Forum de mathématiques - Bibm@th.net

aab3791

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équations fonctionnelles

Bonjour,

Quelqu'un pourrait me donner un tuyau/méthodo pour résoudre ce type d'exercice SVP ?

Il s’agit dans chacun des cas suivants de trouver l’ensemble des applications f : R → R qui vérifie

1. ∀x∈R, xf(2−x)+f(x)=x
2. ∀x,t∈R, f(x+t)=xf(t)+1
3. ∀x,t∈R, f(x+t)=f(x)+f(1)t

Merci d'avance

Fred

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Re : équations fonctionnelles

Bonjour,

  Une méthode générale, pour résoudre ce type d'exercice,
c'est de faire un raisonnement par analyse-synthèse.

Dans la partie "analyse" on suppose qu'une fonction f vérifier l'équation demandée et, en donnant diverses valeurs à $t$ et $x$, on essaie de trouver des conditions suffisantes sur $f$, parfois jusqu'à en trouver la "forme" précise.

Dans la partie "synthèse", on choisit $f$ de la forme trouvée dans l'analyse, puis on vérifie que $f$ vérifie l'équation demandée.

Par exemple, pour la troisième équation, si $f$ est une fonction la vérifiant, en choisissant $x=0$ et $t=1,$ on trouve $f(0)=0.$
Puis, par un bon choix de $x$ et de $t,$ on prouve que $f$ est une fonction linéaire : il existe $a\in\mathbb R$ tel que $f(x)=ax.$
Réciproquement, on vérifie que toutes les fonctions linéaires sont solutions de l'équation.

F.

bridgslam

Membre Expert

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Re : équations fonctionnelles

Bonsoir,

Comme préconisé par Fred, il faut trouver les conditions nécessaires ( raisonnement par analyse-synthèse) qui restreignent (au maximum si possible afin d'avoir moins à vérifier à la seconde étape) les possibilités permises pour f ( 1 ière étape: analyse ). Cela revient à déterminer les candidats.
En deuxième étape : synthèse, il faut absolument regarder lesquelles parmi ceux-ci conviennent effectivement ( tout est possible: aucune, 1 seule solution, plusieurs... toute une famille...).

La 1/ par exemple : vous devez trouver (sauf erreur ) une seule solution: $ f(x) = \frac{x}{x-1} \;si \;\; x \ne 1, \; f(1) = 1/2$

Dernière modification par bridgslam (18-10-2023 15:06:44)

LCTD

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Re : équations fonctionnelles

Bonjour,

@bridgslam, je trouve comme vous pour la 1)

makrozeuf

Invité

Re : équations fonctionnelles

Pour l’équation fonctionnelle ci-dessus $y=1/x^2$ donne un système à deux inconnues.