Lieu des points

Vassillia · 22-09-2023 12:05:15

Bonjour, pour faire plaisir à nos amis géomètres et histoire de tenter de lancer un peu la machine comme bibmaths nous a accueilli très gentiment.

Soient deux points A et C fixés, et B un troisième point mobile dont le projeté orthogonal sur (AC) est D
- I centre du cercle inscrit au triangle ABC
- E centre du cercle inscrit au triangle ABD
- F centre du cercle inscrit au triangle BCD

Quel est le lieu des points B tels que le cercle passant par I, E et F ait son centre sur (AC) ?

Je donnerai la source ensuite (et sa solution si personne ne le fait)

cailloux · 22-09-2023 13:08:24

Bonjour,
Je voulais me limiter à une figure mais je ne sais pas comment la poster.
Le cercle de diamètre $[AC]$ a son mot à dire.

Vassillia · 22-09-2023 13:15:29

Bienvenue cailloux, contente de te revoir, pour une figure tu peux utiliser un hébergeur d'image et copier le lien directement.
Tu as raison, bravo, mais que se passe-t'il lorsque D est à l’extérieur du segment [AC] ?
Et puis j'en connais qui veulent des éléments de preuve, il faut les convaincre pour ce fameux cercle.

Dernière modification par Vassillia (22-09-2023 13:16:58)

cailloux · 22-09-2023 15:23:12

Merci Vassillia.
En répondant un peu vite, j'avais plusieurs motivations :
1) Ne pas laisser ton premier fil lettre morte dans le forum géométrie (tu as raison : une autre partie du lieu à l'extérieur du cercle de diamètre $[AC]$)
2) Mais aussi ma question sur les images à laquelle tu as répondu.
Je suis en train de batailler ferme sur les hébergeurs d'images. Pour l'instant, après moult péripéties, je me retrouve en fin de parcours avec des factures en dollars qui me fâchent un tantinet.
Je ne lâche pas l'affaire : merci encore.

Vassillia · 22-09-2023 15:29:12

Tu as bien raison de ne pas te laisser faire et merci de ne pas me laisser seule avec ce problème de géométrie.
J'imagine que tu ne seras peut-être pas le seul à rencontrer un problème alors tu peux essayer zupimages
- Parcourir pour choisir ton image dans les fichiers de ton ordinateur puis valider
- Copier-coller dans le message que tu veux envoyer sur ce forum à partir du Code BBCode qui te sera donné sur ce site.
Il y a sûrement mieux comme manière de faire mais je n'ai pas trouvé en premier essai donc je me suis contentée de celle-là jusqu'à nouvel ordre.

Dernière modification par Vassillia (22-09-2023 15:42:07)

yoshi · 22-09-2023 17:27:49

Ave,

Le problème est intéressant mais pas évident.
J'ai peu de temps pour réfléchir en ce moment, ça ira mieux d'ici une poignée de jours.
J'ai quand même distrait un peu de temps pour faire un dessin avec le GeoLabo de Fred (j'ai aussi Geogebra, très supérieur, mais j'aurais dû... réfléchir), puis comme je n'avais pas fixé les points A et C, de déplacements en déplacements n'ayant pas non plus placé de lettres, je ne suis pas arrivé à retrouver ma configuration d'origine :-(
Alors, j'ai abandonné en me promettant d'y revenir aussi vite que possible en étant plus rigoureux cette fois, à nouveau avec GeoLabo et sa fonction lieu pour savoir ce que dois prouver)...
J'ai eu quand même eu le temps de faire 2-3 constats, sans piste pour l'instant pour le lieu géométrique des points B...

@+

[EDIT]

Cailloux a écrit :

je me retrouve en fin de parcours avec des factures en dollars qui me fâchent un tantinet.
Je ne lâche pas l'affaire : merci encore.

