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#1 20-10-2023 01:41:42
- Bruno010
- Invité
Equation algébrique.
Bonsoir à tous,
Comment montrer que [tex]\cos \big( \dfrac{6 \pi}{11} \big)[/tex] est racine du polynôme [tex]P(x) = 32x^5 + 16x^4 - 32x^3 - 12x^2 + 6x + 1[/tex] ?
Merci d’avance.
#6 20-10-2023 12:44:16
- jean-émile
- Membre
- Inscription : 16-07-2023
- Messages : 4
Re : Equation algébrique.
Bonjour
Les cinq racines sont : cos(2*Pi/11) , cos(4*Pi/11) , cos(6*Pi/11) , (8*Pi/11) , cos(10*Pi/11)
Somme des racines = -1/2
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#7 20-10-2023 14:01:44
- Rescassol
- Membre
- Lieu : 30610 Sauve
- Inscription : 19-09-2023
- Messages : 351
Re : Equation algébrique.
Bonjour,
[tex]T_{11}(x)=(x-1)P^2(x)+1[/tex] où [tex]T_n[/tex] est le n-ième polynôme de Tchebychev de première espèce.
Cordialement,
Rescassol
Dernière modification par Rescassol (20-10-2023 14:02:52)
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#8 20-10-2023 18:23:46
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 509
Re : Equation algébrique.
Bonjour,
Si mon aide est considérée trop précise par la modération ... pas de soucis pour supprimer ma réponse.
On pose x = cos(y) (avec y non nul)
et on tente de résoudre l'équation : 32.cos^5(y) + 16.cos^4(y) - 32.cos³(y) - 12.cos²(y) + 6.cos(y) + 1 = 0 (1)
On linéarise :
cos^5(y) = (5/8).cos(y) + (5/16).cos(3y) + (1/16).cos(5y)
cos^4(y) = (1/8).cos(4y) + (1/2).cos(2y) + 3/8
cos³(y) = (1/4).cos(3y) + (3/4).cos(y)
cos²(y) = (1/2).cos(2y) + 1/2
cos(y) = cos(y)
****
On remet tout cela dans (1) et on doit arriver à :
2.cos(y) + 2.cos(2y) + 2.cos(3y) + 2.cos(4y) + 2.cos(5y) + 1 = 0
que l'on peut écrire : [tex]Re[\Sigma_{k=1}^5 e^{ikx}] = -\frac{1}{2}[/tex]
Le membre de gauche est la somme de 5 termes en progression géométrique de raison e^(ix) et de 1er terme e^(ix), on a donc :
[tex]Re[e^{iy}.\frac{e^{i.5y}-1}{e^{i.y}-1}] = -\frac{1}{2}[/tex]
En mettant en facteur [tex]e^{i.\frac{5y}{2}}[/tex] au numérateur du membre de gauche et [tex]e^{i.\frac{y}{2}}[/tex] en facteur au dénominateur du membre de gauche
On arrive (en appliquant les formules d'Euler) à :
[tex]cos(3y).sin(\frac{5y}{2}) = -\frac{1}{2}.sin(\frac{y}{2})[/tex]
[tex]\frac{1}{2} . (sin(\frac{11y}{2}) + sin(-\frac{y}{2})) = -\frac{1}{2}.sin(\frac{y}{2})[/tex]
[tex]sin(\frac{11y}{2}) = 0[/tex]
Donc 11y/2 = k'.Pi
y = 2k'.Pi/11 (pour k' de 1 à 5)
... et donc x = cos(2.k'.Pi/11) (pour k' de 1 à 5) sont solutions de P(x) = 0
Dernière modification par Black Jack (21-10-2023 07:57:32)
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#9 21-10-2023 08:23:56
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 509
Re : Equation algébrique.
Rebonjour,
Je ne l'ai pas écrit dans mon message précédent, mais avant de poser x = cos(y), j'ai vérifié que les solutions de P(x) = 0 étaient comprises dans ]-1 ; 1[
Par paresse je l'ai fait en mettant la courbe de P(x) sur une calculette graphique ...
Mais on peut le faire aussi par une étude des variations de P(x), c'est un peu long mais sans difficulté majeure.
La seule mini difficulté est de trouver les valeurs de x qui annulent P'(x) (équation du 4ème degré ... par ex par la méthode de Ferraris)
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#10 21-10-2023 08:28:56
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : Equation algébrique.
Bonjour
En réalité tu n'as pas besoin de vérifier que les solutions sont dans [-1;1] a priori. Tu considères ton équation en cos(y) tu la résous et tu trouves 5 solutions. Comme P a au plus 5 racines tu as trouvé toutes les racines de P.
F.
