Les hauteurs d'un triangle

S0_ · 25-09-2023 11:47:15

Soit $A, B, M, M'$ des points distincts deux à deux du plan tels que:
-$P$ est l'intersection de $(MA)$ avec $(M'B)$
-$Q$ est l'intersection de $(M'A)$ avec $(MB)$
1) Démontrer que si $M$ et $M'$ sont deux points du cercle de diamètre $[AB]$ alors $(PQ)$ est perpendiculaire $(AB)$
2) En déduire que les trois hauteurs d'un triangle ont des supports qui sont concourants.

yoshi · 25-09-2023 18:12:08

Bonsoir,

Un conseil : poste ton image.
Si elle est trop grande ou pas conforme à "mon" standard, je la retoucherai, pas de souci.
Ensuite, j'expliquerai comment j'ai traité cette image.

Ton énoncé est-il la copie conforme de l'original ?
J'en doute un peu : par exemple ton énoncé n'exclut pas le cas où A, M et M' sont alignés dans cet ordre et deux à deux distincts : où sont les points P et Q dans ce cas ?
Et si les 4 points A, M, M', B sont alignés et deux à deux distincts (pas exclu dans l'énoncé) ?

@+

[EDIT] Ces configurations sont interdites par la 1ere question, d'accord, mais selon moi, c'est le rôle de la partie d'énoncé avant les questions que de les interdire, pas celui des questions...
J'ai fait le dessin, j'y réfléchis.
A ce point (pas très avancé) de mes cogitations, je pense que c'est une histoire d'angles

▼J'ai l'intention de montrer que

@+

S0_ · 25-09-2023 18:26:43

Bonjour Yoshi.

C'est peut être le défaut de mon portable qui ne me permet pas de consulter le lien..
Les six points cités forment un quadrilatère complet..

yoshi · 25-09-2023 19:23:21

RE,

Voilà mon image : elle correspond à ce que tu attends ?
Retourne lire mon message précédent : je l'avais édité avant d'avoir vu que tu avais répondu...

@+

[EDIT] Dans quadrilatère, il y a quadri = 4...
Je ne vois pas comment 6 points peuvent constituer un quadrilatère complet...
Ça me rappelle une de mes élèves de 4e qui avait écrit en réponse à la question dans b problème de Géométrie d'un devoir en classe : quelle est la nature du triangle ABC ? avait donné comme réponse : le triangle ABC est un quadrilatère.

Dernière modification par yoshi (25-09-2023 19:31:11)

jelobreuil · 25-09-2023 20:24:44

Bonsoir Yoshi,
Il est pourtant vrai qu'un quadrilatère complet comporte 6 sommets, alignés 3 par 3 sur quatre droites non concourantes trois à trois ... Et si ta figure correspond à l'idée de S_O, alors c'est lui qui se trompe, me semble-t-il, en affirmant qu'il s'agit d'un quadrilatère complet.
En gros, mais je pense ne rien t'apprendre, un quadrilatère complet, c'est un triangle (3 points) joint à une droite transversale coupant les trois droites portant les côtés du triangle en trois points d'intersection différents (autrement dit, ne passant par aucun des sommets du triangle), telle par exemple une médiatrice dans un triangle quelconque.
J'avoue ne pas avoir compris, dans ton message à pldx, comment faire pour mettre une figure dans un message : je fais mes figures avec Geogebra, et j'ai l'habitude de les enregistrer au format PNG. Quelle est la marche à suivre, après avoir cliqué dans l'icône "image" ? Merci, et je te prie de m'excuser si je te demande de répéter ce que tu as déjà écrit ailleurs, mais sache qu'en informatique et bureautique, je suis véritablement un béotien, de la dernière pluie !
Bien cordialement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (25-09-2023 20:28:32)

S0_ · 25-09-2023 21:02:02

Yoshi
Un quadrilatère complet a 6 sommets.
JBL
Ce que Yoshi a fait correspond à ma figure

jelobreuil · 25-09-2023 21:22:15

SO_, si ce qu'a produit Yoshi est bien la figure que tu as voulu définir, alors je maintiens que ce n'est pas un quadrilatère complet, puisque les trois droites AM, BM' et PQ sont concourantes en Q ...
Bien cordialement, JLB (et non pas "JBL", merci de bien noter !)

