des suites de polygones de plus en plus réguliers

jelobreuil · 28-09-2023 23:25:23

Bonjour à tous
Commençons (comme je l'ai fait il y a quelques années) par un triangle ABC, doté de son cercle circonscrit : sauriez-vous prouver que le triangle formé par les milieux des trois arcs AB, BC et CA de ce cercle circonscrit à ABC sont les sommets d'un triangle qui est "plus régulier" que ABC ?
Par "plus régulier", j'entends "plus proche d'un triangle équilatéral", notamment pour ce qui est des angles.
Bien cordialement, JLB

Bonaventure Sofoton Tonou · 29-09-2023 00:03:15

Bonsoir JLB
Quand est-ce qu'on peut qualifier un triangle d'être proche d'un triangle équilatéral??

Bernard-maths · 29-09-2023 08:32:19

Bonjour à tous !

Cela veut dire que si on continue indéfiniment, de remplacer un triangle par le triangle formé par les milieux des arcs de son cercle circonscrit, on va tendre vers un triangle équilatéral.

Je vois ici deux façons de procéder : soit les petits arcs, soit les grands ... essayer !

En est-il de même pour tout polygone inscriptible, disons convexe au début ?

Peut-on extrapoler dans l'espace, par exemple en partant d'un tétraèdre dans sa sphère circonscrite, en prenant "les bons points" "aux milieux" des triangles sphériques ???

Que de voies à explorer !!!

Je vais essayer de suivre ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (29-09-2023 09:24:25)

jelobreuil · 29-09-2023 09:14:33

Bonjour, Bonaventure, Bernard,
Merci de vous intéresser à ce sujet ! Je l'ai traité en profondeur il y a quelques années, mais permettez-moi de préserver le suspense ...
Bonaventure, j'avais trouvé une mesure de la "proximité" d'un triangle quelconque vis-à-vis d'un triangle équilatéral : il s'agit de la variance des écarts, par rapport à la moyenne de 60°, des valeurs des angles du triangle considéré, définition valable, mutatis mutandis, pour le cas des polygones inscrits dans un cercle. Plus cette variance est faible, plus le polygone est proche du polygone régulier correspondant.
Bernard, c'est bien ce qui se passe, en effet ... et il en est de même pour tout polygone inscrit dans un cercle ou dans un contour fermé. Et comme j'ai pu prouver que c'est en fait un phénomène très général qui se produit dès qu'on effectue une transformation d'un certain type (linéaire ?) sur un ensemble de nombres "fermé en boucle", je pense qu'effectivement, ce doit être extensible aux polyèdres inscrits dans une sphère, sous certaines conditions à définir ...
Bien cordialement, JLB

Bernard-maths · 29-09-2023 12:05:26

Re,

en fait, pour chaque sommet du triangle, il faut construire le point qui est sur le même arc défini par les 2 autres sommets, etc ...

Bonaventure Sofoton Tonou · 29-09-2023 15:46:31

Si je comprend bien n'est ce pas rapport avec $l_1,l_2$ et $l_3$ les longueurs des arcs et on commence une somme arithmétique progressive..??

jelobreuil · 29-09-2023 16:13:19

Oui, Bonaventure, c'est un peu l'idée ...
Mais il est plus aisé de raisonner avec les abscisses circulaires ou angulaires : si a, b et c sont les abscisses des sommets A, B et C pris dans cet ordre sur le cercle circonscrit, avec l'origine entre A et C, alors les abscisses angulaires des milieux des trois arcs seront ... à toi de compléter.
Je ne te cache pas qu'il y a une astuce ... assez facile à trouver, me semble-t-il, quand on réfléchit un peu ...
Bernard, j'avoue que je ne saisis pas très bien ce que tu veux dire dans ton dernier message ... Chaque sommet du triangle transformé (parce qu'il s'agit bien d'une transformation), donc "image", est le milieu d'un arc défini, sur le cercle circonscrit au triangle "objet", entre deux sommets de celui-ci.
Bien cordialement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (29-09-2023 19:04:28)

Bernard-maths · 29-09-2023 18:20:33

Re,

je n'ai fait que des dessins, pas de calculs !

B-m

Bonaventure Sofoton Tonou · 29-09-2023 19:32:59

Bonsoir JLB

Bon moi je ne pensais qu'imaginer trois suite $(U_n), (V_n)$ et $(W_n)$ qui vont se converger vers un même réel..
Et si je pouvais avoir l'autre idée??

Dernière modification par Bonaventure Sofoton Tonou (29-09-2023 19:35:35)

Bernard-maths · 30-09-2023 13:31:25

Bonjour !

Voici un lien vers une image animable pour un enchainement de 6 triangles.

On constate la "convergence" vers un triangle "équilatéral".

On commence par ABC en bleu, puis DEF en vert, ensuite GHI en violet, puis JKL en mauve, MNP en marron clair, et QRS en rouge.

A gauche dans les segments, on constate un rapprochement des 3 longueurs des côtés. Dans les triangles on constate une "convergence" de l'aire ...

