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101bendri.samad

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Montrer une Inégalité

Bonjour
Je cherche à montrer cette inégalité :

$$ \forall  \,\, a,b,c \geq 0 \\   \frac{a}{a^2+b^2 +2} +\frac{b}{b^2+c^2 +2} + \frac{c}{c^2+a^2 +2} \leq \frac{3}{4} $$

merci

Dernière modification par 101bendri.samad (06-06-2023 22:05:25)

Black Jack

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Re : Montrer une Inégalité

Bonjour,

Proposition par un non matheux (moi) et donc méfiance.

Pas accessible, je pense niveau Lycée.

[tex]f(a,b,c) = \frac{a}{a^2+b^2+2} + \frac{b}{b^2+c^2+2} + \frac{c}{c^2+a^2+2}[/tex]

[tex]\frac{\partial f}{\partial a} = \frac{-a^2 + b^2 + 2}{(a^2+b^2+2)^2} - \frac{2ac}{(a^2+c^2+2)^2} = 0[/tex]
[tex]\frac{\partial f}{\partial b} = \frac{-b^2 + c^2 + 2}{(b^2+c^2+2)^2} - \frac{2ab}{(a^2+b^2+2)^2} = 0[/tex] 
[tex]\frac{\partial f}{\partial c} = \frac{-c^2 + a^2 + 2}{(a^2+c^2+2)^2} - \frac{2bc}{(b^2+c^2+2)^2} = 0[/tex]

[tex](a^2+c^2+2)^2(b^2-a^2+2)-2ac(a^2+b^2+2)^2 = 0[/tex]
[tex](a^2+b^2+2)^2(c^2-b^2+2)-2ab(b^2+c^2+2)^2 = 0[/tex]
[tex](b^2+c^2+2)^2(a^2-c^2+2)-2bc(a^2+c^2+2)^2 = 0[/tex]

Ce système est satisfait pour a = b = c = 1

Et on montre aisément que :
[tex]\frac{\partial f(a,1,1)}{\partial a} > 0[/tex] pour a dans [0 ; 1[ et < 0 pour a > 1
[tex]\frac{\partial f(1,b,1)}{\partial b} > 0[/tex] pour b dans [0 ; 1[ et < 0 pour b > 1
[tex]\frac{\partial f(1,1,c)}{\partial c} > 0[/tex] pour c dans [0 ; 1[ et < 0 pour c > 1

On conclut donc que f a un seul maximum et que ce max est pour a=b=c=1, ce max vaut [tex]f(1,1,1) = 3/4[/tex]

Et donc [tex]\frac{a}{a^2+b^2+2} + \frac{b}{b^2+c^2+2} + \frac{c}{c^2+a^2+2} \leq \frac{3}{4}[/tex]

Toutes erreurs incluses... Si un vrai matheux peut confirmer, ou infirmer ...

Zebulor

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Re : Montrer une Inégalité

Bonjour,
je te trouve trop modeste Black Jack... sans prétention ça me paraît bon. Je me demande si on peut procéder autrement

Glozi

Invité

Re : Montrer une Inégalité

Bonjour,
Sans prétention d'être un "vrai matheux", je pense que tu vas un peu vite pour conclure.
En effet, si j'ai bien compris tu dis qu'en contrôlant les dérivées partielles de $f$ sur $3$ droites alors tu es capable de trouver un max global.

Prenons $f(x,y,z)= -x^2-y^2-z^2+3/4(x-y)^2$
alors $\frac{\partial f}{\partial x}(x,0,0)= -x/2$, $\frac{\partial f}{\partial y}(0,y,0) = -y/2$ et $\frac{\partial f}{\partial z}(0,0,z)=-2z$ tu serais tenté de dire que $f$ admet un max en $(0,0,0)$, pourtant $f(0,0,0)=0$ alors que $f(x,-x,0)=-x^2-x^2+3/4(2x)^2=x^2>0=f(0,0,0)$ dès que $x\neq 0$

Bonne soirée

Zebulor

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Re : Montrer une Inégalité

Bonjour,
Glozi a raison et je me suis fait avoir : il faut regarder ce qui se passe dans toutes les directions possibles. Son contre exemple l'illustre bien...

Dernière modification par Zebulor (20-06-2023 05:10:02)

Black Jack

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Re : Montrer une Inégalité

Bonjour,
Glozi a raison et je me suis fait avoir : il faut regarder ce qui se passe dans toutes les directions possibles. Son contre exemple l'illustre bien...

Bonjour,

C'est bien ce que je flairais.
J'ai cherché d'autres points critiques que (1,1,1) ... mais je n'ai pas réussi à en trouver.

