme si tu disais que si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ était une fonction continue alors $\int_0^t f(s)ds = tf(t)$ c'est évidemment faux en général...