Hein ??? Les hébergeurs gratuits ne sont pas ce qui manquent pourtant...
Le plus simple : https://www.cjoint.com.
Bernard-maths a trouvé comment afficher directement l'image dans un post (je n'ai pas cherché), à défaut, on récupère un code qui est fourni en fin de manip, on le colle dans son post, et tout le monde peut aller sur le site donner le code et voir l'image...

Dernière modification par yoshi (22-09-2023 17:35:39)

Wiwaxia · 22-09-2023 19:55:12

Bonjour,

Après avoir posté l'image sur Cjoint.com et copié son adresse, on peut obtenir l'affichage direct par l'instruction

[Himg]https://www.cjoint.com/doc/23_09/MIwsJR … osinus.png[H/img]

(enlever bien sûr les caractères "H" destinés à neutraliser les balises).

Exemple:

Rien n'empêche de centrer l'image en encadrant ce qui précède par les balises correspondantes:

[Hcenter] ... [H/center]

L'affichage de l'adresse de l'image s'obtient par les instructions:

[Hurl] ... [H/url]

Dernière modification par Wiwaxia (22-09-2023 20:01:22)

Wiwaxia · 22-09-2023 21:29:49

Bonsoir,

Cela ne paraît pas trop compliqué à condition de situer la figure dans une repère direct (xOy) centré sur le milieu du segment (AC), celui-ci étant porté par le premier axe (x'x).
On peut dans ces conditions introduire 3 paramètres en posant:

OA = (-l, 0) ; OC = (+l, 0) ; OB = (b, h) .

▼Texte caché

Il faut de plus trouver les positions limites, pour que la réponse soit conforme à l'énoncé.

Vassillia · 22-09-2023 23:22:26

Je n'ai pas l'impression que ça fonctionne, regardons voir ce que ça donne sur ce geogebra interactif où tu peux bouger le point B sur ta parabole (et ensuite essayer la même chose sur la proposition de cailloux)

Wiwaxia · 23-09-2023 07:31:31

Bonjour,

Soient deux points A et C fixés, et B un troisième point mobile dont le projeté orthogonal sur (AC) est D
- I centre du cercle inscrit au triangle ABC
- E centre du cercle inscrit au triangle ABD
- F centre du cercle inscrit au triangle BCD ...

S'agit-il du cercle inscrit dans le triangle envisagé , ou du cercle circonscrit au triangle ?

https://www.maths-et-tiques.fr/index.ph … rcle-euler

Je suis parti de la seconde définition, qui conduit après réflexion à un hors sujet ... Il est vrai que l'expression de l'énoncé est aussi utilisée.

PS: j'ai consulté le site interactif; il permet en effet de vérifier la première solution proposée.

Dernière modification par Wiwaxia (23-09-2023 08:32:46)

Vassillia · 23-09-2023 09:06:24

J'ai bel et bien écrit et voulu écrire "cercle inscrit", c'est donc la première hypothèse, je ne pensais pas que la préposition utilisée pouvait mettre le doute, désolée.

yoshi · 23-09-2023 11:25:08

RE,

Bah, le dessin que j'avais fait l'avait bien été avec les cercles inscrits...
Je dois être conditionné : quand j'ai lu cercle inscrit puis triangle ABC, j'ai dû zapper le "au", je ne l'ai pas vu, je ne suis pas posé de questions et j'avais tracé les cercles inscrits dans...
C'est peut-être la différence entre Cailloux (il n'a pas relevé non plus apparemment), moi et Wiwaxia, entre deux matheux et un Physicien... ^_^

@+

Bernard-maths · 23-09-2023 11:40:25

Bonjour à tous !

Ca rame ou ça pagaille ?

Ma figure GeoGebra va bien ... je vais venir !

B-m

Vassillia · 23-09-2023 11:40:39

Wikipedia aussi utilise cercle inscrit à un polygone, il semble que cela soit une (mauvaise) habitude courante. Je pense qu'elle vient de si on utilise "dans" on appelle polygone son intérieur c'est à dire la surface délimitée par la ligne polygonale fermée et non plus vraiment la ligne polygonale fermée elle-même. Cela ne me parait pas gravissime mais si les topologistes passent par là, ils vont peut-être se plaindre, compliqué de faire plaisir à tout le monde.