Si quelqu'un arrive à résoudre le système de mon message précédent (sous les conditions a, b et c >= 0) et trouve des solutions autres ...

Matou

Invité

Re : Montrer une Inégalité

Bonjour,

On pourrait regarder les dérivées secondes et vérifier que la matrice hessienne est définie négative...

Sans logiciel de calcul formel, ça risque de prendre un peu de temps.

Zebulor

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Re : Montrer une Inégalité

re,
il serait intéressant de connaître le contexte de cet exercice...

Bernard-maths

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Re : Montrer une Inégalité

onjour à tous !

Vu la symétrie du problème, je me suis dit " voyons ce qu'il se passe si a = b = c".

Je trouve bien un max pour a = 1, et le résultat <= 3/4 !

MAIS il y a plein de choses qui peuvent arriver autour ...

J'ai essayé une approche géométrique, mais rien trouvé de pratique ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (20-06-2023 14:02:33)

Glozi

Invité

Re : Montrer une Inégalité

Bonjour,
Pour continuer sur la stratégie de Black Jack, on cherche les points critiques de $f(a,b,c) = \frac{a}{a^2+b^2+2}+\frac{b}{b^2+c^2+2}+\frac{c}{c^2+a^2+2}$, en effet $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $(\mathbb{R}_+)^3$. Puisque $\limsup_{(a,b,c)\to \infty}f(a,b,c)\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$ et puisque $f(1,1,1)=3/4>\frac{1}{2\sqrt{2}}$ alors $f$ admet un max global quelque part (et ce max est atteint en au moins un point). Maintenant ce max est forcément atteint en un point critique (d'où la recherche des points critiques).

$(a,b,c)$ est un point critique pour $f$ si et seulement si $\nabla f(a,b,c)=0$ si et seulement si on a le système :
$b^2-a^2+2-2ac=0$
$c^2-b^2+2-2ab=0$
$a^2-c^2+2-2bc=0$
(voir les calculs de Black Jack).

Bon maintenant ce système ne se simplifie pas vraiment (du moins je n'ai pas trouvé de méthode simple).
Du coup on fait un petit tour par les bases de Gröbner, et on voit que ce système est équivalent au système suivant :
$27 c^8 + 144 c^6 + 78 c^4 - 248 c^2 - 1=0$
$8 b + 27 c^7 + 144 c^5 + 75 c^3 - 254 c=0$
$32 a - 81 c^7 - 441 c^5 - 267 c^3 + 757 c=0$

La première équation est une équation polynomiale de degré $8$ en la seule variable $c$. Déjà on se ramène à une équation de degré $4$ en $c^2$ et on a une racine évidente $c^2=1$. Finalement on se rend compte que les seules solutions réelles de la première équation sont $c=\pm 1$, donc pour ce qui nous intéresse $c=1\geq 0$. Avec la deuxième et troisième équation on voit que finalement pour $(a,b,c)\in (\mathbb{R}_+)^3$ alors le seul point critique est $(a,b,c)=(1,1,1)$.

Ainsi on peut conclure que $f$ admet son max global sur $(\mathbb{R}_+)^3$ en $(1,1,1)$ et ce max vaut bien $3/4$.

Voilà pour une solution très moche, je suis quasi persuadé qu'il y a une solution élégante avec un joli produit scalaire et un coup d'inégalité de Cauchy Schwarz mais je ne vois pas pour le moment.

Bonne journée

Zebulor

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Re : Montrer une Inégalité

Re,
il est assez simple de montrer que :

$$ \forall  \,\, a,b,c \geq 0 \\   \frac{a}{a^2+b^2 +2} +\frac{b}{b^2+c^2 +2} + \frac{c}{c^2+a^2 +2} \leq \frac{3}{2\sqrt{2}} $$

Mais évidemment cette majoration est insuffisante.. Cette forme cyclique doit bien pouvoir être exploitable.

On peut peut être déjà voir si pour tout $ a,b,c \geq 0$ il existe un réel $x$ maximum global de l'expression cyclique $g(a,b)=\frac{a}{a^2+b^2 +2} +\frac{b}{b^2+a^2 +2}$. On dirait que c est 1/2 en (1,1). Une belle surface sur geogebra...

