Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jelobreuil

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un point de concours dans un triangle

Bonsoir à tous,
Je vous propose ce petit problème :
Soit un triangle ABC, et un point P de son plan. La bissectrice de l'angle BPC coupe la droite BC en D, celle de l'angle CPA coupe la droite CA en E, et celle de l'angle APB coupe la droite AB en F.
Montrer que les droites AD, BE et CF sont concourantes en un point Q.
Que se passe-t-il quand on reprend la même construction en remplaçant le point P par le point Q ? Et si on réitère plusieurs fois cette même construction, en effectuant les remplacements successifs correspondants ?
Bien cordialement, JLB

Rescassol

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Re : un point de concours dans un triangle

Bonsoir,

On pose [tex]PA=u, PB=v, PC=w[/tex].
On a alors les coordonnées barycentriques suivantes: [tex]D=[0; w; v],E=[w; 0; u],F=[v;u ; 0][/tex].
D'où on déduit les droites [tex]AD=[0, -v, w], BE=[u, 0, -w], CF=[-u, v, 0][/tex].
On peut vérifier que le déterminant de ces droites est nul, donc qu'elles sont concourantes.
Et on a de plus [tex]Q=[vw; wu; uv][/tex], invariant par permutation circulaire.

Cordialement,
Rescassol

jelobreuil

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Re : un point de concours dans un triangle

Merci, Rescassol !
Mais j'attends une solution synthétique, relativement simple : je sais qu'elle existe, je l'ai trouvée ...
Je vais laisser la chose mûrir quelque temps ...
Bien cordialement, JLB

jpp

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Re : un point de concours dans un triangle

Salut ;

▼Une idée.

La formule concernant une bissectrice conduit à écrire :

[tex]\cfrac{BP}{AP}\times\cfrac{AP}{CP}\times\cfrac{CP}{BP}=\cfrac{BF}{AF}\times\cfrac{AE}{CE}\times\cfrac{CD}{BD} = 1[/tex]

Et  [tex]\cfrac{BF}{AF}\times\cfrac{AE}{CE}\times\cfrac{CD}{BD} = 1[/tex]  est la propriété relative à 3 céviennes concourantes dans un triangle . Les 3 céviennes : AD , BE & CF sont donc concourantes .

Si on réitère le processus , le point Q tend à se confondre avec le centre du cercle inscrit du triangle ABC .

jelobreuil

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Re : un point de concours dans un triangle

Merci jpp,
C'est bien la solution que j'avais en tête ! Et en effet, Q tend vers I : je pense qu'on peut dire que I est le point fixe de l'application qui transforme P en Q (je ne sais pas vraiment si j'utilise les bons termes, mais j'espère me faire comprendre ...)
Bien cordialement, JLB

Rescassol

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Re : un point de concours dans un triangle

Bonjour,

Exprimé autrement, c'est exactement le même calcul que le mien, puisque [tex]\dfrac{BP}{AP}=\dfrac{BF}{AF}=\dfrac{v}{u}[/tex] et permutation circulaire.

Cordialement,
Rescassol

jelobreuil

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Re : un point de concours dans un triangle

Merci, Rescassol !
Eh bien, c'est parfait ! Et tant mieux si c'est le même calcul !
Je sais que tu excuseras mon ignorance du calcul en barycentriques ...
Bonne journée, bien cordialement, JLB

Mateorap

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Re : un point de concours dans un triangle

Salut JLB, ton problème géométrique est classique et intéressant ! Ce que tu décris ressemble au théorème de Ceva. Pour montrer que AD, BE et CF sont concourants, tu peux utiliser ce théorème qui dit que, dans un triangle, trois droites issues des sommets sont concourantes si et seulement si un certain produit de rapports est égal à 1. Pour la suite de ta question, quand tu remplaces P par Q et ainsi de suite, ça devient un peu plus complexe. Ça pourrait mener à une sorte de spirale ou de motif répétitif, mais ça dépendra de la position initiale de P. C'est un super exercice pour explorer les propriétés des triangles !

jelobreuil

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Re : un point de concours dans un triangle

Bonjour Mateorap,
Merci de ton appréciation flatteuse !
Ce n'est pas que "ça ressemble au théorème de Ceva", mais c'est que ... c'en est une application directe ! Avec au départ un rappel d'une propriété des bissectrices d'un triangle ...
Regarde les messages #4 et #5 de cette discussion !
Bien cordialement, JLB.

jelobreuil

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Re : un point de concours dans un triangle

Bonjour à tous,
jpp, vérification faite, le point fixe vers lequel tend le point Q par itération n'est pas le centre I du cercle inscrit, mais le point de Fermat, celui duquel les trois côtés du triangle sont vus sous un angle de 120°.
Si l'on prend le point I comme point P de départ, le premier point Q ne coïncide pas avec lui ...
Désolé de t'avoir conforté dans l'erreur ...
Bien cordialement, JLB