Dernière modification par Vassillia (23-09-2023 11:47:21)

Rescassol · 23-09-2023 15:14:03

Bonjour,

Voilà une solution en coordonnées barycentriques:
On pose [tex]BC=a,CA=b,AB=c[/tex].
L'aire [tex]S[/tex] du triangle [tex]ABC[/tex] vérifie alors [tex]16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b-a+c)[/tex]
Les notations de Conway sont [tex]S_a=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}[/tex] et permutation circulaire.
On a [tex]A=[1; 0; 0],B=[0; 1; 0],C=[0; 0; 1],D=[S_c; 0; S_a][/tex].
Un calcul de distance donne [tex]AD=\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2b},BD=\dfrac{2S}{b},CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2b}[/tex].
On sait que [tex]I=[a; b; c][/tex].
[tex]E=Barycentre([A,B,D],[BD,AD,c])[/tex] donne [tex]E=[c(a^2+b^2-c^2)+4bS; b(-a^2+b^2+c^2); c(-a^2+b^2+c^2)][/tex]
[tex]F=Barycentre([B,C,D],[CD,BD,a])[/tex] donne [tex]F=[a(a^2+b^2-c^2); b(a^2+b^2-c^2); a(-a^2+b^2+c^2)+4bS][/tex]
Puis le centre [tex]\omega[/tex] du cercle circonscrit au triangle [tex]IEF[/tex] dont on ne garde que la deuxième composante:
[tex]\omega(2)=-bXY[/tex] avec:
[tex]X=(a+b+c)(a-b+c) - 4S\space et\space Y=4b^2S + (a+b+c)(-a^3+a^2c+ac^2+b^3-c^3)[/tex].
De [tex]X=0[/tex] on tire [tex]S=\dfrac{(a+b+c)(a-b+c)}{4}[/tex] qu'on reporte dans:
[tex](a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b-a+c)-16S^2=0[/tex], ce qui donne:
[tex]-2(a^2-b^2+c^2)(a+b+c)(a-b+c)=0[/tex] donc [tex]a^2+c^2=b^2[/tex], ce qui signifie que [tex]ABC[/tex] est rectangle en [tex]B[/tex] et que [tex]B[/tex] est sur le cercle de diamètre [tex][AC][/tex].
[tex]Y=0[/tex] ne donne rien de plus.

Cordialement,
Rescassol

EDIT: De plus, dans ce cas, [tex]\omega[/tex] est le point de contact du cercle inscrit dans le triangle [tex]ABC[/tex] avec [tex][BC][/tex].

Dernière modification par Rescassol (23-09-2023 16:11:24)

Bernard-maths · 23-09-2023 16:58:25

Bonjour à tous !

J'arrive en clopinant ...

Vassillia · 23-09-2023 17:08:16

Ah j'espérais bien qu'on aurait le droit à des calculs barycentriques ou peut-être trilinéaires comme, à priori, ça s'y prête bien pour le cercle inscrit. D'ailleurs j'ai une question métamathématiques, selon quels critères on choisit entre l'un ou l'autre ? Ça me passe largement au-dessus, déjà quand j'arrive à me dépatouiller plus ou moins d'une manière, je suis contente.

D'après la source que j'avais où lorsqu'ils calculent, c'est dans le repère proposé par Wiwaxia, il me semble bien qu'il y avait une autre solution lorsque D n'appartient pas à [AC] mais je n'ai rien vérifié et pas trop le temps ce week-end malheureusement.

Edit : Prends ton temps Bernard-maths, nous ne sommes pas pressé, d'ailleurs si vous regardez les solutions mises en lien, certains font complétement autrement. J'ai cherché exprès un problème qui puisse se résoudre "naturellement" de plein de manières pour que tout le monde y trouve son compte du moins pour la démonstration du cercle de diamètre [AC] donc n'hésitez pas à en partager d'autres.