En fait il semble bien que pour tout $ a,b,c,d,e.... \geq 0$ l'expression :

1) $\frac{a}{a^2+b^2 +2} +\frac{b}{b^2+c^2 +2}+\frac{c}{c^2+d^2 +2}+\frac{d}{d^2+e^2 +2}+ ....$ a toujours un maximum global obtenu en $ (1,1,1,...)$
2) et que ce maximum global augmente de $\frac{1}{4}$ lorsque qu'on rajoute une fraction dans l'expression cyclique de cette fonction a plusieurs variables

Dernière modification par Zebulor (21-06-2023 08:29:47)

Glozi

Invité

Re : Montrer une Inégalité

Bonjour,
je me rends compte que j'avais mal lu les équations du système de Black Jack dans mon précédent post, du coup mon système de base est n'est pas le bon, et la base de Gröbner calculée ne correspond du coup pas à notre problème.
avec cette méthode il faudrait calculer la base de Gröbner associée au bon système !
Bonne journée

Zebulor

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Re : Montrer une Inégalité

Bonjour,

je suis quasi persuadé qu'il y a une solution élégante avec un joli produit scalaire et un coup d'inégalité de Cauchy Schwarz mais je ne vois pas pour le moment.

ou construire des suites ?

101bendri.samad

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Re : Montrer une Inégalité

Bonjour et Merci à tous pour vos réponses.
En fait je cherchais une solution pour le niveau secondaire.
Après des recherches et avec l’aide de certains amis j’ai trouvé cette solution :

\begin{align*}
   \sum_{cyc} \frac{a}{a^2 +b^2 +2}  & \leq \sum_{cyc} \frac{a}{2\sqrt{2(a^2 + b^2)}} \\
   & = \sum_{cyc} \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{\frac{(a^2 + c^2)a^2}{(a^2+b^2)(a^2 + c^2)}}\\
   & \leq \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{\sum_{cyc} a^2 +c^2} \sqrt{\sum_{cyc} \frac{a^2}{(a^2 +b^2)(a^2 + c^2)}}\\
  & \left(\text{ On a utilisé l’inégalité de Cauchy-Schwarz: } \\
\sum \sqrt{a_ib_i} \leq \sqrt{\sum a_i}.\sqrt{\sum b_i} \right) \\
  &= \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2) \sum_{cyc} \frac{a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}\\
  &= \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2) \sum_{cyc} \frac{a^2b^2+a^2c^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(b^2+c^2)}}\\
  &= \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{(a^2+b^2+c^2) \frac{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(b^2+c^2)}}
\end{align*}

Il suffit donc de montrer que :
$ \large \forall x,y,z >0 : \frac{(x+y+z)(xy+xz+yz)}{(x+y)(x+z)(y+z)} \leq \frac{9}{8}$

Or cette inégalité est $\Leftrightarrow$  à :  $ x(y-z)^2+y(x-z)^2+z(x-y)^2 \geq 0$ qui est vraie.

Ce qui termine la démonstration.

Dernière modification par 101bendri.samad (21-06-2023 12:59:38)

Zebulor

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Re : Montrer une Inégalité

Re,

En fait je cherchais une solution pour le niveau secondaire.

@bendri : je n'ai pas regardé tout ton dernier post. En tout cas c 'est du brutal pour un lycéen... pour ne citer que les paroles du film "les tontons flingueurs"

Dernière modification par Zebulor (21-06-2023 13:02:41)

Bernard-maths

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Re : Montrer une Inégalité

Bonsoir !

Je vais vous présenter des graphiques ... d'après les données de Bendri.

Soit f(x,y,z) = [tex]\displaystyle\frac{|x|}{x²+y²+2}+\frac{|y|}{y²+z²+2}+\frac{|z|}{z²+x²+2}[/tex], et la surface d'équation f(x,y,z) = r.

On se rend compte qu'il faut r ≥ 0 ... mais aussi r ≤ 0.75 !

Selon les valeurs de r, les graphiques évoluent, en voici quelques uns :

dans l'ordre r = 0.745, r = 0.7,  r= 0.6,  r= 0 .5, r = 0.4,  r = 0.3, r = 0.1, r = 0.01. Remarquer les changements d'échelles ...

La dernière figure est "typique" en forme si on modifie r autour de 0+, et l'échelle !

Mais que tirer de cette surface géométrique ?

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (24-06-2023 08:18:25)

Bernard-maths

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Re : Montrer une Inégalité

Bnjour à tous !

Je continue un peu ... On se rend compte qu'il faut r ≥ 0 ... mais aussi r ≤ 0.75 !

En effet pour r > 0, le graphique ne donne rien, c'est le résultat de ce qui est demandé !

Pour r = 0.75, on peut vérifier qu'il y a les 8 sommets (±1, ±1, ±1) du cube qui conviennent, mais ne sont pas affichés.

L'affichage (sur Maple) ne commence que vers 0.747 et on aperçoit 8 gros points, qui deviennent des espèces de boules qui grossissent et se déforment, jusqu'à se joindre et donner des bi-tubes "infinis", jusqu'à ou ???