En fait, ton problème est posé à l'envers, ou plus exactement, l'ordre des questions devrait, je pense, être inversé !
Considère, sur la figure de Yoshi, le triangle PAB : alors, si M et M' se trouvent sur le cercle de diamètre AB, les droites BM et AP sont perpendiculaires, de même que les droites AM' et BP. Q étant le point d'intersection de BM et AM', qui sont, dans le triangle APB, deux hauteurs, la droite PQ, passant par un sommet du triangle APB et le point d'intersection des hauteurs issues des deux autres sommets, ne peut être que la troisième hauteur du triangle APB : elle est donc bien perpendiculaire à AB.
Il me semble que cette façon de présenter ce problème le rend plus abordable, non ?
Bien cordialement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (25-09-2023 21:51:15)

S0_ · 25-09-2023 21:47:16

Pourquoi (PQ)??
C'est une diagonale ..
Il faut revoir un peu c'est bel et bien un quadrilatère complet..
Quatre droite non concourantes et trois quelconque sont concourantes..

S0_ · 25-09-2023 21:53:31

Deux à deux sont sécantes et trois quelconque ne sont pas concourantes..
Je voulais rectifier

jelobreuil · 25-09-2023 22:03:06

Non SO_, je me répète : un quadrilatère complet est formé par quatre droites qui se coupent EXCLUSIVEMENT deux à deux, c'est-à-dire sans concours de trois d'entre elles. Or, dans la figure de Yoshi que tu as confirmée, PQ, AM' et BM sont concourantes en Q. Par conséquent, ces six points ne sont pas les sommets d'un quadrilatère complet ...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrilat%C3%A8re_complet
Bien cordialement, JLB

Nos derniers messages se sont croisés, mais je constate que nous sommes enfin d'accord !
Le bouton "Modifier", ça sert justement à rectifier des erreurs dont on se rend compte ...

Dernière modification par jelobreuil (25-09-2023 22:07:06)

S0_ · 25-09-2023 22:10:13

Regarde la figure
Dans un quadrilatère complet nous notons trois diagonales et tu ne fais que citer l'une des quatre comme (PQ)..
Les quatre droites sont:
(AM), (AM'), (BM') et (BM)..

jelobreuil · 25-09-2023 22:31:02

Ah, vu comme ça, effectivement, tu as raison !
Si je reprends la description classique d'un quadrilatère complet, on peut considérer, en effet, le triangle APM' et la transversale (BQM) ...
Merci de m'avoir détrompé, en me forçant à voir cette figure différemment !
Sur ce, bonne nuit, bien cordialement ! JLB

S0_ · 25-09-2023 22:42:08

Merci beaucoup mon cher JLB..
Bonne nuit ..

S0_ · 26-09-2023 07:10:09

Bonjour JLB.
Je suis allé revoir ta réponse et ta proposition de renverser les question..
La question est comme ça..
C'est une autre manière de prouver que les hauteurs d'un triangle sont concourantes..

Bonne journée.

yoshi · 26-09-2023 11:42:46

Bonjour,

JLB a écrit :

En gros, mais je pense ne rien t'apprendre

Ben si...
J'ignorais la notion de "quadrilatère complet" : à quel niveau se voit-elle ?
Moi, je comprenais quadrilatère... complet dans le sens où c'était un quadrilatère entier, à qui il ne manquait rien...
Il va falloir que je voie cette notion de plus près : elle me perturbe...

JLB a écrit :

en informatique et bureautique, je suis véritablement un béotien

Bof... Pas de quoi fouetter un chat (d'ailleurs la SPA, et à raison, n'aimerait pas du tout) :on est toujours le béotien de quelqu'un !

Et en ce qui concerne, par exemple, l'hébergeur zupimages où j'ai déposé la mienne d'image, j'ai procédé ainsi :
1. je me suis connecté sur https://www.zupimages.net/up.php

2. En haut de page j'ai cliqué sur Héberger

3. Un formulaire avec 2 cadres sur fond jaune (du moins chez moi, ailleurs je ne sais pas) où s'affiche la mention :
Cliquez sur le bouton ci-contre pour choir une image.
Ledit bouton a un fond blanc et porte la mention Parcourir

4. J'ai cliqué sur Parcourir et j'ai navigué jusqu'à mon répertoire D:\Bibmath. Là j'ai repéré mon image nommée Concourance de hauteurs.png

5. Je l'ai sélectionnée à la souris en cliquant gauche) une fois dessus, puis cliqué sur Ouvrir.

6. Apparaît alors dans le 1er cadre sur fond vert cette fois : Concourance des hauteurs.png

7. J'ai cliqué sur le gros bouton Valider. Zupimages mouline un peu

8. Puis apparaissent sur la partie droite de l'écran 4 suggestions de code. J'ai choisi la 2e : Lien direct vers votre image.
Et j'y ai copié la proposition : https://zupimages.net/up/23/39/itim.png

9. Je suis retourné à Bibmath dans le sous-forum des beaux problèmes de Géométrie et j'ai créé une réponse.
Dans cette réponse, j'ai collé le code, l'ai sélectionné puis dans la barre d'outils des messages j'ai cliqué sur l'icône image (écran/Télé)
qui est entre TT et <>, ce qui a encadré le code entre les balises img et /img (entre crochets).
Bien sûr, on peut écrire soi-même les balises, mais pourquoi se fatiguer inutilement ? ^_^
Pour estimer les tailles : mon image mesure 6 cm x 8,23 cm. Sa finesse est de 100 points par pouce (suffisant pour un écran)

Tu devrais, ô vénérable béotien ^_^, arriver au bout sans souci.
Si par hasard, tu utilisais une image inutilement grande, je la retoucherai, la remplacerai et expliquerai quel outil j'ai utilisé et ce que j'ai exactement...