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#11 21-10-2023 10:21:58
- Rescassol
- Membre
- Lieu : 30610 Sauve
- Inscription : 19-09-2023
- Messages : 351
Re : Equation algébrique.
Bonjour,
Ce que j'ai écrit plus haut suffit pour répondre à la question initiale, qui n'est pas de résoudre l'équation.
Cordialement,
Rescassol
Dernière modification par Rescassol (21-10-2023 10:22:21)
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#12 21-10-2023 15:48:07
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 509
Re : Equation algébrique.
Bonjour,
Ce que j'ai écrit plus haut suffit pour répondre à la question initiale, qui n'est pas de résoudre l'équation.
Cordialement,
Rescassol
Bonjour,
Et alors ?
Il y a toujours plusieurs chemins pour résoudre un problème.
Même si ton chemin est correct, tout autre chemin permettant de répondre peut être utilisé.
Même si on ne demande pas de résoudre l'équation, si on le fait et que 6Pi/11 est parmi les solutions, on a satisfait la demande.
Bruno10 choisira ce qui correspond le mieux à ses connaissances actuelles ... ou cherchera encore une autre voie.
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#13 21-10-2023 17:00:23
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Equation algébrique.
Une autre piste, sans calcul qui prend la tête ni polynôme de Tchebycheff.
On remarque que $\cos(6\pi/11)=(\exp(6i\pi/11)+\exp(-6i\pi/11))/2$. Posons $t=\exp(6i\pi/11)$.
Alors
$$\begin{aligned}
P(\cos(6\pi/11))&=P\left(\frac12\left(t+\frac1t\right)\right)\\
&=\left(t+\frac1t\right)^5+\left(t+\frac1t\right)^4-4\left(t+\frac1t\right)^3-3\left(t+\frac1t\right)^2
\\&\qquad\qquad{}+3\left(t+\frac1t\right)+1\\
&=t^5+t^4+t^3+t^2+t+1+\frac1t+\frac1{t^2}+\frac1{t^3}+\frac1{t^4}+\frac1{t^5} \end{aligned}$$
(il suffit de calculer les coefficients des puissances positives ou nulles de $t$, les autres viennent par symétrie).
Je laisse finir
Dernière modification par Michel Coste (21-10-2023 17:04:45)
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#15 21-10-2023 23:26:44
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Equation algébrique.
Hum hum Rescassol, tu confonds résolubilité par radicaux et constructibilité à la règle et au compas.
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#16 22-10-2023 09:59:46
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 509
Re : Equation algébrique.
Bonjour,
En poursuivant la méthode préconisée par Michel Coste, on arrive à :
$\displaystyle P(cos(\frac{6\pi}{11}))= cos(\frac{5*6\pi}{11}) + cos(\frac{4*6\pi}{11}) + cos(\frac{3*6\pi}{11}) + cos(\frac{2*6\pi}{11}) + cos(\frac{6\pi}{11}) + 1 $
...
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#18 22-10-2023 10:22:31
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Equation algébrique.
Toutes les racines de l'équation habitent dans l'extension cyclotomique $\mathbb Q(\zeta)$ où $\zeta$ est une racine primitive 11e de l'unité. Le groupe de Galois de cette extension est $\mathbb Z/10\mathbb Z$, on ne fait pas plus résoluble !
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#20 22-10-2023 13:11:41
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Equation algébrique.
Maple satisfait ta curiosité :
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#21 22-10-2023 17:29:22
- Rescassol
- Membre
- Lieu : 30610 Sauve
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Re : Equation algébrique.
Bonjour,
Merci Michel, c'est impressionnant. Il y a peu de chance d'y arriver à la main.
Si on veut critiquer à tout prix, il faudrait une écriture sans racines carrées de nombres réels négatifs.
Cordialement,
Rescassol
Dernière modification par Rescassol (22-10-2023 17:33:02)
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#22 22-10-2023 18:22:52
- Michel Coste
- Membre Expert
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Re : Equation algébrique.
"Si on veut critiquer à tout prix, il faudrait une écriture sans racines carrées de nombres réels négatifs."
Et tu voudrais ça aussi pour la résolution par radicaux de l'équation du 3e degré ?
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#23 22-10-2023 18:47:23
- Rescassol
- Membre
- Lieu : 30610 Sauve
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Re : Equation algébrique.
Bonsoir,
Dans le cas général, non. Mais dans ce cas particulier, peut on justifier que c'est impossible?
Cordialement,
Rescassol
Dernière modification par Rescassol (22-10-2023 18:47:54)
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#24 22-10-2023 20:35:00
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Equation algébrique.
Je ne sais pas formuler d'argument, mais tu peux remarquer qu'on prend une racine carrée de nombre négatif quand les trois racines du polynôme de degré 3 sont réelles. Ici aussi, les cinq racines du polynôme sont réelles.
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