La dernière figure montre "la même chose" si on diminue r vers 0, tout en augmentant l'intervalle d'affichage ... un peu comme si il y avait une "homothétie" ... ?

Voilà pour finir,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (24-06-2023 08:28:56)

Zebulor

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Re : Montrer une Inégalité

Bonsoir,

Je continue un peu ... On se rend compte qu'il faut r ≥ 0 ... mais aussi r ≤ 0.75 !

N'a t on pas  [tex]max(\displaystyle\frac{|x|}{x²+y²+2}+\frac{|y|}{y²+z²+2}+\frac{|z|}{z²+x²+2})=0.75 [/tex] pour x,y et z positifs ?

Dernière modification par Zebulor (30-06-2023 19:14:37)

Bernard-maths

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Re : Montrer une Inégalité

Bonsoir !

Certes Zebulor, as je regarde ce que donne l'équation pour différentes valeurs de r ...
Mais qu'en faire ?

B-m

cailloux

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Re : Montrer une Inégalité

Bonjour à tous,
J'exhume un tantinet en supposant qu'il est intéressant de relancer ce fil. Je propose une solution qui a une faiblesse (peut-être rédhibitoire). Les intervenants plus affutés que moi pourront dire ce qu'ils pensent à propos d'une certaine borne supérieure d'un ensemble :

Zebulor a écrit plus haut qu'il était facile de démontrer que
$\forall (a,b,c)\geq 0, \,\, \dfrac{a}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c}{c^2+a^2+2}\leq \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
par exemple en majorant chaque fraction par $\dfrac{a}{a^2+2}$ et permutation circulaire.

J'affirme et c'est la faiblesse mentionnée plus haut, que la quantité $\dfrac{a}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c}{c^2+a^2+2}$ admet un plus petit majorant. Appelons-le $M$.

Montrons maintenant que $\forall(a,b,c)\geq 0,\quad \dfrac{a+b}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b+c}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c+a}{c^2+a^2+2}\leq \dfrac{3}{2}$ (1)
En éliminant les cas où au moins deux des réels $a,b,c$ sont nuls, on effectue le changement de variable :

  $\begin{cases}a=1+x\\b=1+y\\c=1+z\end{cases}$ avec $\begin{cases}x>-1\\y>-1\\z>-1\end{cases}$. L'inégalité (1) se traduit par :

$\dfrac{1}{2+\dfrac{x^2+y^2}{2+x+y}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{y^2+z^2}{2+y+z}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{z^2+x^2}{2+z+x}}\leq \dfrac{3}{2}$ qui est vraie avec égalité pour $x=y=z=0$ soit $a=b=c=1$.

On peut écrire (1) sous la forme :

    $\underbrace{\dfrac{a}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c}{c^2+a^2+2}}_{\leq M}+\underbrace{\dfrac{a}{a^2+c^2+2}+\dfrac{b}{b^2+a^2+2}+\dfrac{c}{c^2+b^2+2}}_{\leq M}\leq \dfrac{3}{2}$

On en déduit que $2M=\dfrac{3}{2}$ soit $M=\dfrac{3}{4}$ avec égalité atteinte pour $a=b=c=1$

A vos critiques !

cailloux

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Re : Montrer une Inégalité

Bien : je crois que ma soi-disant solution ne vaut pas un clou.
Désolé !

Dernière modification par cailloux (20-10-2023 11:11:33)

Zebulor

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Re : Montrer une Inégalité

Re,
Pas un clou c est peut être aller vite en besogne.. sans avoir regardé de près ton changement de variables semble une bonne idée ..

cailloux

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Re : Montrer une Inégalité

Bonjour Zebulor,
L'inégalité (1) est vraie et démontrée. Par contre la fin était très "optimiste". Pas un clou parce que je n'ai rien démontré du tout relativement à la question initiale.
J'en profite pour poser une question à la modération :
Est-il permis, si ce n'est souhaitable, d'exhumer des fils restés sans réponses satisfaisantes voire sans réponse du tout ?

Dernière modification par cailloux (20-10-2023 12:06:39)

Fred

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Re : Montrer une Inégalité

Bonjour cailloux

  Personnellement je trouve ça toujours bien si une réponse est apportée à la fin du fil ou du moins des éléments qui permettent de reconstruire une solution et cela même si le fil est ancien.

F

cailloux

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Re : Montrer une Inégalité

Merci Fred, bonjour,
A vrai dire, j'avais une idée derrière la tête : je vais en exhumer un autre (sans réponse) en espérant cette fois donner des indications satisfaisantes.