On peut déplacer les 3 points A, B ou C ... Il est bon de garder les 3 points A, B et C dans l'ordre trigonométrique direct ... mais on peut aussi regarder dans l'autre sens ...

https://www.cjoint.com/doc/23_09/MIEmEz … -09-29.ggb

Pour les calculs, c'est plus compliqué pour moi pour le moment ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (30-09-2023 13:43:15)

jelobreuil · 30-09-2023 16:24:08

Bonjour Bernard,
Je viens de regarder ta figure, et je suis étonné : comment définis-tu les points D, E et F par rapport à A, B et C ? Manifestement, ce ne sont pas les milieux des arcs AB, BC et CA ?
Mais cela ne me surprend pas outre mesure, car d'après mon étude, on aboutit au même résultat avec des relations linéaires entre les abscisses a, b, c, d, e, et f des points sur le cercle muni d'une origine, du genre d = a + k(b - a), où k est un réel compris entre 0 et 1. Mais c'est pour k = 1/2, qui donne d = (a+b)/2, que la convergence est le plus rapide.
Si ce réel k est négatif ou supérieur à 1, au contraire, les triangles deviennent de plus en plus "irréguliers" ...
Je suis prêt à t'envoyer, si tu le désires, l'exposé de mon travail dans un document PDF, par e-mail puisque je ne vois pas de possibilité de le joindre à un message dans cette discussion.
En fait, mon travail a consisté, dans un premier temps, à exprimer les valeurs des angles en A, B et C en fonction des abscisses de ces points sur le cercle, grâce aux relations entre angles inscrits et angles au centre, en tenant compte (et c'est là l'astuce !) de ce que les abscisses des points sont définies à 2pi près ...
Bien cordialement, JLB
PS J'avais envoyé mon travail à Gérard Villemin, qui en a tiré la page suivante : http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/ … m#abscisse

Dernière modification par jelobreuil (30-09-2023 16:38:19)

Bernard-maths · 30-09-2023 16:58:42

Bonjour JLB !

En fait j'ai mis D au milieu de l'arc BC, mais sur celui contenant déjà A, etc ...

Par contre je n'arrive pas à une formule de calcul, il y a toujours un des trois qui ne va pas !

Malgré un modulo 2 pi !

Je veux bien que tu m'envoies ton travail, car j'ai d'autres chats à fouetter, et je traine depuis plus d'un mois !

Il y a moyen par le site d'envoyer par le mail ...

Cordialement, Bernard

Wiwaxia · 03-10-2023 13:07:31

Bonjour,

jelobreuil a écrit :

... j'avais trouvé une mesure de la "proximité" d'un triangle quelconque vis-à-vis d'un triangle équilatéral : il s'agit de la variance des écarts, par rapport à la moyenne de 60°, des valeurs des angles du triangle considéré ...

J'ai eu l'occasion de découvrir un test encore plus simple permettant de caractériser la proximité d'un triangle quelconque (ABC) avec le triangle équilatéral; il s'agit de l'écart: ε = Max(α, β, γ) - 60° .

Zebulor · 03-10-2023 14:52:18

Bonjour,
@wiwaxia : j'essaie de m imaginer ce que donne ton écart. Lorsque ce max vaut 60 degrés c'est le plus petit des max, et dans ce cas c'est nécessairement un triangle équilatéral

Dernière modification par Zebulor (03-10-2023 14:55:07)

Wiwaxia · 03-10-2023 17:21:43

On obtient une condition analogue sur les angles au centre du cercle circonscrit, égaux aux doubles des angles au sommets correspondants; il faut alors s'intéresser à l'écart e = 2*ε = Max(2α, 2β, 2γ) - 120° = Max(u, v, w) - 120°.⁽¹⁾

Ce lointain souvenir amène une idée.

Convenons:
a) d'un triangle quelconque (ABC) inscrit dans un cercle donné de centre (O), et tel que les angles définis en ce point:

u = (OB, OC), v = (OC, OA), w = (OA, OB)

soient notés dans l'ordre croissant et vérifient: u < v < w ;
il vient dans ces conditions: Max(u, v, w) = w et e = w - 120° ;
b) d'un triangle conjugué (A'B'C') cocyclique au précédent, et tel que les sommets successifs soient respectivement situés entre

B et C (pour A'), C et A (pour B') , A et B (pour C') .

Les nouveaux angles sont alors donnés par les relations:

u' = (v + w)/2 , v' = (w + u)/2 , w' = (u + v)/2 ,

et l'on obtient:

u + v < u + w d'où: w' < v' , et de même: w' < u' , v' < u' ,

soit finalement: Max(u', v', w') = u' et e' = u' - 120° .

Dernier point: de l'expression u' = (v + w)/2 on déduit u' < w ce qui conduit à e' < e .
Le triangle conjugué est donc plus proche de l'équilatéralité que le précédent.

J'ai laissé de côté le cas des égalités qui ne changent pas substanciellement le résultat, mais me paraissent alourdir la démonstration.

(1) Désolé pour cette présentation chaotique. J'ai changé de notation en cours de route, selon ma (très déplorable) habitude.

jelobreuil · 04-10-2023 07:30:18

Bonjour Wivaxia,
L'approche que tu as choisie est en effet plus simple que celle que j'ai envisagée, mais elle aboutit au même résultat, du moins pour un triangle. Mais qu'en est-il pour un quadrilatère, un pentagone, etc ... ?
En tout cas, merci pour cette autre solution !
Bien cordialement, JLB

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