Dernière modification par Vassillia (23-09-2023 17:27:59)

Bernard-maths · 23-09-2023 19:27:24

Bon, puisque j'ai le temps ...

Avec A(-1 ; 0) et C(1 ; 0), je pense que le lieu cherché peut avoir une équation du genre
eq3: (abs(x) - abs(y) - 1) (x² + y² - 1) = 0. Essayer avec GeoGebra.

A confirmer par Rescassol, si il ajoute ce qui manque ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (23-09-2023 19:28:52)

Bernard-maths · 24-09-2023 14:03:58

Bonjour à tous !

Je vous donne une figure GeoGebra, téléchargeable.

https://www.cjoint.com/doc/23_09/MIynbt … -09-24.ggb

Vous y trouvez ... la droite (AC) en axe des x, A(-1;0) et C(1;0). B se promène à la souris dans le plan, se projetant en D sur (AC).
Les centres des cercles inscrits sont E pour ABD, F pour CBD et G pour ABC. Ces points sont calculés par les formules barycentriques, comme l'a fait Rescassol. Enfin 2 médiatrices de [EG] et [GF], par exemple, sont tracées, et se coupent en H, centre du cercle (EFG).

Alors en bougeant le point B, le point H se déplace (et tout le bizness avec). On peut voir que pour que H se déplace sur (AC), il faut que B soit sur l'ensemble orange d'équation eq3 : (abs(x)-abs(y)-1) (x²+y²-1) = 0.

Les calculs sont à finir pour trouver cette équation ! Rescaroll, à toi (entre autres ...), moi je vais chercher cool !

Bon amusement ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (25-09-2023 08:08:11)

S0_ · 24-09-2023 14:45:34

Mon seul souci est de voir la figure correspondante..
C'est trop difficile pour moi de monter une figure ici..
Comment faire??

Bernard-maths · 24-09-2023 14:51:13

Bonjour !

Tu cliques sur le lien rouge ; on te propose de télécharger un fichier, fichier GeoGebra, GeoGebra qu'il faut avoir !

Après tu as la figure sur l'écran, et tu t'amuses !

B-m

S0_ · 24-09-2023 14:58:16

Bonjour B-m

Je ne comprend pas..
Je veux faire parvenir une figure sur le forum alors de quel lien rouge s'agit-il??

yoshi · 24-09-2023 15:11:18

Re,

Ah cher B-m, il y a des non-dits fâcheux parfois...
Depuis que tu as posté ton lien, j'ai téléchargé $x$ fois ton fichier...
Je l'ai testé également $x$ fois...

Et j'ai eu $x$ fois la même réponse :

Le point d'entrée de procédure DiscardVirtualMemory est introuvable dans la bibliothèque de liens dynamiques KERNEL32.dll

Alors je subodore un problème de version, parce que mon Geogebra (v. 5.0) fonctionne parfaitement : tu dois avoir fait joujou avec la version 6 minimum sur windows 10 ou 11...

J'ai vu un GGB en ligne, je vais tester.

@+

[EDIT]
J'ai mis un moment pour trouver comment charger un fichier, mais effectivement ça marche, pas nécessaire d'avoir GGB sur sa machine

Dernière modification par yoshi (24-09-2023 15:46:41)

Bernard-maths · 24-09-2023 16:02:07

Ah oui, pas nécessaire !

Mais avez vous eu la figure active ?

Quant à SO_, que veut il ?

charger ma figure ? Cliquer sur le lien rouge de mon post 19 !

charger une figure à lui ?

J'attend sa réponse ...

B-m

yoshi · 24-09-2023 16:10:35

Re,

Bin ??? on se vouvoie maintenant, l'ami ?

Oui j'ai bien pu jouer avec la figure...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 22-09-2023 12:05:15

Lieu des points

#2 22-09-2023 13:08:24

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#3 22-09-2023 13:15:29

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#5 22-09-2023 15:29:12

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