@+

jelobreuil · 27-09-2023 22:22:32

Yoshi, à vrai dire, je n'ai découvert ce qu'on appelle un quadrilatère complet que quelque temps après m'être inscrit sur le site les-mathématiques : je n'en avais jamais entendu parler, ni lors de mes études au collège ou au lycée dans les années 60, ni à la fac (DUES PC) ... Les taupins d'avant 1960 l'étudiaient sans doute : je viens de le trouver dans le manuel de Jacques Hadamard, "Leçons de géométrie. I. Géométrie plane" 13ème édition, 1947 (réimpression Jacques Gabay), dans le chapitre "Transversales". Je ne sais pas ce qu'il en était des taupins ultérieurs ...
Pour ce qui est des images, cette procédure me semble bien compliquée ...
Bien cordialement, JLB

pdkv · 27-09-2023 23:53:57

On les trouve aussi dans le tout premier chapitre à la page 16 du tome de Géométrie de Terminales C de 1967 de messieurs Lebossé et Hémery.

Dernière modification par pdkv (27-09-2023 23:54:20)

Bonaventure Sofoton Tonou · 28-09-2023 07:14:22

Cette notion je l'ai eu il n'y a pas longtemps tout comme la droite de Newton..
J'avais fait une découverte il a plus de 10ans sans savoir que ce que je manipule à rapport avec la droite de Newton.
C'était dans un journal wiki que j'ai lu ça il n'y pas longtemps.. j'avais parlé de ça avec mon collaborateur en ce temps il avait refusé cette idée d'avoir un quadrilatère complet avec six sommets malgré son titre!!
J'ai fini vraiment par comprendre qu'on marche sur les informations et on prend ce qu'on peut..
Ce post est une nouvelle méthode pour montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes..
Cordialement
Bonaventure-S0_

jelobreuil · 28-09-2023 18:05:08

Bonjour pdkv, Yoshi,
J'ai décroché mon bac C en 1969, donc à l'époque de ce manuel. Mais les livres utilisés dans ma classe étaient ceux de Lespinard et Pernet, et je les ai récupérés il y a quelques années. Dans leur livre de géométrie, il n'est fait aucune mention du quadrilatère complet.
J'ai également récupéré, il y a environ deux ans, le livre de Lebossé et Hémery d'où pdkv a tiré l'extrait ci-dessus. Étonné de cette différence, j'ai regardé les "Programmes du 8 juin 1966" qui figurent dans les deux livres : le "quadrilatère complet" n'y est mentionné nulle part !
Je suppose donc que Lebossé et Hémery ont introduit le quadrilatère complet en tant qu'application intéressante, quoique hors programme, de la division harmonique. Mais ils ne l'avaient pas fait dans leur manuel basé sur les programmes du 6 mars 1962, que j'ai aussi récupéré ...
Bien cordialement, JLB

yoshi · 28-09-2023 18:48:07

Re,

J'ai décroché mon bac C en 1969, donc à l'époque de ce manuel. Mais les livres utilisés dans ma classe étaient ceux de Lespinard et Pernet

Moi, MathElem en 1966, j'avais aussi les Lespinard & Pernet d'une belle couleur... verte (ça s'imposait sûrement).
Combien de volumes déjà ? 7 ? 9 ?
Y en avait dédié un à la Géométrie descriptive qu'on avait commencé quand la prof avait appris que cela ne figurerait pas au programme du Bac : hop, elle avait rangé ça au placard...

@+

jelobreuil · 28-09-2023 23:47:22

Bonjour Yoshi,
En 67-68 (j'utilisais en 68-69 les livres de mon frère aîné qui était passé par là l'année précédente), les Lespinard et Pernet de terminale C n'étaient plus que trois : "Structures, Arithmétique", "Analyse, Cinématique" et "Géométrie", ce dernier étant aussi volumineux que les deux autres réunis ... Et de vert malachite, un peu sombre (vu sur Internet), ils avaient viré à un rouge orangé du plus bel effet ...
Bien amicalement, JLB

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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Les hauteurs d'un triangle

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Re : Les hauteurs d'un triangle

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