Forum de mathématiques - Bibm@th.net

raphael.thiers

Membre

Inscription : 24-01-2020

Messages : 41

divisibilité , diviseur de zéro ...

Bonjour,

Questions aux algébristes  et aux pédagogues:

Mes élèves de Terminales Maths expertes, étaient un peu choqués que je leur annonce que tout entier relatif divise zéro.

En particulier, 0 divise 0  ce qui , on peut les comprendre, les heurte un peu si on le comprend par "0 est divisé par 0".

Doit donc s'autoriser à dire que "tout entier relatif  est un diviseur de zéro" ... ?

Car  si  on considère $\mathbb{Z}$ comme un anneau  (ce qu'il est !) et qu'on applique la notion générique de "diviseur de zéro" ,  $\mathbb{Z}$ ne  possède aucun diviseur de zéro (parce qu'il est intègre). 

Qu'en pensez-vous ?

R. Thiers

Glozi

Invité

Re : divisibilité , diviseur de zéro ...

Bonjour,
On a déjà eu cette discussion avec Fred, mais je n'arrive pas à la retrouver...

De mon côté je préfère considérer que $0$ est un diviseur de $0$.
Cela permet la définition simple suivante : $n$ divise $m$ s'il existe $k$ tel que $m=nk$ (ici $n,m,k$ éléments de $\mathbb{Z}$, pas besoin de faire attention à qui ne peut pas être nul).

Cela est en cohérence avec $n$ divise $m$ si et seulement si $m$ est un multiple de $n$. (on est parfois davantage convaincu que $0$ est un multiple de $0$).

Cela permet aussi de voir la relation $a|b$ de divisibilité comme une relation d'ordre partiel sur $\mathbb{N}$. On perd la réflexivité si on ne suppose pas $0|0$.

Du point de vue des anneaux intègre, je suis d'accord que si on définit un anneau intègre comme un anneau qui contient aucun diviseur de $0$ alors cela ne fait plus aucun sens (car $0$ serait toujours un diviseur de $0$). Dans mes études, on définissait plutôt un anneau intègre comme un anneau qui possède la propriété $\forall a,b\in A,\  ab=0 \Rightarrow a=0 \text{ ou }b=0$, et on ne parlait pas de diviseur (et donc d'arithmétique) dans un anneau arbitraire (par exemple si $A$ est un corps, alors est-ce que considérer une relation de divisibilité est vraiment pertinent...?)

Après si on veut faire les deux, on peut dire que $0$ divise $0$ mais que $0$ n'est pas un diviseur de $0$. En effet, $a$ est un diviseur de $0$ si et seulement si $a$ est non nul et s'il existe $b$ non nul avec $ab=0$. Je trouve cette juxtaposition extrêmement déplaisante. De plus, la notion de "diviseur de $0$" semble être très particulière au cas $0$... pas très naturel à mon gout. Plutôt que "diviseur" il aurait fallu une appellation du genre "diviseur non trivial" ou un truc du genre.

Ce n'est qu'un point de vue, et manifestement le Wikipédia français n'est pas de mon avis.

Bonne journée

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : divisibilité , diviseur de zéro ...

Bonjour,
C'est une question qui revient de temps en temps sur les forums.
$a$ divise $b$ dans $\mathbb Z$, ça veut dire qu'il existe $c\in \mathbb Z$ tel que $b=ca$. Donc tout entier (y compris $0$) divise $0$. C'est juste la définition de "divise".

Un diviseur-de-zéro dans un anneau commutatif $A$, c'est un élément non nul $a$ qui n'est pas régulier, autrement dit tel qu'il existe $b\in A$ non nul tel que $ab=0$. J'ai exprès mis des tirets dans diviseur-de-zéro pour dire que c'est une expression à lire d'un bloc, consacrée par l'usage, et qui n'est pas synonyme de "élément qui divise zéro".

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : divisibilité , diviseur de zéro ...

Bonjour,

  Je pense que Glozi fait référence à cette discussion.
Je trouve l'explication de Michel très convaincante. Il faut lire "diviseur-de-zéro" d'un bloc et pas diviseur de $0$...

F.

eliottpeters

Invité

Re : divisibilité , diviseur de zéro ...

Bonjour,
Je renvoie ici à la page Wikipédia "division par 0", ou en algèbre on y démontre l'impossibilité de diviser tout nombre par 0 dans le carde plus général de la théorie des anneaux :

Pour tout nombre a, a × 0 = 0. Or, la division s'entend comme l'opération réciproque de la multiplication. Donc diviser par zéro reviendrait à multiplier par l'inverse de zéro. Or, zéro n'a pas d'inverse.
C'est pourquoi la division par zéro n'a non seulement pas de sens dans les ensembles de nombres usuels (entiers, réels ou complexes), mais plus généralement dans tout ensemble de nombres vérifiant les propriétés algébriques usuelles vis-à-vis de l'addition et de la multiplication (ce qu'on appelle un anneau). Il n'y a donc pas d'espoir de construire un nouvel ensemble de nombres qui donnerait un sens à l'inverse de zéro (comme celui des nombres complexes donne un sens à la racine carrée de –1), sauf si l'on accepte de perdre des propriétés essentielles du calcul algébrique usuel (notamment la distributivité de la multiplication sur l'addition).

Egalement, sur la page "diviseur de 0", dans la définition formelle :

On dit que a est un diviseur de zéro à droite dans A si
∃c ∈ A, c ≠ 0A  et  c × a = 0
(analogiquement pour diviseur à gauche).